2.5.3 二叉树模型和波动率

在B-S期权定价模型中，所用到的变量有标的资产价格、行权价、到期时间、利率、波动率，其中，最重要的变量就是波动率。由于B-S期权定价模型是将二叉树模型的间隔无限缩短的模型，因此二叉树模型也像B-S期权定价模型一样具有波动率。前面所讨论的二叉树模型中提到了标的资产价格、行权价、到期时间、利率，但未提及波动率，其实仔细观察就会发现波动率隐藏在其中。

二叉树模型的波动率隐含在上涨比例和下跌比例中，标的资产的上涨和下跌幅度就相当于波动率。标的资产在下个阶段变动±10%和变动±1%相比，显然前者的波动率要高于后者。B-S期权定价模型以各个时点上涨比例和下跌比例相同（上涨比例和下跌比例可以不同，但在不同时点这个比例都不变）为前提，这个假设和简单的二叉树模型的假设相同。每个阶段、每个时点上涨比例和下跌比例相同的二叉树模型就等于假设波动率在每个时点相同。

二叉树模型里每个时点的波动率相同，是上涨（或下跌）比例相同的简单模型。把这些简单模型的时间间隔无限缩短后就成了B-S期权定价模型。因此，B-S期权定价模型是波动率在每个阶段、每个时点都恒定的模型，故无法给不同时点输入不同波动率来获得合理价格。

在这一点上，二叉树模型与B-S期权定价模型不同。二叉树模型拥有可以在每个阶段设置不同波动率的优点，或者可以用于B-S期权定价模型无法求出的特殊期权价格的计算。一般期权到期时只依赖于标的资产到期价格，而特殊期权很多时候也依赖于到到期日的标的资产价格路径，这种期权的价格无法用B-S期权定价模型求得。目前，二叉树模型已不再单纯作为理解期权的“引路人”，而是被越来越多地应用于计算特殊期权的合理价格。