1.2.4　反函数

1.反函数的定义

定义2　设函数y=f（x）的定义域是Df，值域是Rf.如果对于任意y∈Rf，都有唯一对应值x∈Df与之对应，并且满足y=f（x），则x是定义在Rf上以y为自变量的函数，记此函数为x=f-1（y），y∈Rf，并称其为函数y=f（x）的反函数.

由定义2知，函数y=f（x）的反函数x=f-1（y）的定义域为y=f（x）的值域Rf，值域为y=f（x）的定义域Df.

习惯上，常用x表示自变量，y表示因变量，因此将x=f-1（y）改写为y=f-1（x）.从图像上看，函数y=f（x）与其反函数y=f-1（x）的图像是关于直线y=x对称的.

注　（1）只有一一对应的函数（自变量的不同取值对应因变量的值也不同）才有反函数.例如，函数y=x2在区间（0，+∞）内的反函数是，而在区间（-∞，0）内的反函数是

（2）单调函数必有反函数，且反函数也是严格单调的；

（3）函数y=f（x）与其反函数y=f-1（x）的定义域、值域地位交换可得.例如，正弦函数y=sinx，，y∈[-1，1]的反函数为反正弦函数y=arcsinx，x∈[-1，1]，；余弦函数y=cosx，x∈[0，π]，y∈[-1，1]的反函数为反余弦函数y=arccosx，x∈[-1，1]，y∈[0，π]；

2.求反函数的一般步骤

（1）把x作为未知量，从方程y=f（x）中解出，得到x=f-1（y）；

（2）所得的表达式中x与y对换，即得y=f-1（x）.

例5　求函数y=2x-1的反函数.

解　由y=2x-1得，用x表示自变量，y表示因变量，于是得y=2x-1的反函数是.

例6　设函数，则f-1（x）=.

解　分别求出各区间上的反函数与定义域（原函数的值域）.

当x<0时，由y=x-1解得x=y+1；

当x≥0时，由y=x2解得

将x，y位置互换，得反函数