1.2.2　复合函数

客观事物往往是错综复杂的，因而表示自然规律、生产规律的函数结构也是复杂的.微积分中为了便于理解、计算，需要把复杂的函数分解为几个简单的函数，有时也需要把两个或两个以上的简单函数组合成另一函数.

例如，函数y=cos2x可以看成由函数y=u2和u=cosx组合而成的；又如，由函数y=eu，u=cosx可组合成函数y=ecosx.

在这些例子中，除自变量x和因变量y外，还出现了中间的变量u，y通过u而成为x的函数，称y为x的复合函数.

1.复合函数的定义

定义1　设函数y=f（u），u∈Df，y∈Rf，函数u=g（x），x∈Dg，u∈Rg.若Rg⊆Df，则称函数y=f（g（x））为由函数y=f（u），u=g（x）复合而成的复合函数.其中x为自变量，y为因变量，u称为中间变量.

注　（1）不是任何两个函数都可以构成一个复合函数，函数y=f（u），u=g（x）可以构成复合函数的条件是Rg⊆Df.例如，函数y=arcsinu与u=1+x2不可以构成一个复合函数.

（2）复合函数不仅可以有一个中间变量，还可以有多个中间变量，如u，v，w，t等.

（3）函数的复合一般与复合的次序有关，即f（g（x））与g（f（x））一般不是同一函数，甚至可能其中一个有意义而另一个没有意义.

例1　设y=f（u）=1+u2，u=g（x）=ln（1+x2），判断以上两个函数是否能复合成y=f（g（x））.

解　由Df=R，Rg=[0，+∞）知，Rg⊆Df，所以函数f（u）与g（x）能够构成复合函数，y=f（g（x））=1+g2（x）=1+ln2（1+x2）.

注　函数f（g（x））可以看作将函数g（x）代换函数y=f（u）中的u而得到的.

2.复合函数的分解

将一个复合函数分解为多个简单函数在复合函数的求导和积分计算中起着非常重要的作用对复合函数进行分解，通常分解到各层函数是基本初等函数或简单初等函数.

例2　将下列复合函数进行分解：

（1）y=（2x-1）2；　　（2）y=arcsin（x+1）；

解　（1）y=u2，u=2x-1；

（2）y=arcsinu，u=x+1；

（3）y=lnu，u=lnv，v=lnx；

（4）y=3u，u=arccosv，，w=2-x2