7.5　隐函数微分法

在第2章中我们已学习过了隐函数的概念，并且指出了不经显化直接由方程

F（x，y）=0

求出它所确定的隐函数的导数的方法，但是此微分法有一个前提：方程F（x，y）=0能确定函数y=f（x），且f（x）可导.一般地，方程F（x，y）=0未必能确定实函数y=f（x），如方程x2+y2+1=0就不能确定任何一个实函数y=f（x），因此在利用隐函数微分法之前，需验证这个前提是否成立.

问题：当二元函数F（x，y）满足什么条件时，方程F（x，y）=0能确定隐函数y=f（x），且f（x）可导？下面的定理7.4做出了回答，并给出了求导公式.

7.5.1　一个方程的情形

1.F（x，y）=0

定理7.4（隐函数存在定理1）　设函数F（x，y）满足：

（1）在点P（x0，y0）的某一邻域内具有连续的偏导数Fx（x，y），Fy（x，y）；

（2）F（x0，y0）=0；

（3）Fy（x0，y0）≠0.

则方程F（x，y）=0在点P（x0，y0）的某一邻域内能唯一确定一个单值且具有连续导数的隐函数y=y（x），它满足条件y0=y（x0），且有

注意　若定理中的（3）换成Fx（x0，y0）≠0，则方程F（x，y）=0确定隐函数x=x（y）在点（x0，y0）可导，且

定理的证明从略，仅对公式（7.9）做如下推导.

设方程F（x，y）=0在点P（x0，y0）的某一邻域内确定一个具有连续导数的隐函数y=y（x），则有恒等式

F（x，y（x））=0，

两边对x求导，得 ，由Fy（x0，y0）≠0，得

【例1】　验证方程x2+y2-1=0在点（0，1）的某邻域内能唯一确定一个单值可导，且x=0时y=1的隐函数y=y（x），并求这个函数的一阶和二阶导数在x=0的值.

解　令F（x，y）=x2+y2-1，则Fx=2x，Fy=2y，F（0，1）=0，Fy（0，1）=2≠0，依定理7.4知方程x2+y2-1=0在点（0，1）的某邻域内能唯一确定一个单值可导，且x=0时y=1的函数y=y（x），该函数的一阶和二阶导数分别为：

【例2】　已知xy-ex+ey=0，求.

解　令　　F（x，y）=xy-ex+ey，

则　　Fx（x，y）=y-ex，　Fy（x，y）=x+ey，

与定理7.4类似，若三元函数F（x，y，z）满足类似的条件，则由方程

F（x，y，z）=0

能确定偏导数存在的二元函数z=z（x，y），这就是下面的定理.

2.F（x，y，z）=0

定理7.5（隐函数存在定理2）　设函数F（x，y，z）满足：

（1）在点P（x0，y0，z0）的某一邻域内具有连续的偏导数；

（2）F（x0，y0，z0）=0；

（3）Fz（x0，y0，z0）≠0.

则方程F（x，y，z）=0在点P（x0，y0，z0）的某一邻域内能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的隐函数z=z（x，y），它满足条件z0=z（x0，y0），并有

定理的证明从略，偏导公式与一元隐函数类似，试自己推导.

【例3】　设2x2+y2+z2-2z=0，求.

解　由题意知，方程组确定隐函数z=z（x，y）.

令　　F（x，y，z）=2x2+y2+z2-2z，

7.5.2　方程组的情形

下面我们讨论由方程组确定隐函数组的问题.

为了叙述方便，引入雅可比（Jacobi）行列式：

1.

定理7.6（隐函数存在定理3）　设F（x，y，z）、G（x，y，z）满足：

（1）在点M0（x0，y0，z0）的某一邻域内具有对各个变量的一阶连续偏导数；

（2）F（M0）=0，G（M0）=0；

则方程组 在点M0（x0，y0，z0）的某一邻域内能唯一确定一对单值连续，且具有连续导数的隐函数组 ，它们满足条件y0=y（x0），z0=z（x0），并有

定理的证明从略，仅推导偏导数公式如下：

设方程组能确定隐函数组，则

在点M0的某邻域内，系数行列式 ，解得

求由方程组确定隐函数组的（偏）导数时，通常并不用定理中给出的公式，而是采用上述推导公式时所用的方法直接计算.

【例4】　设，求.

解　由题意知，方程组确定隐函数组x=x（z），y=y（z）.

方程组两边对z求导，得

当y-x≠0时，解上面关于的线性方程组得

2.

定理7.7（隐函数存在定理4）　设F（x，y，u，v）、G（x，y，u，v）满足：

（1）在点M0（x0，y0，u0，v0）的某一邻域内具有对各个变量的一阶连续偏导数；

（2）F（x0，y0，u0，v0）=0，G（x0，y0，u0，v0）=0；

则方程组 在点P（x0，y0，u0，v0）的某一邻域内能唯一确定一对单值连续，且具有连续偏导数的隐函数组 ，它们满足条件u0=u（x0，y0），v0=v（x0，y0），并有

定理的证明从略.

【例5】　设，求和.

解　方法一：由题意知，方程组确定隐函数组.运用公式推导的方法，将方程组的两边对x求偏导，并移项得

在的条件下，解得

类似地，将方程组的两边对y求偏导，可得

方法二：（全微分法）

分析：因为方程组确定了隐函数组，且函数u=u（x，y），v=v（x，y）均可微，所以.对方程组两边求全微分，由方程组解出du，dv，由全微分的形式不变性，得到.

方程组两边求全微分，得

这两种方法的区别在于：

公式推导法中，方程两边求（偏）导数时，需要知道所确定的隐函数中变量之间的关系；而在全微分法中，方程两边求全微分时，所有的变量均视为自变量.

习题7-5

1.求下列隐函数的导数：

2.求下列隐函数的偏导数：

3.设x=x（y，z），y=y（x，z），z=z（x，y）都是由方程F（x，y，z）=0所确定的具有连续偏导数的函数，证明：.

4.设z=f（x+y+z，xyz），求.

5.设x2+y2+z2-4z=0，求.

6.设z=f（x，y）是由方程z3-3xyz=a3（a是常数）所确定的函数，求.

7.设方程x+y+z=ez确定了隐函数z=z（x，y），求.

8.设，求.

9.设，求.

10.设方程组确定了反函数组，求.