上编 论吴文俊的数学史业绩

论吴文俊院士的数学史遗产

◎ 李文林

（中国科学院数学与系统科学研究院）

吴文俊院士从20世纪70年代中开始介入中国数学史研究，他的第一篇数学史论文《中国古代数学对世界文化的伟大贡献》使用了笔名“顾今用”。记得当年有一天我在原数学所大楼四层走廊里碰见吴先生时问他“顾今用是您吧？”他神秘地笑了笑，然后握着拳头神情严肃地说了一句：“准备战斗！”我当时没有理解这句话的意义，现在看得很清楚了：先生在逼近花甲之年，以战斗的姿态和科学的热情，古为今用，开创了数学机械化的崭新领域；同时以战斗的姿态，亲自深入数学史研究，以揭示历史本来面目为己任，为弘扬中国古代数学文化作出了巨大贡献。

一、古为今用的典范——数学机械化领域的开拓

数学史研究的重要意义之一，就是从历史的发展中获得借鉴和汲取教益，促进现实的数学研究，通俗地说就是“古为今用”。吴文俊本人的数学史研究从一开始就贯彻了这种古为今用的原则，其最丰硕的成果就是数学机械化理论的创立。

根据吴文俊的几何定理机器证明论文以及他的有关自述，他的几何定理机器证明方法至少具有以下三方面的历史渊源：

1．中国古代数学中的几何代数化倾向。中国古代数学的解方程传统可以追溯到《九章算术》。《九章算术》“方程”章，用“方程术”（线性联列方程组的消元解法）解各种应用问题。《九章算术》“方程术”在宋元时期被发展为解多元代数方程的消元算法。正如吴文俊本人在《几何定理机器证明的基本原理》一书的导言中所说的，“几何定理证明的机械化问题，从思维到方法，至少在宋元时代就有蛛丝马迹可寻。虽然这是极其原始的，但是，仅就著者本人而言，主要是受中国古代数学的启发。”

2．笛卡儿几何学机械化思想。吴文俊指出，笛卡儿《几何学》不仅为几何定理证明提供了不同于欧几里得模式（即从公理出发按逻辑规则演绎地进行，一题一证，没有通用的证明法则）的可能性，而且开创了可用计算来证明几何定理的局面。进而言之，我们知道，笛卡儿的解析几何不过是他建立所谓“通用数学”计划的一个具体实现。笛卡儿的“通用数学”实际上是一个将一切问题化为代数方程问题来求解的计划：

任何问题→数学问题→代数问题→方程求解（多个未知量→单个未知量）

吴文俊多次在讲演与论文中征引载于笛卡儿未完成的著作《指导思维的法则》中的这一计划。笛卡儿计划最终是将代数方程组化为单个代数方程并用机械化的方法求解。笛卡儿当初显然忽视了这方面的困难，他在《几何学》一书中倾力给出了解一元高次方程的机械作图法，而对怎样将多元方程组化为一元方程则未置一词。在欧洲，较系统的多元高次代数方程消元法直到18世纪末才出现在E.别朱等人的著作中，而至今国外尚无完整的求解非线性多项式方程组的方法。正是在这里，吴文俊取得了重要突破，他发现的三角化整序法是目前唯一完整的非线性多项式方程组消元解法，国际上称之为“吴算法”，而吴算法恰恰有着中国数学史的借鉴，就是宋元数学家的“四元术”等。吴文俊本人说道：“我解方程的方法基本上可以说是从朱世杰那儿来的，他用消去法，一个个消元，方法上可以说有个原始的样板。当然朱世杰没有什么理论，很粗糙；我发展下来，有一个真正现代数学的基础，就是代数几何。”

吴文俊上述这段话表明，从历史借鉴到理论创新并不是当然的过程，如果停留于历史的考察，那么“借鉴”将只能是一种愿望或设想。正是在这里，需要数学家们高度的创造性。例如上面提到的吴文俊的三角化整序法，正是在现代代数几何的基础上发展宋元数学家的消去法，并且打破现代代数几何研究中的理想论论式传统，恢复零点集论式而取得的巨大成功。又如，在初等几何定理证明中，将杂乱无章的代数关系式整理成序是问题的关键，这也需要代数几何的帮助，吴文俊摆脱了流行的存在性理论，采用经他本人改造的构造性理论而使问题有所突破，等等。这些应该是数学机械化的专门内容了。

3．希尔伯特《几何基础》。吴文俊在希尔伯特的著作中发现，希尔伯特首先指出了几何定理可以不必逐一证明，而是一类定理可以用统一的方法一起证明；在引入适当的坐标后，这种统一的方法也可以算法化。吴文俊的这一发现是出人意料的，因为希尔伯特《几何基础》向来被奉为现代公理化方法的经典，能够从中找到定理证明机械化的思想借鉴，这反映了吴文俊对历史考察的深度。综观中外数学史，许多重大的发明都是历史借鉴与当代创造的完美结合。吴文俊的数学机械化理论，提供了又一个范例。从吴文俊的数学史研究，到他的数学机械化理论的创立、完善，其中有许多问题本身就是值得数学史与数学工作者认真探讨的课题。

二、弘扬中国古代数学文化的旗手

从1975年起，吴文俊发表了一系列的数学史论著，这些论著包含了丰富的成果，但有一个贯串始终的主题，就是中国古代数学对世界数学主流的贡献。这方面的研究在国内外引起了巨大反响，可以说开辟了中国数学史研究的新阶段。

1．中国数学史研究的新阶段

为了充分理解吴文俊在这方面的研究工作的意义与影响，这里有必要对他介入中国数学史研究时这一领域的状况作一简要分析。事实上，在吴文俊之前，中国数史研究已经历了两个性质不同的阶段。

（1）长期以来，西方学术界对中国古代数学抱有根深蒂固的偏见。起先是不承认中国古代存在有价值的数学成就，直到19世纪末20世纪初，西方出版的数学史著作（如M.Cantor，D.E.Smith，F.Cajori等人的著作）中，才开始出现关于中国古代数学的专门章节，其中的论述主要是依据17世纪以后来华的一批传教士们的零散工作以及日本学者的研究。日本学者中最有代表性的是三上义夫，他在1913年出版了第一部用英文撰写的东亚数学史专著《中国和日本数学之发展》，该书被西方学者广泛引用。我们不妨把这一阶段称之为“存在性”阶段（19世纪中叶—20世纪初）。

（2）上述这些著述在西方学者认识中国古代数学之存在方面是有功绩的。但由于这一阶段的研究深度有限，这些著述还不足以回答部分西方学者关于中国古代数学独立性的疑问，即中国古代数学是否是其他古代文明（如古巴比伦、古印度和古希腊）的舶来品？例如，尽管毫无根据，有人却认为中国古代数学知识是从古希腊传入的。

从20世纪30年代起，李俨、钱宝琮以及稍晚的李约瑟开展了现代意义上的中国数学史研究。其中李约瑟的工作，由于是用英文写成的，在西方学术界影响更大。他1959年出版的《中国科学技术史》第3卷，通过广泛而深入的中西比较，批驳了在部分西方学者中流行的中国数学来源于古希腊或古巴比伦的谬说，对中国与印度之间的数学交流也作出了客观的分析，得出了数学上“在公元前250年到公元1250年之间，从中国传出去的东西比传入中国的东西要多得多”的结论。李约瑟的观点逐渐被一些公正的西方学者所接受。我们也可以称这一阶段为“独立性”阶段（20世纪30年代—20世纪中叶）。但是，对于中国数学的偏见与误解至此并没有真正消除，只是争论的焦点却转移到了所谓“主流性”的问题上，具体地说，就是有些西方学者坚持认为中国古代数学不属于所谓数学发展的主流。例如，在1972年出版的一本颇有影响的西方数学史著作（《古今数学思想》）中，作者在前言中这样写道：“我忽略了几种文化，例如中国的、日本的和玛雅的文化，因为他们的工作对于数学思想的主流没有影响。”因此，这个主流问题不解决，中国古代数学的意义就不足称道。而吴文俊院士从20世纪70年代中期开始的数学史研究，恰恰在揭示中国古代数学对世界数学发展主流的影响方面做出了特殊的贡献，从而将中国数学史研究推向了一个新阶段。

（3）吴文俊的研究首先是从根本上澄清什么是数学发展的主流。他第一个明确提出：从历史来看，数学有两条发展路线，“一条是从希腊欧几里得系统下来的，另一条是发源于中国，影响到印度，然后影响到世界的数学”。事实上，早在1975年的论文中，吴文俊已经用以下简图概括了数学发展过程中的两条思想路线：

根据与吴文俊先生的多次交流，笔者更倾向于将数学发展过程中的两条思想路线概括为

证明定理——希腊（西方）传统

创造算法（特别是解方程算法）——中国（东方）传统

这就是说，数学发展的主流并不像以往有些西方数学史所描述的那样只有单一的希腊演绎模式，实际上还有与之相平行的中国式数学。而就近代数学的产生而言，后者的意义至少绝不亚于前者。

数学史的结论是以可靠的史料与科学的分析为基础的。吴文俊从20世纪70年代中期开始，花费了大量精力直接钻研中国古代数学文献，围绕着中国传统数学的特点及其对世界数学主流的影响等问题，开展了空前系统而深入的研究。

针对某些西方学者认为中国古代没有几何学的偏见，吴文俊首先从几何学入手，他的研究揭示了一个与欧几里得几何风格迥异的中国古代几何体系。这一体系不是采用“定义——公理——证明——定理”那种演绎系统，而是从几条简明的原理出发，在此基础上推导出各种不同的几何结果。吴文俊提到的“简明原理”有：

① 出入相补原理；② 祖暅原理等。其中，“出入相补原理”是吴文俊在研究刘徽著作的基础上首次概括出来，已成为解释中国古代几何中许多疑难问题的一把金钥匙。

用现代术语表述，出入相补原理相当于说：一个平面或立体图形被分割成几部分后，面积或体积的总和保持不变。吴文俊本人用它来成功地复原了刘徽《海岛算经》中的重差公式、秦九韶《数书九章》中的三角形面积公式的证明等等，而这些公式的来源曾使以往的数学史家长期感到迷惑或争论不休。尤为重要的是，吴文俊在他关于重差术与天元术的关系的研究中发现，正是出入相补原理，引导中国古代数学家将几何问题转化为代数方程求解，从而逐步形成了中国古代几何不同于希腊几何的另一个更为本质的特征——几何代数化。

几何代数化在近代数学的兴起过程中有着不可低估的作用，这只要看看解析几何的发明就很清楚。事实上，在笛卡儿的《几何学》中，我们找不到一条“定理”，相反笛卡儿恰恰是在批判古希腊几何传统的基础上发明了他的解析几何。吴文俊还根据对数学史的具体考察，分析了在微积分这一重大科学创造活动中希腊式数学（如穷竭法等）的脆弱性以及中国式数学（如十进小数制、算法倾向、与西方数学史家盛赞的所谓Cavalieli原理相等价的“祖暅原理”等）的创造力。因此十分清楚，如果人们承认解析几何与微积分的发明是属于所谓数学发展的“主流”的话，那么，就不应当无视中国古代数学对这一主流的贡献。

吴文俊认为，“代数无疑是中国古代数学中最发达的部门”，他对中国古典代数学的研究所引出的最重要结论是，指出“解方程是中国传统数学蓬勃发展的一条主线”。吴文俊对从《九章算术》中解线性联列方程组的消元法，到宋元数学家解高次方程的数值方法（增乘开方法、正负开方法），以及特别是朱世杰等人的“四元术”中所包含的多项式运算与消元技术，开展了全面的考察，并且将这些算法编成程序在计算机上加以实施。正是在这里，吴文俊对中国古代数学的特点的理解趋于成熟，他在20世纪80年代中的一系列文章里，明确地、反复地强调：“就内容实质而论，所谓东方数学的中国数学，具有两大特色，一是它的构造性，二是它的机械化（后来也代之用“算法化”）。”在吴文俊的影响下，20世纪80年代中国数学史界连续掀起了对中国古代数学再认识的研究高潮。这期间，仅吴文俊本人主编的中国数学史著作就有：《〈九章算术〉与刘徽》（1982）、《秦九韶与〈数书九章〉》（1987）、《刘徽研究》（1993）、《中国数学史论文集（1—4）》（1985—1996）等，后又推出了10卷本巨著《中国数学史大系》（1998—2004）。吴文俊的观点在国外也产生了广泛的影响。1986年，在美国伯克利举行的国际数学家大会上，他应邀作了关于中国数学史的45分钟报告。

2．数学史研究的科学方法

吴文俊在数学史领域中的创造性见解的获得，是与他所提倡的科学的研究方法分不开的。吴文俊在对中国数学史研究的现状进行了深入的调研分析后发现，以往的中国数学史研究中存在着一个普遍的方法论缺陷，就是不加限制地搬用现代西方数学符号与语言来理解中国或其他文明的古代数学。吴文俊认为，这种错误的研究方法乃是对中国古代数学的许多误解的根源之一。他指出：“我国传统数学有着它自己的体系与形式，有着它自己的发展途径与独创的思想体系，不能以西方数学的模式生搬硬套。”

作为一位严肃的科学家，吴文俊提出了研究古代数学史的方法论原则。他曾在不同场合多次阐明这些原则，并将其提炼为：

原则Ⅰ：所有研究结论应该在幸存至今的原著的基础上得出。

原则Ⅱ：所有结论应该利用古人当时的知识、辅助工具和惯用的推理方法得出。

说明吴文俊提出的上述原则对于数学史研究的功效的最典型的例子是他对《周髀算经》日高公式（≈刘徽海岛公式）证明的复原，这是他在数学史方面一个关键的发现。日高=（表高×表距）/影差+表高吴文俊的古证复原原则，很快被证明是探索中国古代数学史的正确途径。吴文俊首次运用这些原则的论文《出入相补原理》，最初发表在《中国古代科技成就》一书中，后来被译成英文，已成为被引用频率最高的数学史论文之一。现在，吴文俊提出的古证复原原则，已被越来越多的数学史同行所认同，它本身就成为数学史界乃至整个科学史界的宝贵财富。

三、吴文俊丝绸之路数学与天文基金

吴文俊院士在2002年北京国际数学家大会开幕式主席致辞中指出：

“现代数学有着不同文明的历史渊源。古代中国的数学活动可以追溯到很早以前。中国古代数学家的主要探索是解决以方程式表达的数学问题。以此为线索他们在十进位值制记数法、负数和无理数及解方程式的不同技巧方面做出了贡献。可以说中国古代的数学家们通过‘丝绸之路’与中亚甚至欧洲的同行们进行了活跃的知识交流。今天我们有了铁路、飞机甚至信息高速公路，交往早已不再借助‘丝绸之路’，然而‘丝绸之路’的精神——知识交流与文化融合应当继续得到很好地发扬。”

其实就在2002年北京国际数学家大会召开前一年，吴先生已从他的国家最高奖奖金中拨出巨款建立了“数学与天文丝路基金”，鼓励并资助有发展潜力的年轻学者从事有关古代与中世纪沿丝绸之路（重点为中亚地区）数学与天文交流的研究。

吴文俊数学与天文丝路基金的宗旨是澄清沿丝绸之路数学与天文交流的情况，进一步发掘古代数学与天文遗产，探明近代数学的源流。我认为丝路课题可以说是凝集了吴先生最主要的数学史思想和理念：他关于数学发展主流的观点；关于古为今用、自主创新的理念等等。在2000年前后，吴先生提出这样的丝路课题，可见他非同一般的远见与卓识！在吴文俊丝路基金的支持、推动下，有关的研究得到了积极的开展并取得了初步的成果，翻译出版了《丝绸之路数学名著译丛》《比较数学史丛书》（山东教育出版社，2010）等中外数学天文史比较研究专著、译著和研究论文。更重要的是，在这一过程中，成长起一批专攻伊斯兰、印度等东方数学经典的青年学者（其中已有掌握阿拉伯语和梵文等语言、能直接解读翻译相关数学文献者），形成了专长于东西数学传播与交流研究的团队。

我们已经做的工作只能说是迈出了第一步。吴文俊数学与天文丝路基金倡导的是一项任重道远、艰巨而又功及后世的事业，不可能毕其功于一役，甚至需要几代人的努力。但重要的是脚踏实地地开始行动，克服困难，拼搏向前，为弘扬中华科学的光辉传统与灿烂文化，同时也为激励更多具有中国特色的自主科技创新而作出重大贡献。

四、“准备战斗”

对吴文俊院士在数学史方面的研究、他提出的数学史观并不是没有争议，这一点吴先生本人是清醒的，他在发表第一篇数学史论文时掷地有声地表示要“准备战斗”，绝非空穴来风。

1．是不是具有民族主义倾向？

“民族主义”的词义是复杂的。通过不同民族或国家文化的科学比较分析揭示一种民族文化在人类文化进程中的作用，弘扬民族文化，捍卫民族文化，增强民族自信，如果将此称为“民族主义”，何错之有？相反，这是正确的、正义的。

我们要反对的是狭隘的、极端的民族主义。狭隘的和极端的民族主义是以排他性为特征，就是说排斥、藐视、贬低甚至摧残其他民族的文化，这也是以种族优越论为基础的西方中心论的特征。这些恰恰是吴文俊先生坚决反对并在自己的数学史研究中予以尖锐批判的。长期以来，在西方中心论的价值观和评判标准下，中国古代数学是被严重贬低甚至是被虚无了。吴文俊先生以一个有国际声望的数学家的身份进入数学史领域，亲自深入探讨中国古代数学的成就及其世界意义，他的一些论述，对于改变对中国古代数学的偏见具有振聋发聩的国际影响，他能受邀在国际数学家大会这样的讲坛上去报告自己的数学史研究、论述自己的数学史观，就足以说明问题。应该说，从20世纪80年代起相当长的时期里，吴文俊先生作为弘扬中国古代数学文化的旗手，功莫大焉！吴文俊以构造性、机械化的数学与演绎式、公理化的数学相提并论，从根本上肯定中国古代数学对世界数学发展主流的贡献，这并不意味着他对演绎式、公理化数学的否定，相反地，吴文俊说过：“在它（欧几里得演绎体系）的影响下，形成了绚丽多彩的现代数学，希腊数学对数学的这种影响与成就，自然是不可磨灭而应该为国人所向往与虚心学习的。”他还认为，数学研究的两种主流“对数学的发展都曾起过巨大的作用，理应兼收并蓄，不可有所偏废”。类似的论述在吴文俊先生的著述中决不乏见，说明了他对数学史的客观与科学的态度，也说明了他对不同文化传统取长补短、兼容并蓄的博大胸怀。而他的数学机械化理论，恰恰是中西融合的闪亮的金块。

2．是否夸大了中国古代数学的成就与意义？

认真考察吴文俊先生的具体研究结果：出入相补原理与中国古代几何学、日高公式复原、中国古代实数理论、宋元数学家解方程的算法特别是朱世杰的“四元术”等，我们得不出这样的结论。这方面的一些批评意见，有许多其实是由于对中国古代数学缺乏必要的了解。事实上，如果认真了解了赵爽、刘徽、祖冲之父子等人的工作，就绝不会认为吴文俊夸大了中国古代几何学的成就；同样，如果不了解《九章算术》中的“开方术”及刘徽关于实数的十进分数逼近的论述，那就完全可能认为吴文俊对中国古代实数理论的论点是夸大了。

诚然，在中国科学史研究中确存在有拔高中国古代数学成就的现象，但并非主流，亦非吴文俊先生本意。即使到目前，就总体而言，中国古代数学并不是被不恰当地高估了，而是期待着进一步的挖掘与更充分的认识。

现在来考察贯串吴文俊数学史论著对数学发展主流的看法，这方面的争议在吴先生发表其论点之前本已存在。我们在前面已经提到《古今数学思想》中否定中国古代数学的主流意义的代表性观点，而就在此前不久，另一部影响广泛的数学史著作《数学简史》第三版出版，作者J.D.斯特罗伊克在序言中表达的则是另一种观点：“在这一版里，古代中国数学是按照应有的地位作为中世纪和中世纪以前的一部分来讲的，而不是把它当作科学发展主流以外的一种现象。”

吴文俊则是第一位明确提出与希腊演绎式数学相并行的另一条数学发展主流线索的数学家，并且深入探讨了这条主线的特征、分析了近代数学兴起中东方元素的作用。这无异于在科学史研究领域提出了新的价值标准与评价体系，而在以往这方面的标准制定完全是西方专利。

在吴文俊第一篇数学史论文问世以后将近半个世纪以来，众多中外学者的深入研究和大量史料的发掘，为吴文俊的数学史观提供了有力的支持，推荐参阅

（1）V.J.Katz （ed.），The Mathematics of Egypt，Mesopotamia，China，India and Islam：A Source Book，Princeton University Press （2007）（中译本：《东方数学选粹——埃及、美索不达米亚、中国、印度与伊斯兰》，纪志刚等译，上海交通大学出版社（2016））.

（2）K.Chemla et Shuchun Guo：Les Neuf Chapitres：Le Classique Mathematique de la Chine Ancienne et ces Commentaires，Dunod Editeur，Paris （2004）.

（3）Shen Kangshen，John N.Crosley and Anthony W.-C.Lun：The Nine Chapters on the Mathematical Art，Companion & Commentary，Oxford University & Science Press（1999）.

（4）P.Gabriel：Matrizen Geometrie Lineare Algebra，A2 Fanf-Cheng-Algorithmus，Birkhaeuser Verlag （1996）.

我们只能说：这方面的研究还有很大的深入空间。未来的研究将进一步证明吴文俊关于数学发展主流的论断与研究的正确，进一步突显吴文俊数学史研究的深远的文化意义。

吴文俊院士为我们留下了宝贵的数学史遗产！我们要以他为榜样，以战斗的姿态，继承这笔遗产，捍卫这笔遗产，发展这笔遗产！

（此文的另外一个版本发表于《上海交通大学学报（哲学社会科学版）》2019年第1期，文字有改动）