第32节　命题函项的外延

两个命题函项如果有下面这样的关系，即每个满足此一函项的对象（或二元组对象、三元组对象，等等）也都满足另一函项，我们就说前一个函项“普遍蕴涵”后一个函项。两个命题函项如果有普遍蕴涵关系，我们就称它们为“普遍等值”或“外延相同”。因此，外延相同的命题函项被完全相同的主目所满足。如果我们赋予外延相同的命题函项以相同的符号，并且此后只用这些新符号，而不再使用命题函项本身原有的符号，那么我们显然就把外延相同的诸命题函项中一切不同之点撇开了，而仅仅把握其一致的地方。我们把这种方法称为“外延的方法”；外延相同的诸命题函项所用的一致的符号，我们称为“外延符号”。它们没有独立的意义，只有在我们对所有要使用它们的语句形式中指出如何能把这些语句转换为不再包含外延符号的语句，才有理由使用它们；在把这些符号反译回来时，它们就被相当的命题函项本身所取代了（更确切地说，每个外延符号都由任何一个被赋予这个符号的彼此外延相同的命题函项所取代）。外延符号没有独立的意义，因而也是（比命题函项更高程度上的）不饱和符号，但是我们根据通常语言上的习惯用法谈论它们，仿佛确有其所指的对象；这些对象我们就称为“外延”。因而外延是准对象。例如，我们说两个外延相同的命题函项有同一外延（因而才有“外延相同”一词），因为它们被赋予同一外延符号。而且，如果两个命题函项有这样的关系，即每个满足此一函项的对象（或二元组对象、三元组对象，等等）也满足另一函项，那么我们就不难看出，如果这两个命题函项中一个函项是被另一个外延相同的函项所替换，则两者也就发生了普遍蕴涵的关系。因此我们可以借助外延符号来表达这个关系；两个外延符号之间的⊂符号被定义为意指有关的命题函项间的普遍蕴涵。如果我们又采用把外延符号对象化的习惯用法，我们就可以说，假如语句“a⊂b”是正确的，则“（外延）a被（外延）b所包含”，两个外延间的这种关系我们称为“包含”或“包摄”。

给定一个命题函项，我们就用符号来表示其外延，方法是将冠以重音符号∧的变项置于用括号括起来的命题函项表达式之前：我们在下面讨论两类外延即类和关系时，将举例说明之。