第三节 线性方程组与矩阵的初等变换
［课前导读］
本节通过高斯消元法解线性方程组，引入矩阵的初等行变换，并给出矩阵的初等变换、阶梯形矩阵、行最简形矩阵、矩阵等价等概念．最后，我们利用矩阵的初等行变换来求解线性方程组．在学习本节之前，需要读者回忆消元法解线性方程组的相关知识．当然，正文中会详细给出如何用消元法解线性方程组．
一、矩阵的初等变换
在中学时我们就学过高斯消元法解线性方程组，简单地说，就是通过方程组中方程之间的运算，把一些方程中的未知量消去，从而得到方程组的解．
下面，我们用高斯消元法来解一个线性方程组．由于线性方程组与它的增广矩阵有着对应关系，为了了解在求解过程中线性方程组的增广矩阵的变化，我们把在消元过程中出现的线性方程组的增广矩阵写在该方程组的右边．
矩阵的初等变换
例1 求解线性方程组
解
在用消元法解线性方程组的过程中，我们主要用到了下列三种方程之间的变换：
（1）交换两个方程的次序；
（2）一个方程乘上一个非零数；
（3）一个方程乘上一个非零数加到另一个方程上．
这三种方程之间的变换都是可逆的，比如在例1中，交换原方程组的第一个方程和第二个方程得到方程组（1），于是交换方程组（1）的第一个方程和第二个方程就得到原方程组；把方程组（1）的第一个方程乘以-2分别加到第二个方程和第三个方程上得到方程组（2），则方程组（2）的第一个方程乘以2分别加到第二个方程和第三个方程上就得到方程组（1）；方程组（2）的第二个方程乘以-1加到第三个方程上，然后第三个方程乘以-1得到方程组（3），则方程组（3）的第三个方程乘以-1，然后第二个方程乘以1加到第三个方程上就得到方程组（2）．因此，变换前的方程组与变换后的方程组是同解的．从而最后求得的方程组（5）的解就是原方程组的解，即原方程组有唯一解：x1=1，x2=1，x3=4．由此可见，对矩阵实施这些变换是十分必要的，我们引入如下定义．
定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换：
（1）交换矩阵的某两行，我们用ri↔rj表示交换矩阵的第i、j两行；
（2）矩阵的某一行乘以非零数，用kri表示矩阵的第i行元素乘以非零数k；
（3）将矩阵的某一行的倍数加到另一行，用rj+kri表示将矩阵第i行的k倍加到第j行．
将上面定义中的“行”换成“列”（记号由“r”换成“c”），就得到了矩阵的初等列变换的定义．
矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换．
显然，三种初等行（列）变换都是可逆的（简单的说，就是变换可以还原），它们的逆变换分别为：变换ri↔rj的逆变换就是其本身；变换kri的逆变换是
变换rj+kri的逆变换是rj+（-k）ri．
在例1中，线性方程组（3）、（4）、（5）对应的增广矩阵有一个共同特点，就是：可画一条阶梯线，线的下方全为零；每个台阶只有一行，台阶数就是非零行的行数；每一非零行的第一个非零元位于上一行第一个非零元的右侧，即
这样的矩阵，我们称为行阶梯形矩阵．对于最后一个矩阵，它的非零行的第一个非零元全为1，并且这些“1”所在的列的其余元素全为零，这样的阶梯形矩阵，我们称为行最简形矩阵．
例2 矩阵
不是行阶梯形矩阵，因为第一行第一个非零元2下方有非零元素4；
矩阵
也不是行阶梯形矩阵，因为第二行第一个非零元3不在上一行第一个非零元1的右侧；
矩阵
也不是行阶梯矩阵，因为全零行（第二行）下面有非全零行（第三行）；
矩阵
是行阶梯形矩阵，并且是行最简形矩阵．
例3 试用矩阵的初等行变换将矩阵
先化为行阶梯形矩阵，再进一步化为行最简形矩阵．
对于行最简形矩阵再实施初等列变换，可变成一种形状更简单的矩阵．例如，将例3中的行最简形矩阵再实施初等列变换，得
最后一个矩阵F称为矩阵A的标准形，写成分块矩阵的形式，则有
对于一般的矩阵，我们有下面的结论．
定理 （1）任意一个m×n矩阵总可以经过若干次初等行变换化为行阶梯形矩阵；
（2）任意一个m×n矩阵总可以经过若干次初等行变换化为行最简形矩阵；
（3）任意一个m×n矩阵总可以经过若干次初等变换（行变换和列变换）化为它的标准形
其中r为行阶梯形矩阵中非零行的行数．
定义2 若矩阵A经过有限次初等行（列）变换化为矩阵B，则称矩阵A与矩阵B行（列）等价；若矩阵A经过有限次初等变换化为矩阵B，则称矩阵A与矩阵B等价．
我们用
表示矩阵A与矩阵B行等价，用
表示矩阵A与矩阵B列等价，用A~B表示矩阵A与矩阵B等价．
注意：矩阵间的行（列）等价以及矩阵间的等价是一个等价关系，即满足
（1）自反性：任意矩阵A与自身等价．
（2）对称性：若矩阵A与矩阵B等价，则矩阵B与矩阵A等价．
（3）传递性：若矩阵A与矩阵B等价，矩阵B与矩阵C等价，则矩阵A与矩阵C等价．
等价关系是数学中一个十分重要的概念．等价的对象具有某种共性，这在以后可以得到具体的体现．
二、求解线性方程组
对于n元线性方程组
如果bi（i=1，2，…，m）不全为零，那么这个线性方程组称为n元非齐次线性方程组，如例1中的方程组就是3元非齐次线性方程组．如果b1=b2=…=bm=0，即形如
的线性方程组称为n元齐次线性方程组．显然，齐次线性方程组一定有解x1=x2=…=xn=0，这个解称为齐次线性方程组的零解．如果齐次线性方程组有唯一解，则这个唯一解必定是零解．当齐次线性方程组有无穷多解时，我们称齐次线性方程组有非零解．下面，我们用矩阵的初等行变换来求解线性方程组．
消元法解线性方程组的过程就是对线性方程组的增广矩阵做初等行变换，将原方程组的增广矩阵先化为行阶梯形矩阵，然后再化为行最简形矩阵的过程．而增广矩阵的行最简形矩阵所对应的线性方程组与原线性方程组是同解的．因此，解n元非齐次线性方程组的具体步骤如下：
（1）写出线性方程组（3-1）的增广矩阵
（2）对
实施初等行变换，化为行最简形矩阵
（3）写出以
为增广矩阵的线性方程组；
（4）以第一个非零元为系数的未知量作为固定未知量，留在等号的左边，其余的未知量作为自由未知量，移到等号右边，并令自由未知量为任意常数，从而求得线性方程组的解．
例4 解方程组
解 对该线性方程组的增广矩阵实施初等行变换，得
从而原方程组等价于
令x4=c，移项，得原方程组的解为：
其中c为任意常数．
例5 解方程组
解 对该线性方程组的增广矩阵实施初等行变换，得
从而原方程组等价于
最后一个方程为矛盾方程，所以原方程组无解．
从例1、例4、例5可以看出，若线性方程组（3-1）的增广矩阵为
的行最简形，则关于线性方程组（3-1）的解，我们有以下命题：
命题 （1）线性方程组（3-1）有解的充分必要条件是第一个非零元不出现在
的最后一列；
（2）线性方程组（3-1）有唯一解的充分必要条件是第一个非零元不出现在
的最后一列，且第一个非零元的个数等于未知量的个数；
（3）线性方程组（3-1）有无穷多解的充分必要条件是第一个非零元不出现在
的最后一列，且第一个非零元的个数小于未知量的个数．
证明 只需证明条件的充分性，因为（1）、（2）、（3）的必要性可分别由（2）、（3），（1）、（3）和（1）、（2）的充分性利用反证法得到．对线性方程组（3-1）的增广矩阵
实施初等行变换，化为行最简形矩阵
为了书写方便，不妨设
为
（1）如果首元出现在最后一列，即dr+1=1，于是
的第r行对应矛盾方程0=1，从而线性方程组（3-1）无解．
（2）当dr+1=0（或dr+1不出现），且首元的个数等于未知量的个数时，
变为
对应的方程组为
从而线性方程组（3-1）有唯一解．
（3）当dr+1=0（或dr+1不出现），且第一个非零元的个数小于未知量的个数时，
变为
对应的方程组为
令自由未知数xr+1=k1，xr+2=k2，…，xn=kn-r，即得线性方程组（3-1）的含有n-r个参数的解
从而线性方程组（3-1）有无穷多解．
对于n元齐次线性方程组（3-2），由于等号右端的常数项全为零，所以只需对方程组的系数矩阵实施初等行变换即可．
例6 解线性方程组
解 对该线性方程组的系数矩阵实施初等行变换，得
所以该线性方程组只有零解．
例7 解方程组
解 对该线性方程组的系数矩阵实施初等行变换，得
从而原方程组等价于
令x3=c，移项，得原方程组的解为：
其中c为任意常数．
习题1-3
1. 用初等行变换将下列矩阵化为行最简形矩阵：
2. 解下列齐次线性方程组：
3. 解下列非齐次线性方程组：
4. 设有齐次线性方程组
当λ取何值时该方程组只有零解？当λ取何值时该方程组有非零解？并在有非零解时求出全部解．
5. 设有非齐次线性方程组
讨论p，t的取值对该方程组解的影响，并在有无穷多解时求其解．