第1章 绪论
1.1 图像复原的意义
自20世纪末，伴随计算机技术的突飞猛进和离散数学理论的不断完善，数字图像处理技术取得了飞速发展，并在各个领域得到了广泛应用。在军事领域，数字成像技术和图像处理技术为目标侦测、武器制导和打击评估等军事任务提供了不可或缺的技术手段。历次高科技战争中，可见光、红外和合成孔径雷达等成像技术无不贯穿始末，其应用极大地提高了军事装备的信息化水平，从根本上颠覆了传统的作战样式和理念。可以说，现代“信息战”已深深烙上了数字图像处理技术的印记。在民用领域，图像处理技术更是渗透到天文观测、地球遥感、生物医学、社交通信、电影制作和视频监控等人类社会的方方面面。
当今社会，人类已步入图像大数据时代，图像（视频）为人们提供了无数资源信息。然而，在图像的采集、转换和传输过程中，由于人为操作、成像系统缺陷和外部环境不确定因素的影响，不可避免地会产生许多图像退化（image degradation）现象［1］。某些退化情况是人为设定的，如图像压缩（compression）可以大幅度减少图像数据的存储空间和传输时间；图像压缩感知［2］（compressed sensing，CS）可以放宽图像采样条件并大幅降低海量数据的存储、传输和处理成本。更多类型的退化则是人们所不愿看到的，如由噪声和模糊（blurring）所引起的图像退化。图像退化会带来分辨率的下降，进而严重影响后序的分析判读、特征提取和模式识别等处理工作。例如，在红外制导的超声速巡航武器中，光学导引头与大气之间剧烈作用所产生的复杂湍流流场和气体密度变化，会对光学成像系统造成热辐射干扰和图像传输干扰，导致成像图像产生像素偏移和模糊等气动光学退化效应，进而严重影响导引头探测、识别和跟踪目标的能力，降低武器命中精度。
为获得更加真实可靠的信息，在对图像进行高级处理之前，需要对其进行畸变校正、去噪、去模糊（deblurring）、修补（inpainting）、超分辨率（super resolution）重建和压缩感知重建等操作。图像复原（image restoration）技术是抑制噪声、消除模糊、提升图像分辨率和重建图像的有效途径，作为图像处理最基本的研究课题之一，历来受到计算机视觉、信号处理和应用数学等领域研究学者的广泛关注。图像复原可以从两个方面实现，一种是采用硬件技术，如采用更高质量的成像设备，该种途径的优点是快速有效，但其成本高昂，且灵活性不足，往往仅在特定场合下应用；另一种是通过软件的方法，即通过算法实现退化图像的分辨率提升或是图像的重建，该方法成本低廉，方便灵活，自提出后便具有很强的生命力。
图像退化通常意味着某些重要元素的丢失，或是观测数据相对于原始数据维数的压缩，故作为其逆运算的图像复原往往是病态的反问题（Ill-Posed Inverse Problem）。反问题的病态性表现为解不连续地依赖于观测数据，换句话说，即便是退化机制完全已知，观测数据中的轻微噪声和计算过程中的微小扰动都会导致解的很大变动。求解病态问题的关键在于正则化［3］，即利用关于解的先验信息构造附加约束，从而将病态问题转换为具有稳定解的适定问题加以求解［4］。
图像复原的基本实现途径是构造目标函数（当图像函数连续时，应理解为目标泛函）并使其最小化，在这一过程中衍生出了两个图像复原领域的热点问题：
（1）图像正则化模型的构造
反问题研究的先驱者Tikhonov于1963年提出了正则化（regularization）思想，并随后提出了经典的基于l2范数的Tikhonov正则化模型［3］。过强的Tikhonov正则化将解限制为平滑解，而在图像信号的复原中通常并不希望得到过平滑的解。图像中的边缘和纹理构成了重要的细节特征，而图像正则化的难点在于如何在噪声抑制和细节保存之间取得平衡。图像细节和高频噪声在频域上是混叠的，过强的正则化在去噪的同时也会抑制图像中的细节信息。后续的正则化方法无不采用融入图像先验模型的方式，来实现保存图像细节的目的。因此，构造能更好地保存图像细节信息的正则化模型成为当前图像反问题领域的研究热点之一。
（2）非线性正则化函数的求解
传统的Tikhonov正则化方法的一大优势是可以通过线性滤波得到封闭解（解析解），但这种解被证明是过平滑的。此后的保持边缘的图像复原方法则更多地采用了非线性正则化模型，如全变差（total variation）模型和小波（wavelete）模型。然而，非线性正则化函数很难求得封闭解甚至并不存在封闭解，并且，非线性正则化模型在改善结果的同时，引入了非线性性、非光滑性、甚至是非凸性等一系列问题。这些问题连同图像数据本身的高维性和退化过程建模算子的非稀疏性，使得非线性正则化函数的迭代求解成为一个极富挑战性的工作。深入挖掘正则化函数的结构特点，构建准确、简洁、快速、并行的函数求解算法成为应用数学、计算机视觉和信号处理等多个研究领域关注的焦点。
图像复原问题是一类有着重要理论意义和广泛工程应用背景的科学问题，解决这类问题的关键在于：构建合理反映图像先验模型的正则化函数，设计准确、简洁、快速、并行的函数求解算法。算子分裂［5］是近些年发展起来的用于精确求解非线性函数的有效方法，利用算子分裂理论可以导出利于分布式计算的高效算法，它为大数据时代图像复原问题的解决提供了更好的解决思路。课题着眼于图像复原问题的准确快速解决，对图像复合正则化模型的构建、算子分裂方法的并行实现及其在图像复原反问题中的应用进行了系统深入的研究。