第一节函数及其性质_高等数学-QQ阅读男生轻小说网

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第一节　函数及其性质

一、函数

1.函数的定义

定义　设在某个变化过程中有两个变量x和y，变量y随着x的变化而变化，当x在一个非空数集D上任取一值时，y依照某一对应规则f总有一个确定的数值与之对应，则称变量y是变量x的函数.记为

D称为函数的定义域，与x对应的y称为函数值，记为f（x），即y=f（x），函数值f（x）的全体所构成的集合称为函数的值域，记作M.

习惯上，把x称为自变量，y称为因变量.

同一问题中不同的函数，应该用不同的记号，如f（x）、g（x）、F（x）、G（x）等等.

需要注意的是，函数的定义中有两个要素，即定义域D与对应规则f.只有当两个函数的定义域和对应规则完全相同时，它们才是同一个函数.此外，如果出现对于变量x，有几个y值与之对应的情形，根据函数定义，y不是x的函数，但为了方便，我们约定把这种情况称为y是x的多值函数.对于多值函数通常是限制其y的变化范围使之成为单值，再进行研究.例如，反三角函数y=arcsinx是多值函数，当y限制在时，就是单值函数了，记为y=arcsinx.

表示函数的主要方法有三种：表格法、图形法、解析法（公式法）.

下面举几个函数及求解相关问题的例子.

【例1】设，求f（x）.

解：令x+3=t，则x=t-3

即

所以

【例2】求函数的定义域.

解：要使函数有意义，必须使.

解得：-2≤x≤2　且x＞1

所以函数的定义域为{x|1＜x≤2}.用区间可表示为（1，2］.

2.反函数

设给定y是x的函数，如果对其值域R中的任一值y，都可通过关系式在其定义域D中确定唯一的一个x与之对应，则得到一个定义在R上的以y为自变量，x为因变量的函数，我们称其为y=f（x）的反函数，记为x=f-1（y）.

习惯上自变量用x表示，因变量用y表示，因此，在x=f-1（y）中将x与y互换后记为y=f-1（x），称y=f（x）和y=f-1（x）互为反函数，其图像在同一条直角坐标系内关于直线y=x对称.

求反函数的步骤一般是：先从y=f（x）中解出x，得x=f-1（y），再将x，y 分别换为y，x.即y=f-1（y）就是y=f（x）的反函数.

【例3】求y=2x-5的反函数.

解：解出x，得

将x、y分别换成y、x，得

所以，y=2x-5的反函数为.

还有许多反函数的例子，如y=logax与y=ax互为反函数；y=arcsinx与y=sinx互为反函数，等等.

3.复合函数

定义　设y=f（u），u=ϕ（x），函数u=ϕ（x）的值域的全部或一部分包含在函数y=f（u）的定义域内，则对u=ϕ（x）定义域内的x，有y=f［ϕ（x）］，此函数称函数y=f（u），u=φ（x）的复合函数，其中u称为中间变量.

例如，y=sinu和u=x2+1可构成复合函数y=sin（x2+1）.

【例4】 y=aarctanx是由哪些基本初等函数复合而成的？

解：令u=arctanx，则y=au，而u=arctanx

所以y=aarctanx是由y=au与u=arctanx复合而成的.

【例5】是由哪些基本初等函数复合而成的？

解：它可以看做由，u=logav，三个基本初等函数复合而成的.

4.函数的基本性质

（1）函数的有界性

设函数y=f（x）的定义域为D，数集I⊂D，如果存在一个正数M，使得在I上的函数值f（x）都满足

则称函数y=f（x）在I上有界，亦称f（x）在I上是有界函数，如果不存在这样的正数M，则称函数y=f（x）在I上无界，亦称f（x）在I上是无界函数.

例如函数y=sinx在区间（-∞，+∞）内有|sinx|≤1，所以函数y=sinx在（-∞，+∞）内是有界的.

注意，有可能出现以下的情况：函数在其定义域上的某一部分是有界的，而在另一部分是无界的，因此，说一个函数是有界的或无界的，必须指出其相应的范围.如函数y=tanx在上是有界的，而在内是无界的，而笼统说函数y=tanx是有界函数或无界函数都是不确切的.

（2）函数的单调性

设函数y=f（x）在（a，b）内有定义，任取两点x1，x2∈（a，b），当x1＜x2时，如果有f（x1）＜f（x2），则称函数y=f（x）在（a，b）内单调增加；当x1＜x2时，如果有f（x1）＞f（x2），则称函数y=f（x）在（a，b）内单调减少（图1.1、图1.2）.

图1.1

图1.2

例如，y=x2在（0，+∞）内单调增加，而在（-∞，0）内单调减少，又如y=tanx在内单调增加.

同样要注意，会有下列情况出现：一个函数在某一区间是单调增加的，而在另一个区间是单调减少的，因此，说一个函数是单调的，必须相对区间而言.

（3）函数的奇偶性

设函数y=f（x）的定义域D关于原点对称，如果对于任何x∈D，有f（-x）=f（x），则称函数y=f（x）在D上是偶函数；如果有f（-x）=-f（x），则称函数y=f（x）在D上是奇函数.既不是奇函数，也不是偶函数的函数称为非奇非偶函数.f（x）=0，x∈R，这个函数既是奇函数，又是偶函数.

显然，偶函数的图形关于y轴对称（图1.3），奇函数图形关于原点对称（图1.4）.

图1.3

图1.4

（4）函数的周期性

设函数y=f（x）在D上有定义，如果存在一个正数l，对于任何x∈D，有（x±l）∈D，且f（x+l）=f（x），则称函数y=f（x）是周期函数，l称为f（x）的周期，通常所说的周期，是指最小正周期.

例如，y=cosx的周期是2π，的周期是4π.

二、初等函数

这里主要介绍基本初等函数及其图形.

常量函数y=c；幂函数y=xα（α为任何实数）；指数函数y=ax（a＞0，且a≠1）；对数函数y=logax（a＞0，且a≠1）；三角函数y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx，y=secx，y=cscx以及反三角函数y=arcsinx，y=arccosx，y=arctanx，y=arccotx六类函数称为基本初等函数.