第二节　函数的极限

一、函数极限的定义

1.自变量趋于有限值时函数的极限

考虑x无限接近x0时，函数f（x）无限接近于常数A的情形.例如，当x无限接近1时，函数就是无限接近2，对这类极限有如下定义：

定义1　设函数f（x）在点x0的左右近旁内定义（点x0处可无定义），如果当x→x0时，函数f（x）无限接近某个确定的常数A，那么就称A是函数f（x）当x→x0时的极限，记为

上面举的例子可表示为

该函数虽然在x=1处没定义，但在该点极限存在.

在的定义中，x趋向于x0的路径有两条：从x0的左侧无限接近于x0，记为x→；从x0的右侧无限接近于x0，记为x→，当x→时，函数f（x）以A为极限，则称A为函数f（x）在x0的左极限，记作.当x→时，函数f（x）以A为极限，则称A为函数f（x）在x0的右极限，记作.左极限与右极限统称为单侧极限.

例如，函数f（x）=，当x趋向于0时，只能考虑x→的情形，显然.这就是说该函数f（x）=在x=0点以0为右极限.

显然，成立的充分必要条件是且.

为了更好地理解极限，举一些极限不存在的典型情形：如图1.5（a）所示，当x→0时，左右极限存在但不相等；如图1.5（b）所示，当x→0时，f（x）的值总在1与-1之间无穷次振荡；如图1.5（c）所示，x→0时，函数|f（x）|无限变大.

2.当x→∞时，函数f（x）的极限

先来看个例子，设，容易看出，当x无限变大时，f（x）趋于1，对于这种极限应该怎样下定义呢？

定义2　设函数y=f（x）当|x|＞N时有定义，如果当x→∞时，函数f（x）无限的接近于某个确定的常数A，那么，就称A是函数f（x）当x→∞时的极限，记为

函数极限的几何意义是：当|x|＞N时，函数y=f（x）的图形落在y=A+ε、y=A-ε这两条直线之间（图1.6）

如果x＞0无限增大，那么就称x趋于正无穷大，记为x→+∞；如果x＜0而|x|无限增大，那么就称x趋于负无穷大，记为x→-∞.所以函数极限又有记号和.

【例1】　观察下列函数的图像（见图1.7～图1.9），并填空.

（1）=（　　）

（2）=（　　）

（3）=（　　）

（4）=（　　）

解：从图1.7～图1.9上观察到

（1）

（2）

（3）

（4）

这里给出一个明显的事实：

的充分必要条件是且.又如，，显然且.

二、函数极限的性质

（1）如果函数f（x）在x的某个变化过程中有极限，则此极限是唯一的.（函数极限的唯一性）

（2）若x→x0时，函数f（x）有极限，则必存在x0的一个邻域（除x0外），在此邻域内函数f（x）有界；当x→∞时，函数f（x）有极限（|x|＞N），则f（x）在|x|＞N时有界.（函数极限的局部有界性）

简言之，有极限的函数在x0的邻域内必有界.

三、无穷大量与无穷小量

1.无穷小量

在自然现象、生产实际和日常生活中，常会遇到这样一类变量，它们在变化过程中，就其绝对值来说，将会逐渐变小而趋近于零，例如，单摆离开竖直位置摆动时，由于空气阻力与摩擦力的作用，它的振幅随着时间的增加而逐渐减小，并趋近于零；又如函数f（x）=sinx当x→0时，有sinx→0，这时称x→0时，函数f（x）=sinx是无穷小量，再如函数，当x→∞时，有，这时称当x→∞时，函数是无穷小量.由此可见，无穷小量是指以零为极限的函数或变量.

定义3　如果x的某种变化趋向下，函数f（x）以零为极限，则称在x的这种趋向下，函数f（x）是无穷小量.记为α（x），β（x）…

关于无穷小量的理解要注意：

（1）说一个函数是无穷小量，必须指出其自变量变化趋向，例如，说f（x）=是无穷小量是没有意义的，必须当x→∞时，函数是无穷小量.

（2）切不可将一个很小的常数与无穷小量混为一谈.因为很小的一个常数不管x在什么趋向下，它总不会趋于零.

（3）常数中只有零是无穷小量.

无穷小量是一类特殊的极限为零的量，它和极限有着密切关系，如果当x→x0时，函数f（x）以A为极限：

即

则显然有

这表明有极限的变量f（x），与其极限值A之差f（x）-A是一个无穷小量；反之，若f（x）-A是一个无穷小量，则f（x）以A为极限.因此有下列定理.

定理1　若在x某种变化趋向下，函数f（x）→A，则在x的这种趋向下，f（x）-A是无穷小量，其逆亦真.

如果令，f（x）-A=α（x），则f（x）=A+α（x），其中α（x）是无穷小量，反之，如果f（x）=A+α（x），其中α（x）是无穷小量，则f（x）以A为极限.

2.无穷小量的性质

性质1　有限个无穷小量的代数和是无穷小量.

例如，x→0时，x2和sinx都是无穷小量，所以x2±sinx也是无穷小量.

性质2　有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量.

例如x→∞时，是无穷小量，sinx是有界函数，所以是无穷小量.

即

性质3　有限个无穷小量的乘积是无穷小量.

以上给出的三个性质，在极限的运算中非常重要，应用时必须注意“有限个”是不可少的条件，如果是无穷多个，结论未必成立.

3.无穷大量

定义4　如果在x的某种变化趋向下，函数f（x）的绝对值可以任意地大，则称函数f（x）是在x的这种趋向下的无穷大量，记作limf（x）=∞.

例如，当x→0时，函数是无穷大量，即.又如当x→∞时，函数x2是无穷大量，即.

关于无穷大量同样要注意：

（1）无穷大量不是很大的正数，因为很大的一个正数是不变的，不管在x的什么趋向下，都不能大于任意大的正数.

（2）虽然借用了极限记号，但极限等于无穷大并不表示极限存在，而恰恰相反，表示极限不存在.

简略地讲，无穷大量是函数值可以任意变大的函数或变量.

在x的某种趋向下，如果函数f（x）→0，显然，的绝对值可以任意地大，即；反之，如果f（x）→∞，显然趋向于0，于是得到以下定理.

定理2　在自变量的某种变化趋向下.

（1）若limf（x）=∞，则；

（2）若limf（x）=0（f（x）≠0），则.

这个定理是说；无穷小量与无穷大量互为倒数.

例如，，则；又如，，则.容易看出来，则.

习题1.2

1.根据函数的图像，讨论下列各函数的极限：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

2.作出函数的图像，并求出当x→3时f（x）的左、右极限.

3.设， 求，并说明是否存在.

4.判断下列命题是否正确.

（1）x100000是无穷大.

（2）零是无穷小.

（3）在自变量的同一变化过程中，两个无穷小的和仍为无穷小.

5.指出下列函数中，x怎样变化时是无穷小量，x怎样变化时是无穷大量.

（1）y=lnx

（2）y=tanx

（3）y=ex

（4）