第六节　函数的微分

一、微分的定义

引例　函数增量的计算及增量的构成.

一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长由x0变到x0+Δx，问此薄片的面积改变了多少？

设此正方形的边长为x，面积为A，则A是x的函数：A=x2.金属薄片的面积改变量为

几何意义：2x0Δx表示两个长为x0宽为Δx的长方形面积；（Δx）2表示边长为Δx的正方形的面积.

数学意义：当Δx→0时，（Δx）2是比Δx高阶的无穷小，即（Δx）2=o（Δx）；2x0Δx是Δx的线性函数，是ΔA的主要部分，可以近似地代替ΔA.

定义　设函数y=f（x）在某区间内有定义，x0及x0+Δx在这区间内，如果函数的增量

可表示为

其中A是不依赖于Δx的常数，那么称函数y=f（x）在点x0是可微的，而AΔx叫做函数y=f（x）在点x0相应于自变量增量Δx的微分，记作dy，即

函数可微的条件：函数f（x）在点x0可微的充分必要条件是函数f（x）在点x0可导，且当函数f（x）在点x0可微时，其微分一定是

函数y=f（x）在任意点x的微分，称为函数的微分，记作dy或df（x），即

例如：

【例1】　求函数y=x2在x=1和x=3处的微分.

解：函数y=x2在x=1处的微分为

函数y=x2在x=3处的微分为

【例2】　求函数y=x3当x=2，Δx=0.02时的微分.

解：先求函数在任意点x的微分

再求函数当x=2，Δx=0.02时的微分

.

自变量的微分：

因为当y=x时，dy=dx=（x）'Δx=Δx，所以通常把自变量x的增量Δx称为自变量的微分，记作dx，即dx=Δx.于是函数y=f（x）的微分又可记作

从而有

这就是说，函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于该函数的导数.因此，导数也叫做“微商”.

二、微分的基本公式和运算法则

从函数的微分的表达式

可以看出，要计算函数的微分，只要计算函数的导数，再乘以自变量的微分.因此，由前面学过的导数的基本公式与运算法则就可推得相应的微分基本公式与运算法则.

1.微分的基本公式

微分公式：

2.微分的四则运算法则

微分法则：

三、微分形式的不变性

设函数y=f（u）在点u处可微，那么

（1）若u是自变量，即u=x时，函数的微分为dy=f'（u）du.

（2）若u不是自变量，而是x的可导函数，即u=φ（x）时，以u为中间变量的复合函数f［φ（x）］的微分是dy=f'（u）φ'（x）dx，而du=φ'（x）dx，所以dy=f'（u）du.

由此可见，对于函数y=f（u），无论u是自变量还是另一个变量的可微函数，函数微分形式dy=f'（u）du保持不变，这一性质称为微分形式不变性.

【例3】　y=sin（2x+1），求dy.

解：把2x+1看成中间变量u，则

在求复合函数的导数时，可以不写出中间变量.

【例4】　，求dy.

解：

【例5】　，求dy.

解：应用积的微分法则，得

【例6】　在括号中填入适当的函数，使等式成立.

（1）d（　）=xdx；

（2）d（　）=cosωtdt.

解：（1）因为d（x2）=2xdx，所以

，即.

一般地，有（C为任意常数）.

（2）因为d（sinωt）=ωcosωtdt，所以

因此

四、微分在近似计算中的应用

在工程问题中，经常会遇到一些复杂的计算公式.如果直接用这些公式进行计算，那是很费力的.利用微分往往可以把一些复杂的计算公式改用简单的近似公式来代替.

如果函数y=f（x）在点x0处的导数f'（x）≠0，且|Δx|很小时，我们有

若令x=x0+Δx，即Δx=x-x0，那么又有

特别当x0=0时，有

这些都是近似计算公式.

【例7】　有一批半径为1cm的球，为了提高球面的光洁度，要镀上一层铜，厚度定为0.01cm.估计一下每只球需用铜多少克（铜的密度是8.9g/cm3）？

解：已知球体体积为，R0=1cm，ΔR=0.01cm.

镀层的体积为

ΔV=V（R0+ΔR）-V（R0）≈V'（R0）ΔR=4πΔR=4×3.14×12×0.01=0.13（cm3）.

于是镀每只球需用的铜约为

【例8】　利用微分计算sin30°30'的近似值.

解：已知，，.

即

常用的近似公式（假定|x|是较小的数值）：

（1）

（2）sinx≈x（x用弧度作单位来表达）；

（3）tanx≈x（x用弧度作单位来表达）；

（4）ex≈1+x；

（5）ln（1+x）≈x.

【例9】　计算的近似值.

解：已知，故

直接开方的结果是.

习题2.6

1.已知y=x3-x，计算在x=2处当Δx=0.1时的Δy和dy.

2.求下列函数的微分.

（1）

（2）

（3）

（4）

3.利用微分求由下列方程所确定的函数y=y（x）的导数.

（1）xy+ey=ex

（2）cos（xy）=y

（3）ysinx-cos（x-y）=0

（4）y=x+lny

4.计算下列各式的近似值.

（1）arctan1.02

（2）