第五节　隐函数的导数

一、隐函数求导法

显函数：形如y=f（x）的函数称为显函数.例如y=sinx，y=lnx+ex.

隐函数：由方程F（x，y）=0所确定的函数称为隐函数.

例如，方程x+y3-1=0，ex+ey-xy=0.

把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化.隐函数的显化有时是有困难的，甚至是不可能的.但在实际问题中，有时需要计算隐函数的导数，因此，我们希望有一种方法，不管隐函数能否显化，都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来.隐函数求导数的方法很简单，就是方程两边同时对x求导，但是注意把y看成是x的函数，然后从所得出的方程中解出y'即可.

【例1】　求由方程x2+y2=R2所确定的隐函数y的导数.

解：方程两边分别对x求导数（注意：y是x的函数，所以y2是x的复合函数），得

即

解出y'，得

【例2】　求由方程ey+xy-e=0所确定的隐函数y的导数.

解：把方程两边的每一项对x求导数得

即

从而

【例3】　求椭圆在处的切线方程.

解：把椭圆方程的两边分别对x求导，得

从而

当x=2时，，代入上式得所求切线的斜率

所求的切线方程为

即

二、对数求导法

某些显函数直接求导比较复杂，可对函数y=f（x）的两边取对数，变成隐函数的形式，然后利用隐函数求导的方法来计算，这种求导的方法称为对数求导法.

设y=f（x），两边取对数，得

两边对x求导，得

对数求导法适用于求幂指函数的导数及多因子之积和商的导数.

【例4】　求y=xsinx（x＞0）的导数.

解法一：两边取对数，得

上式两边对x求导，得

于是

解法二：这种幂指函数的导数也可按下面的方法求：

【例5】　求函数的导数.

解：先在两边取对数（假定x＞4），得

上式两边对x求导，得

于是

习题2.5

1.求由下列方程所确定的隐函数的导数.

（1）x2-y2+2xy=2x

（2）y=cos（x+y）

（3）exy+ylnx=cos（2x）

（4）xy=ex+y

（5）x=y+arctany

（6）

2.求下列函数的导数.

（1）y=（cosx）sinx

（2）

（3）

（4）y=xx+lncosx

（5）f（x）=x（x-1）（x-2）（x-3）

3.求曲线x2y2+x2-y=1在点（1，1）处切线的方程.