1.3 基本形体投影
任何复杂的立体都是由简单的基本几何体所组成。基本几何体可分为平面立体和曲面立体两大类。
1.3.1 平面立体的投影
平面立体的每个表面都是平面，例如棱柱、棱锥，由底平面和侧平面围成。立体的侧面称为棱面，棱面的交线称为棱线，棱线的交点称为顶点。平面立体的投影实际上就是画出组成立体各表面的投影。看得见的棱线画成实线，看不见的棱线画成虚线。
（1）棱柱
棱柱的棱线互相平行，上底面和下底面互相平行且大小相等。常见的棱柱包括三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱。
现以五棱柱为例说明棱柱的投影特征和作图方法。
①棱柱的投影
a.分析。如图1-23（a）所示，正五棱柱的顶面和底面平行于水平面，后棱面平行于正平面，各棱面均垂直于水平面。在这种位置下，五棱柱的投影特征是：顶面和底面的水平投影重合，并反映实形——正五边形。五个棱面的水平投影分别积聚为五边形的五条边。正面和侧面投影上大、小不同的矩形分别是各棱面的投影，不可见的棱线画虚线。
图1-23 正五棱柱的投影
（a）空间示意；（b）投影图
b.作图。其步骤如下。
ⅰ.先画出对称中心线，如图1-23（b）所示。
ⅱ.再画出两个底面的三面投影。其H面投影重合，反映正五边形实形，是五棱柱的特征投影；它们的V面投影和W面投影均积聚为直线。
ⅲ.画出各棱线的三面投影。H面投影积聚为正五边形的五个顶点，其V面投影和W面投影均反映实长，如图1-23（b）所示。
②棱柱表面取点、取线 由于组成棱柱的各表面都是平面，所以，在平面立体表面上取点、取线的问题，实际上就是在平面上取点、取线的问题。
判别立体表面上点和线可见与否的原则是：若点、线所在表面的投影可见，那么点、线的同面投影可见，否则不可见。
【例1-7】 如图1-24（a）所示，已知五棱柱棱面上点M的正面投影m'，求作另外两投影m、m″。
【解】 （1）分析
从图1-24（a）中可知：M点的正面投影m'可见，由此判断M点在五棱柱的左前面ABCD上，左前面为铅垂面，H投影有积聚性，其M点H投影m必在该侧面的积聚投影上。
图1-24 五棱柱表面上取点
（a）已知条件；（b）作图
（2）作图
其过程如图1-24（b）所示。
①分别过m'向下引垂线交积聚投影abcd于m点。
②根据已知点的两面投影求第三投影的方法，求得m″。
③判别可见性：因M点在左前侧面，则m″可见。
（2）棱锥
棱锥的棱线交于一点。常见的棱锥有三棱锥、四棱锥、五棱锥等。现以图1-25所示的三棱锥为例说明棱锥的三面投影。
图1-25 三棱锥的投影
（a）空间示意；（b）投影图
①棱锥的投影
a.分析。三棱锥是由一个底面和三个侧面所组成。底面及侧面均为三角形。三条棱线交于一个顶点，三棱锥的底面为水平面，侧面△SAC为侧垂面。
b.作图。其步骤如下。
ⅰ.画出底面△ABC的三面投影：H面投影反映实形，V、W面投影均积聚为直线段。
ⅱ.画出顶点S的三面投影：将顶点S和底面△ABC的三个顶点A、B、C的同面投影两两连线，即得三条棱线的投影，三条棱线围成三个侧面，完成三棱锥的投影。
②棱锥表面上取点、取线 棱锥的棱面是一般位置平面，其三面投影没有积聚性，解题时首先确定所给点、线在哪个表面上，再按照表面所处的空间位置利用辅助线作图。
【例1-8】 如图1-26（a）所示，已知三棱锥棱面OAB上点M的正面投影m'和棱面OAC上点N的水平投影n，求作另外两个投影。
图1-26 三棱锥表面上取点
（a）三棱锥OABC；（b）作图过程一；（c）作图过程二
【解】 （1）分析
M点所在棱面OAB是一般位置平面，其投影没有积聚性，必须借助在该平面上作辅助线的方法求作另外两个投影，如图1-26（b）所示。也可以在棱面OAB上过M点作AB的平行线为辅助线作出其投影。N点所在棱面OAC是侧垂面，可利用积聚性画出其投影。
（2）作图
其过程如图1-26（b）、图1-26（c）所示。
①过m'作m'd'∥a'b'交o'a'于d'，由d'作垂线得出d，过d作ab的平行线，再由m'求得m。
②由m'高平齐、宽相等求得m″，如图1-26（b）所示。
③N点在三棱锥的后面侧垂面上，其侧面投影n″在o″a″上，因此不需要作辅助线，利用“高平齐”可直接作出n'。
④再由n'、n″，根据“宽相等”直接作出n，如图1-26（c）所示。
⑤判别可见性：m、n、m″可见。
1.3.2 曲面立体的投影
常见的曲面立体是回转体，主要包括圆柱体、圆锥体、圆球体等。曲面立体是由曲面或曲面与平面围成的。
曲面立体投影应判别其可见性。曲面上可见与不可见的分界线称为回转面对该投影面的转向轮廓线。由于转向轮廓线是对某一投影面而言，所以它们的其他投影不应画出。
（1）圆柱体
圆柱体由圆柱面和上下两底面围成。圆柱面可看作由一条母线绕平行于它的轴线回旋而成，圆柱面上任意一条平行于轴线的直母线称为圆柱面的素线。现以图1-27（a）所示的圆柱为例说明圆柱体的三面投影。
①圆柱体的投影
a.分析。圆柱体由圆柱面、顶面、底面围成。圆柱也可看成是由无数条相互平行且长度相等的素线所围成。当圆柱轴线垂直于H面，底面、顶面为水平面，底面、顶面的水平投影反映圆的实形，其他投影积聚为直线段。
b.作图。其过程如图1-27（b）所示。
图1-27 圆柱体的投影
（a）空间示意；（b）投影图
ⅰ.用点画线画出圆柱体的轴线、中心线。
ⅱ.画出顶面、底面圆的三面投影。
ⅲ.画转向轮廓线的三面投影，该圆柱面对正面的转向轮廓线（正视转向轮廓线）为AA1和BB1，其侧面投影与轴线重合，对侧面的转向轮廓线（侧视转向轮廓线）为DD1和CC1，其正面投影与轴线重合。
ⅳ.还应注意圆柱体的H面投影圆是整个圆柱面积聚成的圆周，圆柱面上所有的点和线的H面投影都重合在该圆周上。圆柱体的三面投影特征为一个圆对应两个矩形。
②圆柱表面上取点、取线 在圆柱体表面上取点，可直接利用圆柱投影的积聚性作图。
【例1-9】 如图1-28（a）所示已知圆柱面上的点M、N的正面投影，求其另两个投影。
图1-28 圆柱表面上取点
（a）已知条件；（b）作图
【解】 （1）分析
M点的正面投影m'可见，又在点划线的左面，由此判断M点在左前半圆柱面上，侧面投影可见；N点的正面投影（n'）不可见，又在点划线的右面，由此判断N点在右后半圆柱面上，侧面投影不可见。
（2）作图
其过程如图1-28（b）所示。
①求m、m″。过m'向下作垂线交于圆周上一点为m；根据y坐标求出m″。
②求n、n″。作法与M点相同。
【例1-10】 如图1-29（a）所示，已知圆柱面上的三点ABC的一个投影a'、b、c″，求其另两个投影，并把ABC顺序连接起来。
图1-29 圆柱表面上取线
（a）已知条件；（b）作图
【解】 （1）分析
圆柱面上的线除了素线外均为曲线，由此判断线段ABC是圆柱面上的一段曲线。AB位于前半圆柱面上，C位于最右的转向轮廓线上，因此a'b'c'可见。为了准确地画出曲线ABC的投影，找出转向轮廓线上的点（如D点），把它们光滑连接即可。
（2）作图
其过程如图1-29（b）所示。
①求端点A、C的投影。利用积聚性求得H面投影a、c，再根据y坐标求得a″、c″。
②求侧视转向轮廓线上的点D的投影d、d″。
③求中间点B的投影b、b″。
④判别可见性并连线。D点为侧面投影可见与不可见分界点，曲线的侧面投影c″b″d″为不可见，画成虚线。a″d″为可见，画成实线。
（2）圆锥体
圆锥体由圆锥面和底圆围成。圆锥面可看作由一条母线绕与它斜交的轴线回旋而成，圆锥面上任意一条与轴线斜交的直母线称为柱锥面的素线。现以图1-30（a）为例说明圆锥的三面投影。
①圆锥体的投影
a.分析。圆锥体可看作是由无数条交于顶点的素线所围成，也可看作是由无数个平行于底面的纬圆所组成。当圆锥轴线垂直于H面，底面为水平面，H面投影反映底面圆的实形，其他两投影均积聚为直线段。
b.作图。其过程如图1-30（b）所示。
ⅰ.用点划线画出圆锥体各投影轴线、中心线。
ⅱ.画出底面圆和锥顶O的三面投影。
ⅲ.画出各转向轮廓线的投影。正视转向轮廓线的V面投影o'a'、o'b'，侧视转向轮廓线的W面投影为o″c″、o″d″。
图1-30 圆锥体的投影
（a）空间示意；（b）投影图
ⅳ.圆锥面的三个投影都没有积聚性。圆锥面三面投影的特征为一个圆对应两个三角形。
②圆锥体表面上取点、取线 由于圆锥面的三个投影都没有积聚性，求表面上的点时，需采用辅助线法。为了作图方便，在曲面上作的辅助线应尽量为直线（素线）或平行于投影面的圆（纬圆）。因此在圆锥面上取点的方法包括素线法和纬圆法两种。
【例1-11】 如图1-31所示，已知圆锥面上点M的正面投影m'，求m、m″。
图1-31 圆锥面上取点
（a）空间示意；（b）素线法；（c）纬圆法
【解一】 素线法
（1）分析
如图1-31（a）所示，M点在圆锥面上，一定在圆锥面的一条素线上，所以过锥顶S和点M作一素线ST，求出素线ST的各投影，根据点线的从属关系，即可求出m、m″。
（2）作图
其过程如图1-31（b）所示。
①在图1-31（b）中连接s'm'延长交底圆于t'，在H面投影上求出t点，根据t、t'求出t″，连接st、s″t″即为素线ST的H面投影和W面投影。
②根据点线的从属关系求出m、m″。
【解二】 纬圆法
（1）分析
过点M作一平行于圆锥底面的纬圆。该纬圆的水平投影为圆。正面投影、侧面投影为一直线。M点的投影一定在该圆的投影上。
（2）作图
其过程如图1-31（c）所示。
①在图1-31（c）中，过m'作与圆锥轴线垂直的线e'f'，它的H面投影为一直径等于e'f'、圆心为s的圆，m点必在此圆周上。
②由m'、m求出m″。