1.2　点、直线和平面的投影

1.2.1　点的投影

任何形体都是由若干表面所围成的，而表面都是由点、线等几何元素所组成的。所以，点是组成空间形体最基本的几何要素，要研究形体的投影问题，首先要研究点的投影。

（1）点的三面投影的形成

图1-6（a）是空间点A的三面投影的直观图，过A点分别向H、V、W面的投影为a、a'、a″。

（2）点的三面投影规律

从图1-6（a）可看出：aax=Aa'=a″az，即A点的水平投影a到OX轴的距离等于A点的侧面投影a″到OZ轴的距离，都等于A点到V面的距离；由Aa'和Aa确定的平面Aaaxa'为一矩形，所以aax=Aa'（A点到V面的距离），a'ax=Aa（A点到H面的距离）。

同时，还可以看出：因为Aa⊥H面，Aa'⊥V面，所以平面Aaaxa'⊥H面和V面，则OX⊥a'ax和aax；当两投影面体系按展开规律展开后，aax与OX轴的垂直关系不变，所以a'ax为一垂直于OX轴的直线，即a'a⊥OX。

同理可知：a'a″⊥OZ，如图1-6（b）所示。

综上所述，可得以下三条点的三面投影规律。

①一点的水平投影与正面投影的连线垂直于OX轴。

②一点的正面投影与侧面投影的连线垂直于OZ轴。

③一点的水平投影到OX轴的距离等于该点的侧面投影到OZ轴的距离，都反映该点到V面的距离。

由上面所述规律知，由已知点的两个投影便可求出第三个投影。

【例1-1】　已知点A的水平投影a和正面投影a'，求其侧面投影a″（图1-7）。

【解】　①过a'作OZ轴的垂线。

②量取aax=a″az，a″即为所求，如图1-8（a）所示。

用图1-8（b）所示的方法也可求得同一结果。

（3）特殊位置点的投影

若空间点处于投影面上或投影轴上，即为特殊位置点，如图1-9所示。

①如果点在投影面上，则点在该投影面上的投影与空间点重合，另两个投影均在投影轴上，如图1-9（a）中的点A和点B。

②如果点在投影轴上，则点的两个投影与空间点重合，另一个投影在投影轴原点，如图1-9（b）中的点。

（4）点的投影与坐标的关系

空间点的位置除了用投影表示以外，还可用坐标来表示。我们把投影面当作坐标面，把投影轴当作坐标轴，把投影原点当作是坐标原点，则点到三个投影面的距离便可以用点的三个坐标来表示，如图1-10所示。

设A坐标为（x，y，z），则点的投影与坐标的关系如下。

①A点到H面的距离Aa=Oaz=a'ax=a″ay=z坐标。

②A点到V面的距离Aa'=Oay=aax=a″az=y坐标。

③A点到W面的距离Aa″=Oax=a'az=aay=x坐标。

由此可知，已知点的三面投影就能确定该点的三个坐标；反之，已知点的三个坐标，就能确定该点的三面投影或空间点的位置。

【例1-2】　已知B（4，6，5），求B点的三面投影。

【解】　作图步骤如图1-11所示。

①画出三轴及原点后，在X轴自O点向左量取4mm得bx点，如图1-11（a）所示。

②过bx引OX轴的垂线，由bx向上量取z=5mm，得V面投影b'，再向下量取y=6mm，得H面投影b，如图1-11（b）所示。

③过b'，作水平线与Z轴相交于bz并延长，量取bzb″=bxb，得W面投影b″，此时b、b'、b″即为所求。在做出b、b'以后也可利用45°斜线求出b″，如图1-11（c）所示。

（5）两点的相对位置与重影点

①两点的相对位置　如图1-12所示，根据两点的投影，可以判断两点的相对位置。从图1-12（a）表示的上下、左右、前后位置对应关系可以看出：可以由正面投影或侧面投影判断上下位置，由正面投影或水平投影判断左右位置，由水平投影或者侧面投影判断前后位置。根据图1-12（b）中A、B两点的投影，可以判断出A点在B点的左、前、上方；反之，B点在A点的右、后、下方。

②重影点及可见性的判断　当空间两点位于某一投影面的同一条投影线上时，则此两点在该投影面上的投影重合，这两点称为对该投影面的重影点。

图1-13（a）中，A、C两点处于对V面的同一条投影线上，它们的V面投影a'、c'重合，A、C两点就称为对V面的重影点。同理，A、B两点处于对H面的同一条投影线上，A、B两点就称为对H面的重影点。

当空间两点为重影点，其中必有一点遮挡另一点，这就存在着可见性的问题。图1-13（b）中，A点和C点在V面上的投影重合为a'（c'），A点在前遮挡C点，其正面投影a'是可见的，而C点的正面投影（c'）不可见，加括号表示（称前遮后，即前可见后不可见）。同时，A点在上遮挡B点，a为可见，（b）为不可见（称上遮下，即上可见下不可见）。同理，也有左遮右的重影状况（左可见右不可见），如A点遮住D点。

【例1-3】　求点C与点D的正面投影，说明它们的相对位置，并判别其可见性（图1-14）。

【解】　作图如图1-15（b）所示。

从图1-14可知，点C与点D的X坐标与Z坐标均相等，因此，这两点位于对V面的同一投射线上，它们是正面重影点，如图1-15（a）所示。点D距V面近，所以点D不可见。

1.2.2　直线的投影

直线一般用线段表示，在不考虑线段本身的长度时，也常把线段称为直线。从几何学得知，直线的空间位置可以由直线上任意两点的位置来确定。所以，直线的投影可由直线上两点在同一投影面上的投影（称为同面投影）相连而得。

直线按其与投影面相对位置的不同，可分为一般位置线、投影面平行线和投影面垂直线，后两种直线统称为特殊位置直线。

（1）一般位置直线

对三个投影面均倾斜的直线称为一般位置直线，又称倾斜线。

图1-16（a）为通常位置直线的直观图，直线和它在某一投影面上的投影所形成的锐角，称为直线对该投影面的倾角。对H面的倾角用α表示，对V、W面的倾角分别用β、γ表示。从图1-16（b）中看出，一般位置直线的投影特性为：

①线的三个投影仍为直线，但不反映实长；

②直线的各个投影都倾斜于投影轴，并且各个投影与投影轴的夹角，都不反映该直线与投影面的真实倾角。

（2）投影面平行线

只平行于一个投影面，倾斜于其他两个投影面的直线，称为某投影面的平行线。它有以下三种状况。

①水平线：与H面平行且与V、W面倾斜的直线，如表1-1中的AB直线。

②正平线：与V面平行且与H、W面倾斜的直线，如表1-1中的CD直线。

③侧平线：与W面平行且与H、V面倾斜的直线，如表1-1中的EF直线。

由表1-1各投影面平行线的投影特性，可概括出它们的共同特性为：投影面平行线在它所平行的投影面上的投影反映实长，并且该投影与相应投影轴的夹角，反映直线与其他两个投影面的倾角；直线在另外两个投影面上的投影分别平行于相应的投影轴，但是不反映实长。

（3）投影面垂直线

指只垂直于一个投影面，同时平行于其他两个投影面的直线。投影面垂直线也有三种状况。

①铅垂线只垂直于H面，同时平行于V、W面的直线，如表1-2中的AB线。

②正垂线只垂直于V面，同时平行于H、W面的直线，如表1-2中的CD线。

③侧垂线只垂直于W面，同时平行于V、H面的直线，如表1-2中的EF线。

综合表1-2中的投影特性，可知投影面垂直线的共同特性为：投影面垂直线在其所垂直的投影面上的投影积聚为一点；直线在另两个投影面上的投影反映实长，并且垂直于相应的投影轴。

（4）直线投影的识读

识读直线的投影图，判别它们的空间位置，主要是依据直线在三投影面上的投影特性来确定。

【例1-4】　判别图1-17所示几何体三面投影图中直线AB、CD、EF的空间位置。

【解】　判别：图中直线AB的三个投影都呈倾斜，所以它为投影面的一般位置线；直线CD在H面和W面上的投影分别平行于OX轴和OZ轴，而在V面上的投影呈倾斜，所以它为V面的平行线（即正平线）；直线EF在H面上的投影积聚成一点，在V面、W面上的投影分别垂直于OX轴和OYW轴，所以它为H面的垂直线（即铅垂线）。

1.2.3　平面的投影

（1）平面的表示法

平面的表示方法有以下几种，如图1-18所示。

平面与投影面之间按相对位置的不同，可分为：一般位置平面、投影面平行面和投影面垂直面，后两种统称为特殊位置平面。

（2）一般位置平面

与三个投影面均倾斜的平面称为一般位置平面，也称倾斜面。图1-19所示为一般位置平面的投影，从中可知，它的任何一个投影，既不反映平面的实形，也无积聚性。因此，一般位置平面的各个投影，为原平面图形的类似形。

（3）投影面平行面

平行于某一投影面，因而垂直于另两个投影面的平面，称为投影面平行面。投影面平行面有以下三种状况。

①水平面：与H面平行，同时垂直于V、W面的平面，见表1-3中P平面。

②正平面：平行于V面，同时垂直于H、W面的平面，见表1-3中Q平面。

③侧平面：平行于W面，同时垂直于V、H的平面。见表1-3中R平面。

综合表1-3中的投影特性，可知投影平行面的共同特性为：投影面平行面在它所平行的投影面的投影反映实形，在其他两个投影面上投影积聚为直线，并且与相应的投影轴平行。

（4）投影面垂直面

垂直于一个投影面，同时倾斜于其他投影面的平面称为投影面垂直面。投影面垂直面也有三种状况，其状况如下。

①铅垂面：垂直于H面，倾斜于V、W面的平面，见表1-4中的P平面。

②正垂面：垂直于V面，倾斜于H、W面的平面，见表1-4中的Q平面。

③侧垂面：垂直于W面，倾斜于H、V面的平面，见表1-4中的R平面。

综合表1-4中的投影特性，可知投影面垂直面的共同特性为：投影面垂直面在它所垂直的投影面上的投影积聚为一斜直线，它与相应投影轴的夹角，反映该平面对其他两个投影面的倾角；在另两个投影面上的投影反映该平面的类似形，且小于实形。

【例1-5】　已知四边形ABCD的水平投影abcd，完成四边形ABCD的正面投影，如图1-20（a）所示。

【解】　（1）分析

四边ABCD是一平面图形，所以点D可以看作是三角形ABC确定的平面上的点。根据点在平面内的几何条件知，则点D一定在ABC平面的某条直线上。为此，可先过点D在已知平面内作一条辅助线BD，再根据点在直线上的从属性求得点D的正面投影d'，最后连线即可。

（2）作图［如图1-20（b）所示］

①连接AC的同面投影ac、a'c'，得到三角形ABC的两面投影。

②连接bd，bd与ac相交于e，BD与AC是平面ABC的一对相交直线，e为其交点。

③由e在a'c'上求得e'。

④连接b'e'，延长后得d'。

⑤连接a'd'、c'd'，完成四边形的正面投影。

【例1-6】　已知等腰三角形ABC的顶点A，该三角形为铅垂面，水平投影积聚成直线bac，高为25mm，β=30°，底边BC为水平线，长等于20mm，如图1-21所示，试过点A作等腰三角形的投影。

【解】　①过a作bc，与X轴成30°且使ba=ac=10mm。

②过a'向正下方截取25mm，并作BC的正面投影b'c'。

③根据水平投影及正面投影，完成侧面投影，如图1-22所示。