1.5　轴测投影图

1.5.1　轴测投影的形成与分类

（1）轴测投影的形成

轴测投影属于平行投影的一种，是用一组平行投射线选择适当的投射方向，将空间形体向某一个投影面进行投射，这时得到的图形能同时反映形体长、宽、高三个方向的情况，有较强的立体感。此种将形体连同确定形体长、宽、高三个向度的直角坐标轴（OX、OY、OZ）用平行投影的方法一起投射到某一投影面（例如P、R面）上所得到的投影，称为轴测投影。该投影面称为轴测投影面。用轴测投影方法绘制的图形，称为轴测投影图（简称轴测图），如图1-42所示。

（2）轴测投影的分类

根据空间直角坐标系对投影面相对位置的变化以及投影线对投影面是否垂直，轴测投影可以分为正轴测投影和斜轴测投影两类。

①正轴测投影　形体的长、宽、高三个方向的坐标轴与轴测投影面倾斜，投射线垂直于投影面所得到的投影，如图1-42（a）、（b）所示。

②斜轴测投影　形体两个方向的坐标轴与轴测投影面平行（即形体的一个面与投影面平行），投影线与轴测投影面倾斜所得到的投影，如图1-42（a）、（c）所示。

1.5.2　平面体轴测投影的画法

（1）正等轴测图的画法

当确定形体空间位置的三个坐标轴与轴测投影面的倾角相等，投射线与轴测投影面垂直时，所得到的轴测投影称为正等轴测投影，简称正等测，如图1-43所示。

由于三个直角坐标轴与轴测投影面夹角相等，所以三个轴间角相等，均为120°，三个轴向伸缩系数约等于0.82。为了作图方便，取p=q=r=1，称为简化系数。用简化系数作出的轴测投影图比实际轴测投影沿轴向分别放大了1.22倍。

平面体的正等轴测图的绘制主要采用坐标法、切割法、叠加法和特征面法等，有些也将几种方法混合使用。

①坐标法　坐标法的绘图步骤如下。

a.读懂正投影图，并确定原点和坐标轴的位置。

b.选择轴测图种类，画出轴测轴。

c.作出各顶点的轴测投影。

②切割法　当形体是由基本体切割而成时，可先画出基本体的轴测图，然后再逐步切割而形成切割类形体的轴测图。

③叠加法　当形体是由几个基本体叠加而成时，可逐一画出各个基本体的轴测图，再按基本体之间的相对位置将各部分叠加而形成叠加类形体的轴测图。

④特征面法　特征面法是一种适用于柱体的轴测图绘制方法。当形体的某一端面较为复杂而且能够反映形体的形状特征时，可先画出该面的正等测图，再“扩展”成立体，这种方法被称为特征面法。

【例1-13】　作六棱柱的正等轴测图（图1-44）。

【解】　①确定坐标轴，并在正投影图上表示出来，如图1-44（a）所示。

②画轴测轴，并用坐标法画出六棱柱上底面六边形的轴测投影，如图1-44（b）、（c）所示。

③过各顶点向下作可见棱线的轴测投影，取棱线高为H，然后连线，如图1-44（d）所示。

④擦去作图线，加深可见轮廓线，完成全图，如图1-44（e）所示。

（2）斜轴测图的画法

当投影线互相平行且倾斜于轴测投影面时，得到的投影称为斜轴测投影，其图形简称斜轴测图。斜轴测投影又可分为正面斜轴测和水平斜轴测两种。

①正面斜轴测　当形体的OX轴和OZ轴决定的坐标面平行于轴测投影面，而投影线倾斜于轴测投影面时，得到的轴测投影称为正面斜轴测投影。如图1-45（a）所示，由于OX轴与OZ轴平行于轴测投影面，所以p=r=1，∠X1O1Z1=90°，而∠X1O1Y1与∠Y1O1Z1常取135°，q=0.5，这样得到的投影图，形体的正立面不发生变形，只有宽度变为原宽度一半，这样轴测图也称为正面斜二测。

工程图中，表达管线空间分布时，常将正面斜轴测图中的q取1，即p=q=r=1，称为斜等测图。

②水平斜轴测图　如图1-46（a）所示，当形体的OX轴和OY轴所确定的坐标面（水平面）平行于轴测投影面，而投影线与轴测投影面倾斜一定角度时，所得到的轴测投影称为水平斜轴测。由于OX轴与OY轴平行于轴测投影面，所以p=q=1，∠X1O1Y1=90°，而∠Z1O1X1取120°，r=0.5，画图时，习惯把O1Z1画成铅直方向，则O1X1和O1Y1分别与水平线成30°和60°。p=q=1，r=0.5的轴测图也称为水平斜二测。水平斜二测常用于画建筑物的鸟瞰图。在水平斜轴测中，将r取为1时，即p=q=r=1，叫做水平斜等测。

【例1-14】　作图1-47所示台阶的正面斜二测。

【解】　①确定坐标轴，并在正投影图上表示出来，如图1-47（a）所示。

②画轴测轴，并画出台阶前端面的轴测投影，如图1-47（b）所示。

③从前端面的各顶点向后拉伸出Y方向的平行线，如图1-47（c）所示。

④按q=0.5确定台阶宽度的轴测投影，如图1-47（d）所示。

⑤擦去作图线，加深可见轮廓线，完成全图，如图1-47（e）所示。

1.5.3　曲面体轴测投影的画法

（1）圆的轴测图画法

在正投影中，当圆所在的平面平行于投影面时，其投影仍是圆。当圆所在的平面倾斜于投影面时，它的投影就变成了椭圆。在轴测投影中，除斜轴测投影有一个面不发生变形外，一般情况下正方形的轴测投影都成了平行四边形，平面上圆的轴测投影也都变成了椭圆（图1-48）。

当圆的轴测投影是一个椭圆时，其作图方法通常是作出圆的外切正方形作为辅助图形，先作圆的外切正方形的轴测图，再用四心圆弧近似法作椭圆或用八点椭圆法作椭圆。

①当圆的外切正方形在轴测投影中成为菱形时，可用四心圆弧近似法作出椭圆的正等测图（图1-49）。步骤如下。

a.在正投影图上定出原点和坐标轴位置，并作圆的外切正方形EFGH，如图1-49（a）所示。

b.画轴测轴及圆的外切正方形的正等测图，如图1-49（b）所示。

c.连接F1A1、F1D1、H1B1、H1C1，分别交于M1、N1，以F1和H1为圆心，F1A1或H1C1为半径作大圆弧和，如图1-49（c）所示。

d.以M1和N1为圆心，M1A1或N1C1为半径作小圆弧和，即得平行于水平面的圆的正等测图，如图1-49（d）所示。

②当圆的外切正方形在轴测投影中成为一般平行四边形时，可用八点椭圆法作出椭圆的斜二测图（图1-50）。

a.作圆的外切正方形EFGH，并连接对角线EG、FH交圆周于1、2、3、4点，如图1-50（a）所示。

b.作圆外切正方形的斜二测图，切点A1、B1、C1、D1即为椭圆上的四个点，如图1-50（b）所示。

c.以E1C1为斜边作等腰直角三角形，以C1为圆心，腰长C1M1为半径作弧，交E1H1于Ⅴ1、Ⅵ1，过Ⅴ1、Ⅵ1作C1D1的平行线与对角线交Ⅰ1、Ⅱ1、Ⅲ1、Ⅳ1四点，如图1-50（c）所示。

d.依次用曲线板连接A1、Ⅰ1、C1、Ⅳ1、B1、Ⅲ1、D1、Ⅱ1、A1各点即得平行于水平面的圆的斜二测图，如图1-50（d）所示。

（2）曲面体轴测投影的画法

学过平面上圆的轴测图画法，即可作简单曲面体的轴测图。

【例1-15】　画圆台的正等轴测图，如图1-51所示。

【解】　①在正投影图中确定坐标系：为简化作图，可取右底面的圆心为轴测轴的原点，如图1-51（a）所示。

②画左、右底面的椭圆，可用四心扁圆法画出，也可将左（右）底椭圆中的各圆弧连接点和各圆心沿OX轴向右（左）移动h，求得另一底椭圆的相应点，画出，如图1-51（b）所示。

③画左右椭圆的公切线，擦去不可见部分，加深，完成正等轴测图，如图1-51（d）所示。

【例1-16】　作图1-52所示形体的正面斜二测。

【解】　①确定坐标轴，并在正投影图上表示出来，如图1-52（a）所示。

②作小圆柱的轴测投影，如图1-52（b）所示。

③作大圆柱的轴测投影，如图1-52（c）所示。

④擦去作图线，加深可见轮廓线，完成全图，如图1-52（d）所示。