2.3 概率方法建模_数学建模教程-QQ阅读男生武侠网

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2.3　概率方法建模

自然界中的现象分为确定性现象和随机现象，而现实世界的各种变化的影响因素避免不了随机因素的影响，这时就涉及用概率论的理论知识为工具，建立随机模型来解决实际问题。本节通过几个不同的实际例子介绍了概率方法建模的基本思路与流程。模型的建立过程中，主要应用了随机变量及其概率分布、随机事件概率的运算及随机变量的数字特征等基本的概率知识，并通过适当的处理，最终转化为确定性模型对实际问题进行了求解。

2.3.1　传送带的效率

传送带的应用在现实生活中随处可见，比如大型机床场的产品运输带、港口的货物运输机等等，因此有必要对传送带的效率问题进行研究。考虑如下场景：在机械化生产车间里，排列整齐的工作台旁工人们紧张地生产同一种产品，工作台上放一条传送带在运转，带上设置若干钩子，工人将产品挂在经过他上方的钩子上带走。当生产进入稳定状态后，每个工人生产一件产品所需时间是不变的，而他挂产品的时刻是随机的。试建立数学模型，构造衡量这种传送系统效率的指标，看该传送带能否及时把工人生产的产品带走。

（1）问题分析

在工人数目不变的情况下传送带速度越快，传送带上的钩子数目越多，传送带带走的产品越多，传送的效率也就越高。当工人生产周期相同，生产进入稳态后，每个工人在一个周期内生产一个产品的时间是随机的，故可以将传送带效率定义为一周期内带走的产品数与生产的全部产品数之比。

（2）模型假设

①n个工人的生产是相互独立的，生产周期是常数，并且n个工作台是均匀排列的。

②生产进入稳态后，每个工人生产出一件产品的时刻在一个周期内是可能性的。

③在一个生产周期内有m个钩子通过所有工作台上方，钩子均匀排列，并且到达第一个工作台上方的钩子都是空的。

④每个工人在任何时刻都能接触到且仅能接触到一只钩子，在他生产出一件产品的瞬间，如果他能触到的钩子是空的，则可将产品挂上带走；如果非空，则他只能放下产品。放下的产品将退出传送系统。

（3）模型建立及求解

将传送系统效率定义为生产完一个产品的生产周期内带走的产品数与生产的全部产品数之比，并将其记作D，设带走的产品数为s，生产的全部产品数为n，则D=s/n。下面将给出带走的产品数s的计算方法。

如果从工人的角度考虑，分析每个工人能将自己的产品挂上钩子的概率，考察的因素较多，如工人的位置等，使问题过于复杂化，故可以从钩子角度来分析问题，在生产进入稳态后，钩子没有次序与地位之分。故只需求出一个生产周期内每只钩子非空的概率p即可，此时s=mp。

在一个生产周期内，任一只钩子被一名工人触到的概率是1/m；任一只钩子不被一名工人触到的概率是1-1/m；由于工人的生产是相互独立的，任一只钩子不被所有n个工人挂上产品（空钩）的概率是；任一只钩子非空的概率是，故可以得到传送系统的效率指标为

　　（2.32）　　

从式（2.32）可以看出所得D表达式较为复杂，为了得到比较简单的结果，在钩子数m相对于工人数n较大，即较小的情况下，将多项式展开后只取前三项，则有

　　（2.33）　　

如果将一个生产周期内未带走的产品数与全部产品数之比记作E，并且假定n≫1，则

　　（2.34）　　

如果确定的数值可进行精确度检验，比如当n=100，m=400时，式（2.34）给出的近似结果为D=87.5％，而精确表达式计算得D=89.4％，相差不大，计算量却大大减少。

（4）模型优化及改进

从模型的分析过程中可以看出，可以通过增加钩子数来使传送系统的效率增加。钩子增加的方式可以有很多种，考虑两种最简单地增加钩子数目的方式。

首先在原来放置一只钩子处放置两只钩子成为一个钩对。一周期内通过m个钩对，任一钩对被任意工人触到的概率p=1/m，不被触到的概率是q=1-p，于是任一钩对为空的概率是qn，钩对上只挂一件产品的概率是npqn-1，一周期内通过的2m个钩子中，空钩的平均数是m（2qn+npqn-1），带走产品的平均数是2m-m（2qn+npqn-1），故传送带的效率指标为

　　（2.35）　　

未带走产品的平均数是n-［2m-m（2qn+npqn-1）］，按照前面的定义，有

　　（2.36）　　

利用和的近似展开，其中展开取前四项，展开取前三项可得

　　（2.37）　　

其次，直接在传送带上均匀地设置2m个钩子，此时有。两者比较可以知道，当时，第一种方法比较好，此时的传送系统具有更高的传送效率。

（5）模型的进一步讨论

本模型是在理想的假设条件下得到的，其中一些假设与现实往往不符，比如生产周期不变，挂不上钩子的产品退出系统等在实际生产过程中往往是行不通的，需要根据工厂的生产实际进行调整。但模型的建立和求解过程本身意义重大，一方面利用基本合理的假设将问题简化到能够建模的程度，体现了数学建模解决复杂问题的思维过程；另一方面对所得到的结果的简化具有鲜明的实际意义。

2.3.2　报童问题

报童每天清晨从邮局购进一定数量的报纸并且以零售价卖出，晚上则将卖不完的报纸退回。已知每张报纸的购进价格为0.15元，售出价格为0.2元，退回价格为0.12元。试问报童应该如何确定每天购进报纸的数量，以获得最大的收入。

（1）问题分析

报童购进数量应根据需求量确定，但需求量是随机的，所以报童每天如果购进的报纸太少不够卖，会少赚钱；而如果购进太多，卖不完就要赔钱，从而导致报童每天的收入也是随机的，因此衡量报童的收入，不能是报童每天的收入，而应该是他长期卖报的日平均收入。依据概率论的大数定律可知，长期卖报的日平均收入依概率于报童每天收入的期望值，故可以用该期望值来描述报童的平均收入。

（2）符号约定与模型假设

设每份报纸的购进价格为b，零售价格为a，退回价格为c，可知有a>b>c报童每天购进n份报纸。假设报童已经通过自己的经验或其他渠道掌握了需求量的随机规律，即在他的销售范围内每天报纸的需求量为r份的概率是f（r）（r=0，1，2，…）。同时不考虑有重大事件发生时卖报的高峰期，也不考虑风雨天气时卖报的低谷期。

（3）模型的建立与求解

报童每天购进n份报纸，因为需求量r是随机的，r可以小于n、等于n或大于n。报童每卖出一份报纸赚a-b，退回一份报纸赔b-c，所以当这天的需求量r≤n，则他售出r份，退回n-r份，即赚了（a-b）r，赔了（b-c）（n-r）；而当r>n时，则n份全部售出，即赚了（b-c）n。

记报童每天购进n份报纸时平均收入为G（n），考虑到需求量为r的概率是f（r），所以

　　（2.38）　　

此时问题转化为在已知a，b，c，f（r）的条件下，求n使G（n）最大。

当需求量r和购进量n的取值都很大时，可以将r视为连续变量，这时f（r）转化为概率密度函数P（r），此时有

　　（2.39）　　

利用微分法，求G（n）对n的一阶导数可得

然后令，整理后得到

　　（2.40）　　

即使报童日平均收入达到最大的购进量n应满足式（2.40），又因为，所以式（2.40）可变为

化简后有

　　（2.41）　　

下面根据需求量的概率密度P（r）的图形（图2.13）通过式（2.41）来确定购进量n。在图中，用P1，P2分别表示曲线P（r）下的两块面积，则此时有

　　（2.42）　　

图2.13　需求量的概率密度

因为当购进n份报纸时，是需求量r不超过n的概率，即卖不完的概率；是需求量r超过n的概率，即卖完的概率。

所以式（2.42）表明：购进的份数n应该使卖不完与卖完的概率之比，恰好等于卖出一份赚的钱a-b与退回一份赔的钱b-c之比。显然，当报童与邮局签订的合同使报童每份赚钱与赔钱之比越大时，报童购进的份数就应该越多。

假设报童的需求量r～N（500，502），μ=500，σ=50，a-b=0.05，b-c=0.03，则

从而，，，通过查标准正态分布表可得n=μ+0.32σ=516，即报童每天需要购进516份报纸，可得最高收入G≈23.484元。

综合以上分析，根据本模型就可以依据不同的价格和需求量概率分布来确定报童的购报数量以增加其收入。

2.3.3　零件的预防性更换

生产设备或实验仪器的零件都会发生故障或损坏，需要定期更换以避免等到损坏时才更换零件有可能带来的经济损失。如果在零件运行一定时间后，就对尚属正常的零件做预防性更换，就可以避免损失，或者可以将损失降到最低。试建立数学模型，确定设备或仪器的最优零件更换策略。

（1）问题分析

解决零件更换问题的关键在于恰当地估计零件正常运行的时间，简称零件寿命。由于零件在制造及运行过程中受到诸多因素的影响，零件的寿命是一随机变量，可以通过试验分析或者是根据已有的理论分析来确定零件的寿命分布及其他数字特征。一般情况下，不同的零件寿命分布不同时，对应的更换策略也不同。

（2）模型假设

①需要更换的零件寿命X服从某种已知连续分布，其分布函数为F（t）=P（X≤t），概率密度为f（t），数学期望为EX。

②零件的更换时间间隔T，当X<T时，对零件进行故障更换，更换费用为c1，当X=T时，对仍然正常工作的零件进行预防性更换，更换费用为c2。

③零件的可靠度及失效率分别记为R（t）=P（X>t）=1-F（t），r（t）=f（t）/R（t）。

（3）模型建立与求解

以单位时间的损失费用最小作为优化目标，求解优化问题可以确定更换时间间隔T。如果称零件每更换一次为一个周期，则周期的平均长度为

一个周期内的平均损失为

C=c1F（T）+c2［1-F（T）］

单位时间的平均损失为

　　（2.43）　　

令一阶导数为零，可以得到使式（2.43）取得极小值的T应满足

　　（2.44）　　

方程（2.44）是否有解取决于式中的相关参数及零件的分布类型。如果记

　　（2.45）　　

则有

观察式（2.44）及式（2.45）得知，如果r（t）为关于t的单调递增函数，且

　　（2.46）　　

则存在唯一的有限的正值T使方程（2.43）成立，且式（2.44）的最小值为c（T）=（c1-c2）r（T）。

（4）模型的进一步讨论

不同寿命分布零件的最优的更换策略存在较大差异。下面将给出几个常用的寿命分布下的最优的零件更换策略。

①指数分布。零件的寿命服从指数分布，即有密度函数为

X～f（t）=λe-λt，λ>0，t≥0

经过计算可得

R（t）=e-λt，r（t）=λ，EX=1/λ，F（t）=1-e-λt

此时方程（2.44）不再成立，即预防性更换策略不存在。

②Γ分布。零件的寿命服从Γ（α，λ）分布，即有密度函数为

经过计算可得

可见r（t）是t的单调递增函数，且r（∞）=λ。考虑式（2.46）得知，当时，存在唯一的有限的正值T使方程（2.44）成立，即此时最优的预防性更换策略存在且唯一。

③威布尔（Weibull）分布。零件的寿命服从威布尔分布，即密度函数为

经过计算可得

故当α>1时，r（t）是t的单调递增函数，且r（∞）=∞。此时存在唯一的有限正值T使方程（2.44）成立，即存在最优的预防性更换策略。

2.3.4　零件的参数设计

一件产品通常是由多个零部件组装而成，这些零件的参数标志产品使用性能。零件参数通常包括标定值和容差两部分，在进行该种产品的批量生产时，标定值表示一批零件对应参数的平均值，而容差则给出了参数偏离其标定值的容许范围，对产品进行零件参数设计，就是确定其标定值和容差。试针对下列条件，建立数学模型对粒子分离器的参数进行优化设计。

粒子分离器某参数（记为y）由7个零件的参数决定，记作x=（x1，x2，…，x7）T，其经验公式为

y的目标值（记作y0）为1.5。当y偏离y0±0.1时，产品为次品，质量损失为1000元；当y偏离y0±0.3时，产品为废品，质量损失为9000元。

零件参数的标定值有一定的容许变化范围；容差分为A，B，C三个等级，用与标定值的相对值表示，A等为±1％，B等为±5％，C等为±10％。7个零件参数标定值的容许范围及不同容差等级零件的成本（元），如表2.5所示。

表2.5　零件参数标定值的容许范围及不同容差等级零件的成本

现在要进行批量生产，每批生产1000个。在原设计中7个零件参数的容差均取最便宜的等级，标定值分别为x1=0.1，x2=0.3，x3=0.1，x4=0.1，x5=1.5，x6=16，x7=0.75，分析原方案的合理性，并给出最优的参数设计方案。

（1）问题分析

进行零件参数设计，就是确定其标定值和容差。若将零件参数视为随机变量，则标定值代表数学期望，在生产部门无特殊要求时，容差通常规定为标准差的3倍。

需要考虑两方面的因素：一是当各零件组装成产品时，如果产品参数偏离预先设定的目标值，就会造成质量损失，偏离越大，损失越大；二是零件容差的大小决定了零件的制造成本，容差设计得越小，成本越大。故可知该问题是一个随机优化问题，目标函数为单个零件的费用。

（2）模型假设

①7个零件的参数均服从正态分布且相互独立，也即

其中，Exi=xi0是第i零件参数的标定值，记x0=（x10，x20，…，x70）T。

②参数xi的容差记为Δxi，其关于标定值xi0的相对值记为ri，即

③第i种零件的成本设为ci（ri），则每件产品的总成本为。

（3）模型的建立与求解

①对产品参数Y分布的描述。产品的质量损失费用与产品的次品率、废品率有关，因此必须先确定产品参数Y的分布，尽管已经有关于Y=F（x）的经验公式，但如果利用这样的公式确定其分布函数将是非常麻烦的，甚至是不可行的，有必要对其作适当简化，求其近似分布。如果可行的话，线性近似是最容易处理的。下面我们通过微分来对其作线性近似，并分析其合理性。若

由模型假设①得Δxi=xi-xi0～N（0，），i=1，2，…，7，Δy的方差可以近似地表示为

因此，可以近似地认为

　　（2.47）　　

可以通过随机模拟进一步验证式（2.47）的合理性。先在xi的标定值允许范围内任取一组x0，r0值，由计算机产生若干组相互独立的正态分布随机数，统计y落在各范围的频数，画出直方图（图2.14），用分布拟合的χ2检验法检验Y服从正态分布的合理性，检验结果接受假设。

图2.14　y线性近似合理性数值检验

②目标函数的描述。产品总费用等于零件总成本与总的质量损失费用之和，但在随机问题中，应该考虑的是平均意义下的费用，即期望总费用。此时质量损失函数为

其中y0=1.5。

根据式（2.47），可以得到Y的概率密度函数为

故正品的概率为

　　（2.48）　　

次品的概率为

　　（2.49）　　

废品的概率为

　　（2.50）　　

大批生产的平均每件产品的质量损失费用为

EL（Y）=1000p2+9000p3

因此每个产品的总费用c为

　　（2.51）　　

引入记号cij表示第i零件参数取第j个容差等级的成本，dij=1表示第i零件参数取第j个容差等级，否则dij=0。考虑式（2.49）及式（2.50），引用标准正态分布的分布函数Φ（x），得到

将之代入式（2.51），则得到目标函数为

综合上面结果可得该零件参数优化设计问题可以归结为如下的优化问题

dij∈N，d11=d13=d21=d51=d52=d73=0

式中，ai，bi分别为零件参数i标定值的下界与上界。

可以借助数学软件（如Lingo）给出该优化问题的最优结果，求得的最终结果为

2.3.5　足球门的危险区域

在足球比赛中，球员在对方球门前不同的位置起脚射门对对方球门的威胁是不一样的。近距离的射门对球门的威胁要大于远射；在球门的正前方的威胁要大于在球门两侧射门。虽然球员之间的基本素质可能有一定差异，但对于职业球员来讲一般可以认为这种差别不大。同时根据统计资料显示，射门时球的速度一般在10m/s左右。

已知标准球场长为104m，宽为69m；球门高为2.44m，宽为7.32m。试建立数学模型研究下列问题：

①针对球员在不同位置射门对球门的威胁度进行分析，得出危险区域；

②在有一名守门员防守的情况下，对球员射门的威胁度和危险区域作进一步研究。

（1）问题分析

要确定球门的危险区域，也就是要确定球员射门最容易进球的区域。球员无论从哪个地方射门，都有进与不进两种可能，这本身就是一个随机事件，无非是哪些地方进球的可能性最大，即是最危险的区域。影响球员射门命中率的因素很多，其中最重要的两点是球员的基本素质（技术水平）和射门时的位置。对每一个球员来说，基本素质在短时间内是不可能改变的，因此，我们主要是在确定条件下，对射门位置进行分析研究。也就是说，我们主要是针对同素质的球员在球场上任意一点射门时，研究其对球门的威胁程度。

某一球员在球门前某处向球门内某目标点射门时，该球员的素质和球员到目标点的距离决定了球到达目标点的概率，即命中球门的概率。事实上，当上述两个因素确定时，球飞向球门所在平面上的落点将呈现一个固定的概率分布。并且该分布应该是二维正态分布，这就是解决问题的关键所在。

球员从球场上某点射门时，首先必定在球门平面上确定一个目标点，射门后球依据该概率分布落入球门所在平面。将球门视为所在平面上的一个区域，在区域内对该分布进行积分，即可得到这次射门命中的概率。然而，球员在选择射门的目标点时是任意的，而命中球门的概率对目标点的选择有很强的依赖性。这样，我们遍历球门区域内的所有点，对命中概率作积分，将其定义为球场上某点对球门的威胁程度，根据威胁度的大小来确定球门的危险区域。

（2）模型假设

①在理想状态下，认为所有球员的基本素质是相同的；

②不考虑球员射门后空气阻力及地面状况对球速的影响，设球速固定为10m/s；

③球员射门只在前半场进行，前半场为有效射门区域；

④以标准的球场作为研究对象。

（3）符号约定

Ω：半场上的一个球门所在平面π对应的地面以上的半平面。

D：平面π上球门内部区域，即D⊂Ω。

A（x，y）：球场上的点。

B（y，z）：球门内的点。

D1（x，y）：无守门员防守时，球场上点A（x，y）对球门的威胁度。

D2（x，y）：有守门员防守时，球场上点A（x，y）对球门的威胁度。

p（y，z）：从球场上A点对准球门内B点射门时命中球门的概率。

k：衡量球员的基本素质的相对指标。

d：球场上A点到球门内B点的直线距离。

θ：直线AB在地面上的投影线与球门平面π的夹角，为锐角。

（4）模型建立与求解

为了更形象地描述问题，首先建立空间直角坐标系（如图2.15所示），即以球门的底边中点为原点O，地面为xOy面，球门所在的平面π为yOz面。

图2.15　足球场地

首先分析球员在不同位置射门对球门的威胁度的衡量方法。假设基本素质为k的球员从A（x0，y0）点向距离为d的球门内目标点B（y1，z1）射门时，球在目标平面π上的落点呈现二维正态分布，且随机变量y，z是相互独立的。其概率密度函数为

　　（2.52）　　

其中方差σ与球员素质k成反比，与射门点A（x0，y0）和目标点B（y1，z1）之间的距离d成正比，且偏角θ越大方差σ越小。当时（即正对球门中心），σ仅与k，d有关。由此，我们可以近似确定σ的表达式为，其中，而距离

由于式（2.52）的密度函数关于变量y，z是对称的，但实际中球只能落在地面以上，即只有z≥0的半平面内。故需要用条件概率来描述射门命中球门的概率。可以令

由条件概率的定义取两者的比值即为一次射门命中球门的概率：

可以把命中球门的概率在球门区域D内的二重积分定义为球场上某点A（x0，y0）对球门的威胁度，即

综合以上分析，对于球场上任意一点A（x，y）关于球门的威胁度为

　　（2.53）　　

该问题的求解是比较困难的，只能采用数值积分的方法进行求解。

首先需要确定反映球员基本素质的参数k。根据一般职业球员的情况，可以认为一个球员在球门的正前方距离球门10m处（d=10）向球门内的目标点劲射，标准差应该在1m以内，即取σ=1，由可以得到k=10。于是，当球员的基本素质k=10时，求解该模型可以得球场上任意点对球门的威胁度，通过数值计算方法可以得出部分特殊点的结果（表2.6）。

表2.6　不同位置的点与威胁度

事实上，为了更形象地描述不同位置的点与威胁度之间的关系，还可以依据各点的威胁度的值作出球场上等威胁度的曲线，进行进一步的分析。

其次在有一名守门员防守的情况下，基于以上结果，对球员射门的威胁度和危险区域作进一步的分析和研究。假设守门员站在射门点与两球门柱所夹角的角平分线上，即守门员站在球门在垂直射门线平面上的投影区域中心位置是最佳防守位置。球员在球场上某点对球门内任一点（y，z）∈D起脚射门，经过时间t到达球门平面，球到达该点时，守门员对球都有一个捕获的概率p0（t，y，z），下面先分析一下这个函数p0（t，y，z）的形式。

首先注意到，当t一定时，p0（t，y，z）应该是一个以守门员为中心向周围辐射衰减的二维函数，当t变小时，曲面的峰度应增高，而面积减小，因此我们可以用二维正态分布的概率密度描述这种变化趋势。参数t表示从起脚射出的球到达球门的时间，也就是给守门员的反应时间，该时间越长，曲面越平滑。综上我们得到：

其中，c为守门员的反应系数。据专家预测，一般正常人的反应时间约为0.12～0.15s。根据著名的“纸条试验”可得到一般人反应时间约为（即设想将一张纸条放在人的两手指之间，当纸条在重力作用下自由下落时，由s=0.5gt2可以计算出人的反应时间）。因此，在此不妨取c=1/7（实验值），守门员防守时偏离球门中心的距离为

故基于前面所给出的概率定义基础上，修正球员在球场上一点A（x0，y0）射入球门的概率

即p0（t，y，z）表示守门员捕获球的概率，1-p0（t，y，z）就表示捕不住球的概率。

类似地可以得到球场上任意一点A（x，y）对球门的威胁度为

　　（2.54）　　

其中，，pΩ（x，y；y1，z1）的定义与前面一致，且

同样令射门球员的基本素质k=10，守门员的反应系数c=1/7，球速v0=10m/s，类似于前面威胁度的求解方法可得球场上任意点对球门的威胁度，同样这里也给出了一些特殊点的值，见表2.6 （其中特殊点选取与不考虑守门员防守的情况时一致）。也可以根据各点的威胁度的数值作出球场上等威胁度的曲线进行直观描述。

（5）模型结果分析

通过表2.6中的两种情况下的结果可以看出，威胁度最大的区域是在球门附近，特别是正前方。这也说明了球场上的大、小禁区设置的合理性。同时对有无守门员防守两种情况下的结果进行比较可以看出，有守门员防守的情况比无防守的情况有很大的差别，由于守门员的防守作用，球门的危险区域明显地减小。

（6）模型的进一步讨论

球员素质对射门威胁度有很大的影响。本模型中射手的素质k是估算出来的，严格地讲，k值更应该通过大量的实验按统计规律来确定，同时通过计算可以证明当k增加（即球员的素质增强）时，对球门的威胁也会明显增加，危险区域会变大；而关于守门员素质，在模型中没有加以考虑，是为了问题的简化。同时，本模型只考虑了单一的进攻队员和防守队员的情形，对于有多名队员的进攻和防守情况以及进一步的排兵布阵的更复杂问题没有考虑。

为了简化计算，本模型的概率是在矩形区域上作积分获得，这样做与实际可能会有些偏差。实际上从不同角度的位置射门，所看到的球门区域可能不是一个矩形区域，而是一个不规则的四边形，它的形状随着射门点的变化而变化。

本模型主要是基于概率论的知识进行建模及求解。实际上该问题还可以有多种不同解法，比如可以借助于初等几何和代数的方法，在不同的射门点进行随机模拟，还可以通过可能射入球门的概率来定义威胁度函数，也能得出相应的结果。