2.1　初等模型

一个数学模型的优劣取决于它的应用效果，而不是在于它采用了多么高深的数学方法。对于某个实际问题，如果能够用初等方法建立数学模型，并且和所谓的高等方法相比较具有同样的应用效果，那么简单、有效的方法将更受人们欢迎。

本节研究对象的机理比较简单，一般用静态、线性、确定性模型描述就能达到建模的目的，基本上可以用初等数学和简单的微积分的方法来构造和求解模型。通过下面的几个实例能够看到，用很简单的数学方法就可以解决一些有趣的实际问题。

2.1.1　桌子能放平吗

把一把四只脚的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只要稍挪动几次，就可以四脚着地，放稳了。如何解释这种现象？

（1）模型假设

①椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触可视为一个点，四脚的连线呈正方形。

②地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连续曲面。

③对于椅脚的间距和椅脚的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。

（2）问题分析

这个例子说明了对实际问题作出合理的、简化的假设，以便于用数学语言确切地表述实际问题的重要性。任何位置椅子总有三只脚同时着地，中心问题转化为用数学语言把椅子四只脚同时着地的条件和结论表示出来。

（3）模型建立

为了用数学语言来表示椅子四只脚着地的条件和结论，首先用变量表示椅子的位置，由于椅脚的连线呈正方形，以中心为对称点，正方形绕中心的旋转正好代表了椅子的位置的改变，于是可以用旋转角度θ这一变量来表示椅子的位置。其次要把椅脚着地用数学符号表示出来，如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离，当这个距离为零时，表示椅脚着地了。椅子要挪动位置说明这个距离是位置变量θ的函数（图2.1）。

由于正方形的中心对称性，只要设两个距离函数就行了，记A、C两脚与地面距离之和为f（θ），B、D两脚与地面距离之和为g（θ），显然f（θ）、g（θ）≥0，由模型假设②知f（θ）、g（θ）都是连续函数，再由模型假设③知f（θ）、g（θ）至少有一个为0。当θ=0时，不妨设g（θ）=0，f（θ）>0，这样改变椅子的位置使四只脚同时着地，就归结为如下命题2.1。

命题2.1　已知f（θ）、g（θ）是θ的连续函数，对任意θ，f（θ）g（θ）=0，且g（0）=0，f（0）>0，则存在θ0，使g（θ0）=f（θ0）=0。

（4）模型求解

将椅子旋转90°，对角线AC和BD互换，由g（0）=0，f（0）>0可知g（π/2）>0，f（π/2）=0。令h（θ）=f（θ）-g（θ），则h（0）>0，h（π/2）<0，由f，g的连续性知h（θ）也是连续函数，由闭区间上连续函数的零点定理，必存在θ0（0<θ0<π/2）使h（θ0）=0，g（θ0）=f（θ0），由g（θ0）f（θ0）=0，所以g（θ0）=f（θ0）=0。

（5）模型的进一步讨论

本模型的巧妙之处在于用一元变量表示椅子的位置，用两个连续函数表示椅子四脚与地面的距离，从而把椅子四脚着地的结论用简单准确的数学语言描述出来，进而构造了数学模型。但是如果对模型假设做一些改变，会有什么结果出现呢？

①考虑椅子四脚呈长方形的情形。设A、B两脚与地面距离之和为f（θ），C、D两脚与地面距离之和为g（θ），θ为AC连线与x轴正向的夹角（图2.2）。显然f（θ）、g（θ）≥0，由模型假设②知f（θ）、g（θ）都是连续函数，再由模型假设③知f（θ）、g（θ）至少有一个为0。当θ=0时，不妨设g（θ）=0，f（θ）>0，这样改变椅子的位置使四只脚同时着地，就归结为如下命题2.2。

命题2.2　已知f（θ）、g（θ）是θ的连续函数，对任意θ，f（θ）g（θ）=0，且g（0）=0，f（0）>0，则存在θ0，使g（θ0）=f（θ0）=0。

将椅子绕对称中心旋转180°（π），正方形ABCD变成C'D'A'B'了（图2.2），即AB与CD互换，由g（0）=0，f（0）>0可知g（π）>0，f（π）=0。令h（θ）=f（θ）-g（θ），则h（0）>0，h（π）<0，由f（θ）、g（θ）的连续性知h（θ）也是连续函数，由零点定理可得，必存在θ0（0<θ0<π）使h（θ0）=0，即g（θ0）=f（θ0），由g（θ0）f（θ0）=0，所以g（θ0）=f（θ0）=0。

从而可见模型假设①的“四脚连线成正方形”不是本质的。

②考虑椅子四脚呈不规则四边形（即任意四边形）的情形。在椅子四脚连线所构成的四边形ABCD的内部任取一点O，作为坐标原点，建立直角坐标系（图2.3），记AO与x轴正向夹角为θ，记A、B两脚与地面距离之和为f（θ），C、D两脚与地面距离之和为g（θ），根据模型假设③不妨设当θ=θ1时，g（θ1）=0，f（θ1）>0，将椅子逆时针旋转一定角度，使A、B两脚与地面之和为0，此时，AO与x轴正向的夹角变为θ2，由模型假设③（任意时刻椅子至少有三只脚着地）易知当θ=θ2，f（θ2）=0，g（θ2）≥0，令h（θ）=f（θ）-g（θ），则h（θ1）>0，h（θ2）<0，由f（θ）、g（θ）的连续性知h也是连续函数，由零点定理可得，必存在θ0（θ1<θ0<θ2），θ1∈［0，2π），θ2∈（θ1，2π］，使h（θ0）=0，即g（θ0）=f（θ0），由g（θ0）f（θ0）=0，所以g（θ0）=f（θ0）=0。

利用正方形的中心对称性及旋转90°并不是本质的。并且，可以得到更一般的结论：四脚连线为不规则四边形的椅子能在不平的地面上放稳。

2.1.2　双层玻璃窗的功效

北方城镇的有些建筑物的窗户是双层的，即窗户上装两层玻璃且中间留有一定的空隙。据说这样做的目的是为了保暖，即减少室内的热量向室外流失。下面将要建立一个模型来描述热量通过窗户的流失（即扩散）过程，并将双层玻璃窗与同样多材料做成的单层玻璃窗的热量流失进行对比，对双层玻璃窗能够减少多少热量损失给出定量分析结果（图2.4）。

（1）符号假定

详见表2.1中所列。

（2）模型假设

①热量的损失过程只有传导，没有对流，即假定窗户的密封性能良好，两层玻璃之间的空气是不流动的。

②室内温度T1与室外温度T2保持不变，热传导过程已处于稳定状态，即沿热传导方向，单位时间通过单位面积的热量是常数。

③玻璃材料均匀，热传导系数是常数。

（3）问题分析

在上述假设下热传导过程遵从下面的物理定律：厚度为D的均匀介质，两侧温度差为ΔT，则单位时间由温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量Q，与ΔT成正比，与D成反比，即

　　 （2.1） 　　

（4）模型建立及求解

记双层玻璃窗内玻璃的外侧温度为Ta，外侧玻璃窗的内侧温度为Tb，玻璃的热传导系为k1，空气的热传导系数为k2，由式（2.1）得单位时间单位面积的热量流失（即热量传导的量）为：

　　 （2.2） 　　

从式（2.2）中消去Ta，Tb可得

　　 （2.3） 　　

对于厚度为2D的单层玻璃窗，容易写出单位时间单位面积的热量流失为：

　　 （2.4） 　　

　　 二者之比为 　　 　　 （2.5）

显然Q<Q'。为了得到更具体的结果，需要得到k1与k2的数据（或比值）。从有关资料可知，我们作最保守的估计，取。由式（2.3）和式（2.5）可得。比值反映了双层玻璃窗在减少热量损失上的功效，它只与有关，但一般来说h不宜也不可能过大，在实际中一般取值小于5。

（5）模型应用

这个模型具有一定的应用价值，尽管在制作双层玻璃窗方面会增加一些费用，但它减少的热量损失却是相当可观的。通常，建筑规范要求h近似等于4。按照这个模型，计算出，即双层玻璃窗比同样多的玻璃材料做成的单层玻璃窗节约热量97％左右。当然实际中双层窗户的功效会比上述结果要差一些，因为还有其他的一些因素没有考虑到。

本模型应用简单的物理学定律，在适当合理的假设之下建立数学模型，很好地解决了双层玻璃窗的能量节约问题，既实用又有效，这是一个利用初等数学知识解决实际问题的很好的例子。

2.1.3　动物的身长与体重

在生猪收购站或屠宰场工作的人们，有时希望由生猪的身长估计其体重，对于没有磅秤的边远山区的农民而言，这有一定的实际意义。试建立数学模型讨论四足动物的躯干的长度（不含头、尾）与它的体重的关系。

（1）问题分析

不同种类的动物，其生理构造不尽相同，如果对此问题陷入对生物学复杂生理结构的研究，就很难得到所要求的具有应用价值的数学模型并导致问题的复杂化。因此舍弃具体动物的生理结构讨论，仅借助力学的某些已知结果，采用类比方法建立四足动物的身长和体重关系的数学模型。

建模的基本原理：类比法是依据两个对象的已知的相似性，把其中一个对象的已知的特殊性质迁移到另一对象上去，从而获得另一个对象的性质的一种方法。它是一种寻求解题思路、猜测问题答案或结论的发现的方法，而不是一种论证的方法，它是建立数学模型的一种常见的、重要的方法。

（2）模型假设与求解

对于生猪，其体重越大，躯干越长，则其脊椎下陷越大，这与弹性梁类似，故可以通过弹性梁理论来研究生猪的身长与体重问题。

为了简化问题，把生猪的躯干看作圆柱体，设其长度为l、直径为d、断面面积为s（图2.5）。将这种圆柱体的躯干类比作一根支撑在四肢上的弹性梁，这样就可以借助力学的某些结论研究动物的身长与体重的关系。

设动物在自身体重f的作用下，躯干的最大下垂度为b，即弹性梁的最大弯曲。根据对弹性梁的研究，可以知道。又由于f∝sl（体积），于是

　　 （2.6） 　　

式中，b是动物躯干的绝对下垂度；b/l是动物躯干的相对下垂度。b/l太大，四肢将无法支撑动物的躯干，b/l太小，四肢的材料和尺寸超过了支撑躯干的需要，无疑是一种浪费，因此，从生物学角度可以假定，经过长期进化，对于每一种动物而言，b/l已经达到其最适宜的数值，换句话说，b/l应视为与动物尺寸无关的常数，而只与动物的种类有关。

因此

l3∝d2　　（2.7）

又由于f∝sl，s∝d2，故f∝l4，从而

f=kl4　　（2.8）

由此可见四足动物的体重与躯干长度的四次方成正比。这样，对于某种四足动物（如生猪），根据统计数据确定上述比例系数k后，就可以依据上述模型，由躯干的长度估计出动物的体重了。

（3）模型的讨论

本模型的建立，应用了简单的比例关系，称为比例模型。建模原理比较简单，往往需要结合借鉴其他学科的专业知识。

本模型中通过类比法将动物的躯干类比作弹性梁是一个十分大胆的假设，其假设的合理性，模型的可信度应该通过实际数据进行检验。但这种思考问题、建立数学模型的方法是值得借鉴的。在上述问题的研究中，如果不熟悉弹性梁、弹性力学的有关知识，就不可能把动物躯干类比作弹性梁，就不可能想到将动物躯干长度和体重的关系这样一个看来无从下手的问题，转化为已经有明确研究成果的弹性梁在自重作用下的挠曲问题。

类比法的作用是启迪思维，帮助我们寻求解题的思路，而它对建模者的要求是具有广博的知识，只有这样才能将所研究的问题与某些已知的问题、某些已知的模型建立起联系。为了进一步说明类比法的应用，再通过一个揭示商品包装规律的模型加以说明。

（4）比例模型的进一步应用：商品包装的规律

许多商品都是包装出售的，同一种商品的包装也有大小不同的规格。而且可以注意到，同一种商品大包装的单位价格比小包装的单位价格低。试建立数学模型，分析商品包装的内在规律。

模型的基本假设如下。

①商品的生产和包装的工作效率是固定不变的。

②商品包装的成本只由包装的劳动力投入和包装材料的成本构成。

③商品包装的形状是相似的，包装材料相似。

模型的符号说明如下。

a——生产一件商品的成本；

b——包装一件商品的成本（b1、b2分别表示劳动力和包装材料的成本）；

w——每件商品的重量；

s——每件商品的表面积；

v——每件商品的体积；

c——每件商品的单位成本。

由上面的模型假设①，可以认为商品的生产成本a正比于商品的重量w，即

a=k1w　（k1∈R）

显然，包装的劳动力成本b1正比于商品的重量，即b1=k2w（k2∈R）。由上面的模型假设③商品包装材料的成本b2正比于商品的表面积s，而商品的表面积s与体积有如下关系，商品的体积又正比于重量，于是有

每件商品的单位成本c为

　　 （2.9） 　　

这就是商品重量为w时单位商品总成本c的数学模型。

不难看出，c是w的减函数，表明当包装增大时每件商品的单位成本将下降，这与平时的生活经验是一致的。如果这个模型只是叙述上面的事实，它就显得十分平庸，因为它没有超出生活经验上的认识。仅这一点，这个模型的价值就很有限。那么是否能从模型得出其他更深入的结论？

下面从定性分析的角度进一步讨论模型的性质。可以看到商品单位成本c随商品重量w增加的下降速率，它也是商品重量w的减函数，表明当包装比较大时商品单位成本的降低越来越慢。因此，当购买商品时，并不一定是越大的包装越合算。这是一个一般人不一定了解的结论。

2.1.4　公平的席位分配

分配问题是日常生活中经常遇到的问题，它涉及如何将有限的人力或其他资源以“完整的部分”分配到下属部门或各项不同任务中，分配问题涉及的内容十分广泛。例如：大到召开全国人民代表大会，小到某学校召开学生代表大会，均涉及到将代表名额分配到各个下属部门的问题。代表名额的分配（亦称为席位分配问题）是数学在人类政治生活中的一个重要应用，应归属于政治模型。一个自然的问题是如何分配代表名额才是公平的呢？

（1）问题的描述

在数学上，代表名额分配问题的一般描述是：设名额数为N，共有s个单位，各单位的人数分别为pi，i=1，2，…，s。问题是如何寻找一组整数n1，n2，…，ns使得n1+n2+…+ns=N，其中ni是第i个单位所获得的代表名额数，并且“尽可能”地接近它应得的份额，即所规定的按人口比例分配的原则。

（2）模型的建立与求解

如果对一切的i=1，2，…，s，严格的比值恰好是整数，则第i个单位分得ni名额，这样分配是绝对公平的，每个名额所代表的人数是相同的。但由于人数是整数，名额也是整数，ni是整数这种理想情况是极少出现的，这样就出现了用接近于ni的整数之代替的问题。在实际应用中，这个代替的过程会给不同的单位或团体带来不平等，这样以一种平等、公正的方式选择ni是非常重要的，即确定尽可能公平（不公平程度达到极小）的分配方案。

引例　设某校有3个系（s=3）共有200名学生，其中甲系100名（p1=100），乙系60名（p2=60），丙系40名（p3=40）。该校召开学生代表大会共有20个代表名额（N=20），公平而又简单的名额分配方案是按学生人数的比例分配，显然甲乙丙三个系分别应占有n1=10，n2=6，n3=4个名额。这是一个绝对公平的分配方案。现在丙系有6名同学转入其他两系学习，这时p1=103，p2=63，p3=34，按学生人数的比例分配，此时ni不再是整数，而名额数必须是整数。一个自然的想法是：对ni进行“四舍五入取整”或者“去掉尾数取整”，这样将导致名额多余或者名额不够分配。因此，我们必须寻求新的分配方案。

①哈密顿（Hamilton）方法。哈密顿方法具体操作过程如下：

第一步，先让各个单位取得份额ni的整数部分［ni］；

第二步，计算ri=ni-［ni］，按照从大到小的数序排列，将余下的席位依次分给各个相应的单位，即小数部分最大的单位优先获得余下席位的第一个，次大的取得余下名额的第二个，依此类推，直至席位分配完毕。

哈密顿方法看来是非常合理的，但这种方法也存在缺陷。譬如当s和人数比例不变时，代表名额的增加反而导致某单位名额ni的减少。

上述三个系的20个名额的分配结果见表2.2。

考虑上述某校学生代表大会名额分配问题。因为有20个代表参加的学生代表大会在表决某些提案时可能出现10:10的局面，会议决定下一届增加一个名额。按照哈密顿方法分配结果见表2.3。

显然这个结果对丙系是极其不公平的，因为总名额增加一个，而丙系的代表名额却由4个减少为3个。由此可见，哈密顿方法存在很大缺陷，因而被放弃。

②惠丁顿（Huntington）方法。惠丁顿方法是在20世纪20年代初期由哈佛大学数学家惠丁顿提出的一个新方法。

众所周知，pi/ni表示第i个单位每个代表名额所代表的人数。很显然，当且仅当pi/ni全相等时，名额的分配才是公平的。但是，一般来说，它们不会全相等，这就说明名额的分配是不公平的，并且pi/qi中数值较大的一方吃亏或者说对这一方不公平。同时我们看到，在名额分配问题中要达到绝对公平是非常困难的。既然很难做到绝对公平，那么就应该使不公平程度尽可能小，因此我们必须建立衡量不公平程度的数量指标。

不失一般性，我们考虑A，B双方席位分配的情形（即s=2）。设A，B双方的人数为p1，p2，占有的席位分别为n1，n2，则A，B的每个席位所代表的人数分别为p1/n1，p2/n2，如果p1/n1=p2/n2，则席位分配是绝对公平的，否则就是不公平的，且对数值较大的一方不公平。为了描述不公平程度，需要引入数量指标，一个很直接的想法就是用数值｜p1/n1-p2/n2｜来表示双方的不公平程度，称之为绝对不公平度，它衡量的是不公平的绝对程度。显然，其数值越小，不公平程度越小，当｜p1/n1-p2/n2｜=0时，分配方案是绝对公平的。用绝对不公平度可以区分两种不同分配方案的公平程度，例如：

p1=120，n1=9，p2=100，n2=11，，p1=120，n1=10，p2=100，n2=10，，显然第二种分配方案比第一种更公平。但是，绝对不公平度有时无法区分两种不公平程度明显不同的情况：

第一种情形显然比第二种情形更不公平，但它们具有相同的不公平度，所以“绝对不公平度”不是一个好的数量指标，我们必须寻求新的数量指标。这时自然想到用相对标准。下面我们引入相对不公平的概念。

如果p1/n1>p2/n2，则说明A方是吃亏的，或者说对A方是不公平的，则称为对A的相对不公平度；如果p1/n1>p2/n2，则称为对B的相对不公平度。

相对不公平度可以解决绝对不公平度所不能解决的问题，考虑上面的例子：

p1=120，n1=10，p2=100，n2=10

p1=10020，n1=10，p2=10000，n2=10

显然均有p1/n1>p2/n2，此时，，与前一种情形相比后一种更公平。

建立了衡量分配方案的不公平程度的数量指标rA，rB后，制订分配方案的原则是：相对不公平度尽可能小。首先我们作如下的假设：

a.每个单位的每个人都具有相同的选举权利；

b.每个单位至少应该分配到一个名额，如果某个单位，一个名额也不应该分到的话，则应将其剔除在分配之外；

c.在名额分配的过程中，分配是稳定的，不受任何其他因素所干扰。

假设A，B双方已经分别占有n1，n2个名额，下面我们考虑这样的问题。当分配名额再增加一个时，应该给A方还是给B方，如果这个问题解决了，那么就可以确定整个分配方案了，因为每个单位至少应分配到一个名额，我们首先分别给每个单位一个席位，然后考虑下一个名额给哪个单位，直至分配完所有名额。

不失一般性，假设p1/n1>p2/n2，这时对A方不公平，当再增加一个名额时，就有以下三种情形。

情形1：p1/（n1+1）>p2/n2，这表明即使A方再增加一个名额，仍然对A方不公平，所以这个名额应当给A方。

情形2：p1/（n1+1）<p2/n2，这表明A方增加一个名额后，就对B方不公平，这时对B的相对不公平度为。

情形3：p1/n1>p2/（n2+1），这表明B方增加一个名额后，对A方更加不公平，这时对A方的相对不公平度为。

公平的名额分配方法应该是使得相对不公平度尽可能小，所以若情形1发生，毫无疑问增加的名额应该给A方；否则需考察rB（n1+1，n2）和rA（n1，n2+1）的大小关系，如果rB（n1+1，n2）<rA（n1，n2+1），则增加的名额应该给A方，否则应该给B方。

注意到rB（n1+1，n2）<rA（n1，n2+1）等价于，而且若情形1发生，仍然有上式成立。记，则增加的名额应该给Q值较大的一方。

上述方法可以推广到s个单位的情形，设第i个单位的人数为pi，已经占有ni个名额，i=1，2，…，s，当总名额增加一个时，计算

　　 （2.10） 　　

则这个名额应该分给Q值最大的那个单位。

表2.4是利用惠丁顿法重新分配三个系21个名额的计算结果。丙系保住了险些丧失的一个名额。

（3）模型的进一步讨论

名额（席位）分配问题应该对各方公平是理所当然的，问题的关键是在于建立衡量公平程度的既合理又简明的数量指标。惠丁顿法所提出的数量指标是相对不公平值rA，rB，它是确定分配方案的前提。在这个前提下导出的分配方案分给Q［式（2.10）］值最大的一方无疑是公平的。但这种方法也不是尽善尽美的，这里不再探讨。由本例可知，在数学建模过程中，不在于所使用方法的难易，反而是根据问题的实际条件多方面、多角度地思考和解决问题才是更应该具备的素质。

2.1.5　效益的合理分配

联盟与合作是现实生活各种经济或者社会实体中经常遇到的问题，通常会获取更大的经济或者是社会效益。假设有n个实体，它们各自单独经营都有一定的经济效益。如果它们相互间的利益不是对抗性的，又有科学的管理方法，一般来说，联合经营的总效益可以超过各自独立经营所得效益之和，并且合作的实体越多，总效益就越高（否则就不会有合作）。因为各自的实力不同，优点不一，由此各自的贡献必定存在差异。为了巩固合作的经营形式，必须有一个合理的分配制度。试建立数学模型对合作经营的效益进行合理的分配。

（1）问题分析

效益的分配方法有很多种，先来看一种简单的分配方法：设n个实体各自经营时所得的效益分别为x1，x2，…，xn（非负）。联合经营时所得的总效益为x，且。记

　　 （2.11） 　　

一般地，可以用，，…，作为这n个实体的效益分配值。

考虑到联合经营的组合方式很多。对于n个实体而言，可以任意2个进行联合，也可以任意三个进行联合，任意四个联合……直到全体联合。如果各种组合方式都有实际效益。而又以全体联合的总效益最高，于是式（2.11）并不能体现其他联合形式的效益。由此我们的分配原则应该是使每个实体在全体联合中的实际收入比它参加的除全体联合的形式之外的任何形式的任何收入都高，至少应相等，同时要想使合作愉快，必须给出一个合理的唯一的分配方法，最好不要有多个方法出现。

（2）理论基础

上述的问题称为n人合作对策问题，其解（即分配方法）的确定有多种方法，如核心、稳定集、谈判解以及内核等，本模型主要采用Shapley值法，这是基于一系列公理化方法基础之上建立起来的，具有很好的经济意义，而且有极为简单的求解方法，因此得到了广泛的应用。

上述问题对应Shapley值法的基本定义和主要结论如下。

首先把n个实体的集合可以简单地记作I={1，2，…，n}共n个自然数的集合，其中i∈I就表示第i个单位。设I的一个子集S={i1，i2，…，ik}，则S就是i1，i2，…，ik单位的集合。

现在考虑效益的符号表示。设I的一个子集S={i1，i2，…，ik}。以下用v（S）表示i1，i2，…，ik共k个单位合作的效益，也就是特征函数。若不考虑负效益，则特征函数v（S）总是一个非负实数。由此v（I）就是全体合作的效益；若i∈I，则记v（{i}）为v（i），它表示第i个单位独自经营时的效益，同时规定v（ф）=0。

一般认为，合作的实体越多，总效益就越高。故对于v还可以补充假设：若S1，S2⊂I，且S1∩S2=ф，则

v（S1∪S2）≥v（S1）+v（S2）　　（2.12）

又设S⊂I，且i∈S，记S-{i}=S\i，称v（S）-v（S\i）为i在S合作中的贡献。由式（2.12）知，任何单位在任意合作中的贡献都是非负的。

经过数学上的推导，可以证明每个单位的收益是唯一的，且第i个单位在合作经营中的收益为：

　　 （2.13） 　　

式中，｜S｜表示S中元素的个数；S（i）表示I中所有包含有i的子集的集合。

（3）案例分析

下面通过两个实例进行说明。

【例2.1】　收入的分配　设乙、丙受雇于甲经商。已知甲独自经营每月获利1万元；只雇乙可获利2万元；只雇丙可获利3万元；乙、丙都雇用可获利4万元。问：应如何合理分配这4万元的收入？

将甲、乙和丙记为I={1，2，3}，特征函数分别为：v（{1，2，3}）=4，v（{1，2}）=2，v（{1，3}）=3，v（{1}）=1，v（{2，3}）=v（{2}）=v（{3}）=v（{ф}）=0。代入式（3.13）得：

即甲的收益为2.5万元，乙的收益为0.5万元，丙的收益为1.0万元。这就是最后的效益分配结果。

【例2.2】　费用的分摊　设沿河依次有A，B，C三个城镇（图2.6）。A城在河流的上游，距B城有20千米，B城距河流下游的C城有38千米。规定各城的污水必须经过处理才能排入河中，三城可以单独建立污水处理厂，也可以用管道将污水输送到下游适当城镇再联合建厂。用Q表示污水量（吨/秒）。L表示管道长（千米），按照经验公式，建厂费为p1=73Q0.712（千元），铺设管道费用p2=0.66Q0.51L（千元）。且已知三镇污水量分别为Q1=5，Q2=3，Q3=5。试从节约三镇总投资的原则出发提出合理的建厂方案，并向三城镇合理分摊所需的资金。

用1、2、3表示A，B，C三城镇，C（·）表示对象的投资费用。首先注意到可以建厂的方案有以下4种，计算出投资费用以作出比较。

①A，B，C三城镇分别建厂。

投资分别为C（1）=73×50.712≈230，C（2）=73×30.712≈160，C（3）=73×50.712≈230。

总投资D1=C（1）+C（2）+C（3）=620。

②A、B合作，在B城建厂。

投资C（1，2）=73×（5+3）0.712+0.66×50.51×20≈350，总投资D2=C（1，2）+C（3）=580。

③B，C合作，在C城建厂。

投资C（2，3）=73×（3+5）0.712+0.66×30.51×38≈365，总投资D3=C（1）+C（2，3）=595。

④三镇合作，在C城建厂。

总投资为D4=C（1，2，3）

　　　　　=73×（5+3+5）0.712+0.66×50.51×20+0.66×（5+3）0.51×38≈556

比较结果以D4=556（千元）为最小，所以应选择联合建厂方案，下面的问题是如何分担费用D4。

总费用D4中有三部分：联合建厂费d1=73×（5+3+5）0.712≈453，A城至B城的管道费d2=0.66×50.51×20≈30，B城至C城的管道费d3=0.66×（5+3）0.51×38=73。C城提出，d1由三城按污水量比例5:3:5分担，d2，d3是为A，B两城铺设的管道费，应由它们负担；B城同意，并提出d3由A，B两城按污水量比例5:3分担，d2由A城自己负担；A城提不出反对意见，但他们计算了按上述办法各城应分担的费用如下。

C城分担的费用为：。

B城分担的费用为：。

A城分担的费用为：。

结果表明B、C两城分担的费用均比它们单独建厂费用C（2），C（3）小，而甲城分担的费用却比C（1）大。显然甲城不能同意这种分担费用的办法。

为了促成三城联合建厂以节约总投资，应该寻求合理的分担总费用的方案。三城的合作节约了投资，产生了效益，于是可以将分担费用问题转化为分配效益问题。将三个城市记为I={1，2，3}，将联合建厂比单独建厂节约的投资定义为特征函数，于是

　　v（{1}）=v（{2}）=v（{3}）=v（{ф}）=v（{1，3}）=0

　　v（{1，2}）=C（1）+C（2）-C（1，2）=40，v（{2，3}）=C（2）+C（3）-C（2，3）=25

　　v（{1，2，3}）=C（1）+C（2）+C（3）-C（1，2，3）=64

代入式（3.13）得

φ1（v）=19.7（千元），φ2（v）=32.1（千元），φ3（v）=12.2（千元）

看来乙城从总效益中分配的份额最大。最后得出在联合建厂方案总投资556（千元）中，各城镇的分担费用分别为

A城　　　　C（1）-φ1（v）=230-19.7=210.3（千元）

B城　　　　C（2）-φ2（v）=160-32.1=127.9（千元）

C城　　　　C（3）-φ3（v）=230-12.2=217.8（千元）

（4）Shapley方法的局限性

Shapley方法以严格的公理为基础，分配结果公正合理，操作简单，易于实施，但也存在局限性，尤其当特征函数的值无法确定时，就无法使用Shapley方法了，这时就需要寻求其他方法进行求解，如协商解、均衡解等方法，感兴趣的读者可以查阅相关资料。