第一节 生长数学

数学是人类文化的重要组成部分，是一门包含着独特思想方法和精神内涵的科学，也是一门重要的基础学科。数学的发展经历了漫长的过程，在这一过程中，数学自身形成了独特的数学符号、严谨的语言系统和完备的数理体系。也正是数学的这种抽象性和严密性，在过去很长一段时间里，人们把数学学习当成是冰冷的“零件”进行着“生产”的过程。这种以传递和训练为主的方式进行的“数学生产”，学生颇像一个容器。他们在记忆模仿和重复操练中“被生产”着，以致数学课堂慢慢地变成了一条“机器流水线”，学生倍感无奈、无趣、无力。

人，之所以喜欢“生产数学”，功利之心和简单化思维是比较重要的两个因素。可以想象，如果把数学作为一种结果和规则来传递、训练，既可以批量生产，又可以简单操作——不会再讲，错了再练。学生数学成绩不理想，老师就会简单地认为上课不认真听，或者练得还不够。这种强调突出记忆和操练数学的“生产”，危害特别巨大！

关于如何看待数学，英国数学物理学家兼电学家开尔文曾说：“别把数学想象得艰难晦涩、不可捉摸，它只不过是常识的升华而已。”所谓“常识的升华”，即指数学是有来源的，是在一定需要的基础上产生、发展、丰富起来的。事实上，原始文明中，数学最初迈出的几步——无论是代数还是几何——都是为了满足人们的需要而产生的。对于儿童来说，这种“升华”可以是经验的重组和加工，它体现出不同的阶梯和层次，逐步引向概括和提炼。数学有来处、数学有道理、数学能形成、数学能运用、数学可理解、数学可发展……这样的数学就是生命发展的数学，“生长”的数学！

什么是生长呢？从物理的角度看，生长是动物体尺寸的增长和体重的增加；从生理的角度看，生长则是机体细胞的增殖和增大，组织器官的发育和功能的日趋完善；从生物化学的角度看，生长又是机体化学成分即蛋白质、脂肪、矿物质和水分等的积累；从热力学角度看，生长是能量输入与能量输出的差值。

在教育教学中，杜威曾在《民主主义与教育》中提出：“教育即生长。”他提出“教育即生长”的根本目的在于，将儿童从被动的、被压抑的状态下解放出来。“生长论”要求尊重儿童，使一切教育和教学适合儿童的心理发展水平和兴趣、需要的要求。儿童有4种本能：社交的本能、制造的本能、表现的冲动、探究和发现事物的兴趣或本能。教育要尊重儿童的自然天性，引导儿童独立自主地塑造自我，促使个性的自我实现。可见，儿童的潜能和经验为我们的教育提供了素材，也指出了起点。因此，在教育中提出“生长”，是为了突出儿童的天性；而把“生长”运用到数学上，是为了突出过程与结果的统一，体现生命与数学的统一，佐证获得与发展的统一。

小学数学与日常生活有着紧密的联系。虽然数学具有一定的抽象性和严谨性，但它都来源于生活。教师如果将抽象的数学与具体的生活相对接，可以很好地激发小学生的学习动力和潜能。学生凭借自身的努力和交流就能完成对数学的理解，从而提高他们的思维能力和学习兴趣。建构主义学习观强调：“知识并不能简单地由教师或其他人传授给学生，而只能由每个孩子依据自身已有的知识和经验主动地加以建构。”生长数学教学秉承了这些认知和理念，强调学生尝试独立学习和互动交流，突出经验继续不断地被改造和重组。在这一过程中，教师只是学生自主学习的推动者和促进者。

教师普遍认为，当新的学习任务出现时，学生的经验会被激活，他们根据自己的经验进行观察、反思，产生认知冲突。通过比较、探究、推理、应用等数学活动，他们会形成更丰富的认识和体验，归纳出新的认识和经验，从而完成对原有经验的改造或重组，使认知结构随着新知的充实而不断调整、扩展。当二次习得的理解、经验与原有的知识建立意义上的对接时，学生就会用某种方式加以组织和内化，转化成便于储存、提取和迁移的新知识结构。其内在关系见图1-1：

图1-1 数学学习过程示意图

数学还是有过程和结构的。数学可以在人们的感官知觉、经验加工、分析推理中形成个体的意义。抽象前数学可以感知、提炼前数学可以生动，正如爱因斯坦所表述的立场，“相信有一个独立于知觉主体的外部世界的存在，是一切科学的基础。但是既然我们的感官知觉只能间接地告知我们这世界或物理实在的情形，那就只有通过推测，这世界对于我们才是可理解的。”这在一定意义上表明了建立在感官认识基础上的经验是人们探索世界的重要源泉，但这种既纯粹又单一的感官认识是有限的，且具有欺骗性。比如，同样大小的角，如果延长其中一个角的边，会认为这个角比较大。将硬币的半径增加1厘米，与将校园内的圆形花坛半径增加1厘米后周长的变化比较，直觉上会认为后者周长增加更长。因此，教师需要在这种感官认知的基础上加以理解和丰富，在形成和发展中完善自己的理解。数学，恰恰也需要这样的过程。之所以将生长和数学联系起来，是因为从生长的角度来把握数学、解读数学，更利于找到数学这门学科所具有的简约内涵，更便于发现其中蕴藏的思维力量。从这个意义上说，“生长数学”为理解数学和建构生长数学教学（课堂）提供了有力支持。

我们把“生长”定义为：学生的学力获得长进。具体表现在：个体突破原有水平、形成新的结构、获得多元长进（即在知识、方法、经验、能力、品质等多方面有所长进）。生长数学，立足已有基础，强调学习兴趣，学生在自然状态下根据自己的力量学会思考，从而获得知识、增强学力。

所谓“生长数学”，它是相对“生产数学”而界定的。“生产数学”强调了知识的复制和操练，是一种“照样子做”的数学。而“生长数学”强调了知识的产生和发展，是一种“有道理讲”的数学。因此，生长数学是一种动力和追求，“生长”是形式、是需要，它通过具体活动的抽象、创造来完成数学化、模型化。这不仅符合数学本身发展的规律，也符合儿童认知数学的特点。