§2 工业文明的助推器——近代数学

2.1 近代数学的创立和发展

2.1.1 17世纪数学的特点及英国数学的发展

17世纪是西方殖民主义发展的一个世纪。17世纪初，欧洲的资本主义工业蓬勃发展，采矿、造船、纺织、造纸以及兵器生产，都迫切需要有较好的生产工具。于是，他们发明了抽水机、锻压机、起重机、车床等机械设备，有力地推动了机械学、力学的发展，使研究物体运动和变化成为科学的中心课题。力学在各门学科中首先兴盛起来，而力学的进步又直接推动了数学的发展。因而数学史上出现了一次重大的飞跃——从常量数学迈入了变量数学，以解析几何和微积分为代表的近代数学分别在法国和英国产生了。这一时期，英国的海上交通从地中海扩展到大西洋。海外贸易的发展又促使英国的资本主义工商业迅速发展，使它成为当时世界上最强大的资本主义国家。1662年，英国成立了皇家学会，对英国的科学研究起了很大的推动作用。在皇家学会中，云集了一大批优秀的科学家：牛顿（1642—1722）、沃利斯（1616—1703）、胡克（1635—1703）、马克劳林（1698—1746）等。世界数学的中心也由意大利转移到了英国。

从数学的内容看，17世纪近代数学的发展主要有三大特点：

（1）产生了一系列新的领域：解析几何、微积分、概率论、射影几何和数论等。每一个领域都使初等数学相形见绌。

（2）出现了代数化的趋势。17世纪，代数比几何占有更重要的位置，并进一步向符号代数转化。几何问题常常反过来用代数方法解决。

（3）创造了大量新概念，使数学进一步抽象化。

从数学的外部看也有三大特点：

（1）数学与实际，特别是与其他自然科学的联系更加密切。实验科学的兴起，促进了数学的发展；数学的成果也渗透到其他科学中去。

（2）数学的教学与研究从个体劳动向集体劳动转变。

（3）数学研究冲破了“逻辑严格性”的束缚，敢于相信直观、相信物理学的洞察力。这是人类思想认识的一大进步。

2.1.2 18世纪数学的特色及法国数学的发展

18世纪，英国的工业革命和法国的启蒙运动，极大地发展了生产力，解放了人们的思想。由于法国大革命的胜利，大规模的资本主义企业逐渐发展起来。自由贸易的政策也促进了资本主义工商业的发展，推动了科学技术的进步，也出现了一大批优秀的科学家和工程师。这时法国的自然科学水平超过了英国，跃居世界首位。工业和军事的需要，又极大地促进了数学的发展。

克莱罗（1713—1765）研究了曲线和曲面的力学问题和光学问题；拉格朗日（1736—1813）和贝努利兄弟研究了力学和天体运行，建立了变分法和常微分方程理论；达朗贝尔（1717—1783）、拉普拉斯（1749—1827）、拉格朗日研究了振动、弹性力学和万有引力，建立了偏微分方程理论；继帕斯卡（1623—1662）之后，蒙日（1746—1818）发展了射影几何；继笛卡儿（1596—1660）之后，蒙日又补充了解析几何；达朗贝尔、拉普拉斯，还有瑞士数学家欧拉（1707—1783）开创了复变函数论；克莱罗开创了微分几何。这一切都表明：法国的数学已超过了英国，法国已成为世界数学的中心，这种势头一直从18世纪，保持到19世纪中叶。总的来说，18世纪数学的发展又呈现了新的特色：

（1）以微积分发展成数学分析，它成为后来数学发展的主流。

（2）数学发展的动力，除了来自物质生产之外，一个直接的动力是来自物理学、力学和天体力学发展的需要。

（3）数学已明确地分为纯粹数学和应用数学。纯粹数学不再依附于实际而独立发展，进一步深化了理性文化；应用数学则与工业文明相互促进，共同发展。

2.2 近代数学的成熟

2.2.1 19世纪的数学文化

18世纪初数学的发展已达到了丰茂成林的境地。到19世纪，数学又发生了一系列革命性的变化，几乎在一切领域内都取得了引人注目的成就：以俄国数学家罗巴切夫斯基（1792—1856）为代表的非欧几何的诞生；以挪威数学家阿贝尔（1802—1829）、法国数学家伽罗瓦（1811—1832）为代表的抽象代数的创立；以法国数学家柯西（1789—1857）为代表的分析基础的奠定；以瑞士数学家施泰纳（1796—1863）为代表的射影几何的复兴；以高斯（1777—1855）为代表的数论的新开拓，令人目不暇接。在分析学中，傅里叶（1786—1863）级数论的产生和建立，使得函数概念有了重大突破。在代数中，伽罗瓦群论的产生，使得代数运算的概念有了重大突破。在几何学中非欧几何的诞生，使得空间概念也有了重大突破。这三项突破促使近代数学迅速向现代数学转变。数学基础的研究也受到数学家的重视，并逐步形成了实数理论、集合论、数理逻辑和几何基础（公理体系）。这些都为即将到来的现代数学打下了更深厚的基础。另外，数学不断分化、不断综合的过程已经显露苗头，数学应用的范围更加广泛，并取得了辉煌的成果。

2.2.2 德国数学的发展

随着19世纪德国资产阶级革命运动的发展，德国建立了统一的德意志帝国。工业迅速发展，生产的机械化程度逐年提高，这使德国的工业很快就赶超了英法等老牌资本主义国家。德国积极采用最新科学成就，大力实行鼓励科学技术发展的政策。科学技术发展了，反过来又促进了德国经济的增长。至19世纪末，德国便成为世界经济大国。1873年，德国在世界上最早建立“国立物理研究所”，由国家组织科学研究，以促进科技繁荣。此时著名科学家成批涌现，科学研究硕果累累。

在欧洲各国的自然科学不断进步的情况下，著名的德国古典哲学也发展起来。他们以思辨原则为基础，提出了系统的关于自然界全貌的理论。特别是康德强调在一切自然科学中应用数学的重要性，他把数学和自然科学紧密地联系在一起，这就有力地推动了德国数学的发展。至19世纪中叶，德国已成为世界数学大国，进而又成为世界数学的中心：外尔斯特拉斯（1815—1889）（与柯西、康托尔、戴德金等一起）完成了分析的算术化；戴德金（1831—1916）、康托尔（1831—1916）、外尔斯特拉斯建立了实数理论；康托尔建立了集合论；高斯发现了非欧几何，并在数论、代数、分析、概率论、级数理论等方面做出了重要贡献；黎曼（1826—1866）创立了黎曼几何，并提出了拓扑流形的概念；希尔伯特（1862—1943）提出了几何学的公理化系统；克莱因（1849—1925）统一了几何学，并创立了自守函数；雅可比（1804—1851）创立了椭圆函数理论；艾森斯坦（1823—1852）研究了二次型和二元三次型理论；狄利克雷（1805—1859）发展了数论和分析学；库默尔（1810—1893）又深入研究了数论；克罗内克则对代数学进行了深刻的研究。所有这些，都说明了德国数学的雄厚实力和近代数学的异常繁荣。

2.3 小结

经过一个多世纪的发展，近代数学的三个组成部分都取得了极为重要的成就：微积分发展成为数学分析，方程论发展成为高等代数，解析几何发展成为高等几何。伴随着工业和经济的发展，数学得到了飞速发展，数学的中心由英国转移到法国，又从法国转移到德国。