第一节 国外数学教育改革

数学的未来在于数学教育，在于社会对数学的认识。就世界范围来说，数学教育是各科教育中最具有国际影响力的，数学教育观念的变革，也是未来数学进步的标志。

一、国外中学数学教育改革回顾

（一）英国的中学数学教育改革

一百年前，欧几里得的《几何原本》在英国仍然是一切教科书的蓝本。大数学家庞加莱（Poincaré）曾经幽默地讽刺当时数学教育的失败：“教室里，先生对学生说‘圆周是一定点到同一平面上等距离点的轨迹。’学生们抄在笔记本上，可是谁也不明白圆周是什么。于是先生拿粉笔在黑板上画了一个圆圈，学生们立刻欢呼起来：‘啊，圆周就是圆圈啊，明白了。'”庞加莱指责的这种数学教育到处都有，现在也并未绝迹。

1901年，英国工程师、皇家科学院教授培利（J.Perry,1850—1920）在英国科学促进会发表演说，猛烈抨击英国的教育制度，反对为培养一个数学家而毁灭数以百万人的数学精神。他说：“我们再也没有欧几里得时代那样的空闲了。”培利主张关心一般民众的数学教育，取消欧几里得《几何原本》的统治地位，提倡“实验几何”，重视实际测量、近似计算，运用坐标纸画图，尽早接触微积分。他归纳学习数学的“理由”有：培养高尚的情操，唤起求知的喜悦；以数学为工具学习物理学；为了考试合格；给人们以运用自如的智力工具；认识独立思考的重要性，从权威的束缚下解放自己；使应用科学家认识到数学原理是科学的基础；提供有魅力的逻辑力量，防止单纯从抽象的立场去研究问题。培利嘲笑那些只关心第3条（为了考试合格）的教师说，这些数学教师尽管什么用处也没有，但他们却像受人顶礼膜拜的守护神。培利的演说获得广泛赞同，1902年，以培利演说为中心内容写成的书《数学教学的讨论》出版。在20世纪的开端，在英国以培利为代表的数学教育改革运动便拉开了序幕。

（二）德国、意大利的中学数学教育改革

与英国的培利改革相呼应，德国大数学家F．克莱因（F.Klein）继续推动世界数学教育的改革。1900年，他在德国学校协会上，强调应用的重要性，建议在中学讲授微积分。1904年，F．克莱因在哥廷根大学演讲，主张中学数学内容应以“函数概念”为中心。同年，在自然科学家的布列斯劳会议上，建议大学教师不仅要懂教育学，还必须注意数学教育的方法。1905年，由F．克莱因起草的《数学教学要目》在意大利的米兰公布，世称米兰大纲。其要点是：教材的选择和安排，应适应学生的心理自然发展；融合各个数学学科，密切数学与其他学科的联系；不过分强调形式的训练，应重视应用；以函数思想和空间观察能力作为数学教学的基础。这份米兰大纲，是一份向世界各国推荐的模范大纲，其指导思想一直贯穿于整个20世纪，至今仍然具有指导意义。

（三）美国的中学数学教育改革

在20世纪60年代，一项由国际政治触发的数学教育改革运动风靡全球。1957年，苏联的人造卫星早于美国上天，使美国朝野震惊。1958年，美国国会通过国防教育法，要求政府和公众支持教育改革，用提高科学教育质量来保卫国防。大批的政府拨款和企业资助投向科学教育和数学教育。以布尔巴基（N.Bourbaki）为代表的数学家积极参与其中。当时的思潮是，旧的数学教材内容太陈旧了，没有反映20世纪的数学成就。于是，一大批新的数学教材在西方各国涌现。用“新数学”代替“旧数学”的一场改革运动席卷全世界。1958年，美国成立“学校数学研究小组”（简称SMSG），着手编写《统一的现代数学》教材。欧洲经济共同体也在1959年编制《中学数学教育现代化大纲》。

二、“新数学”运动与国外中学数学教育改革

1960年，日本召开全国数学教育大会，着手研究数学教育现代化。1961年，英国的“学校数学设计”（简称SMP）研究组织，推出一套全新的教材。比较稳重的苏联，也在1965年成立以大数学家柯尔莫哥洛夫（A.N.Kolmogorov）为首的委员会，全面编写新数学教科书。即使处于对外封闭状态的中国，在1960年上海举行的中国数学会代表大会上，也提出“打倒欧几里得”的口号，编写高中生要学习偏微分方程的数学教材，力求实现数学内容的现代化。

这场运动，世称“新数学”运动。“新数学”运动的指导思想是：增加现代数学内容，如集合、逻辑、群、环、域、向量和矩阵、微积分、概率论、二进制数系，等等；强调公理方法，提倡布尔巴基的结构主义。SMSG数学教材中有一个由30条公理组成的系统；废弃欧几里得几何；削减基本运算，用计算器代替基本的运算技能；提倡发现教学方法，要求学生像数学家发现定理那样去学习数学。

经历了20世纪60年代和70年代，“新数学”运动终于以失败而告终。学生无法接受大量的抽象而不切实际的数学，如二进制数系、群的概念、数理逻辑公式，等等。与此同时，基本训练大大削弱，学生不知道2+2等于几，因为被二进制数弄糊涂了。80年代，大多数“新数学”运动中的教材都宣布失败，提出“回到基础”的口号，重新注意基本训练。

“新数学”运动也有积极的一面，例如使概率统计、向量、微积分等内容进入中学，教学方法注意学生发现知识的过程等。但是它的负面影响颇为巨大。学生的基本训练能力迅速下降，至今未能完全恢复。至于平面几何之类的内容，不仅西方国家的中学生已经久违，连中学教师也不甚了解，恢复起来十分困难。

三、国际数学家联合会对国外中学数学教育改革的贡献

20世纪以来，国际数学家联合会是国际数学界唯一的权威组织。1908年在罗马举行国际数学家大会，会上决定建立国际数学教育委员会（International Commission Of Mathematics Instruction，简称ICMI）。F．克莱因是20世纪初无可争辩的数学教育领袖，理所当然地被选为国际数学教育委员会的第一任主席。他担任这一职务直到1925年去世。

20世纪中叶，经历了两次世界大战。由于教育和各国政府的政策密切联系，国际性的数学教育活动不太多。ICMI做了一些组织工作，主要是交流各国的数学教育情况，包括数学教学大纲的制定、教学方法的改进、数学学习水平的评价，等等。

第二次世界大战之后，各国普遍实行9～12年的义务教育制度。这是一项根本性的转变。如果说以前的数学教育只是为了培养少数科学家、律师、医生、国家管理人员等人才，那么现在必须面对全体民众。以前的数学往往被作为筛子用于选拔人才，现在则必须把数学作为“泵”来提高大众的数学能力。“大众数学”的口号也就应运而生。

伴随“新数学”运动，第二次世界大战时中断的国际数学教育活动也逐渐恢复起来。这一时期的世界数学教育领袖是H．弗赖登塔尔（H.Freudenthal,1905—1991）。弗赖登塔尔是荷兰数学家，1930年毕业于柏林大学，专长是李代数和拓扑学，长期在荷兰的乌德勒支大学任教授。在研究数学之余，他关注数学教育，并有大量著作问世。他主张学习现实数学，提倡从学生的现实出发，注意数学学习心理学的研究。“新数学”运动风起云涌之际，弗赖登塔尔持激烈反对态度。后来的事实证明他是对的，这使他的声誉鹊起。1967年，弗赖登塔尔当选为国际数学教育委员会主席。在他任职期间，做了两件影响深远的事：第一件是单独举行国际数学教育大会（简称ICME）。第一届ICME于1969年在法国里昂举行。第二届ICME于1972年在英国的埃克塞特举行。以后每四年举行一次：1976年，德国，卡斯鲁赫；1980年，美国，伯克利；1984年，澳大利亚，阿德雷德；1988年，匈牙利，布达佩斯；1992年，加拿大，魁北克；1996年，西班牙，塞维利亚；2000年，日本，东京；2004年，丹麦，哥本哈根；2008年，墨西哥，蒙特雷。第二件是提倡数学教育的科学研究。在60年代之前，大多数的数学教育研究都是经验式的，各国的研究只是报告自己的数学教学大纲，谈谈数学教学的一般情况。弗赖登塔尔认为，数学教育研究应该和数学研究一样，也是要探讨数学教育的规律，提出新观点，增加新内容，努力在前人研究的基础上有所前进。论文的形式也要提出问题，引用前人的结果，提出自己的见解，有论证和数据，不能空谈。在ICME上，都要分组讨论，力求深入。为了推动数学教育研究，弗赖登塔尔创办了新的杂志《数学教育研究》（Educational Studies in Mathematics），作为国际数学教育委员会的机关刊物。

另一位数学教育的领袖人物，当推波利亚（G.Polya,1887—1985）。他是美籍匈牙利人，在布达佩斯、哥廷根、巴黎等地求学，1912年获博士学位。主要工作领域为泛函分析、组合数学、概率论等。波利亚在1944年写成《怎样解题》一书，先后被译成14种文字出版，在数学教育界影响巨大。以后又推出《数学的发现》, 《数学与猜想》等一系列有关解数学题的理论，并用大量的例子加以解释，风行世界。80年代，美国数学教育界在“回到基础”的口号之后，又提出“数学问题解决”的口号。主张数学问题的解决应是数学教育的主要目标。至此，波利亚的解题理论更成为数学教育研究的热点（本书第九章将详细阐述）。

在20世纪末，数学教育面临许多困难。西方工业发达国家中学生的数学水平每况愈下。表1-1和表1-2分别是两个权威的国际数学教育评价机构对13岁学生测试的得分情况，其中IAEP是国际教育进展评价组织的缩写；IEA是教育成就评价国际协会的缩写（1996年底，IEA在美国波士顿公布了调查结果（表1-2），名称为第三次数学和科学（教育）的国际研究，缩写为TIMSS）。

这两次测试，表明东亚各国或地区在学生的数学学习成绩方面明显高于其他国家或地区。特别是受中国文化影响的“汉字文化区”内的国家或地区，其数学测试成绩都明显领先。

这一现象，已引起国际的重视。TIMSS的发表，引发了美国的一场“数学战争”。20世纪80年代的国际测试表明，美国数学教育成绩落后于日本。为此，当时的布什政府曾要求国会增加拨款，提升美国的中学数学教学水平。美国全国数学教师委员会（简称NCTM）发表新的课程标准，提倡新的数学教学方法，在国内的学术智慧考试（简称SAT）等测试中，显示美国学生的数学成绩有所提高。但1996年这次TIMSS成绩却说明美国中学生的数学成绩在国际测试中的排名没有提高，反而下降，在西方国家中只领先于苏格兰和西班牙。一时舆论大哗，引发了所谓的“美国数学战争”。

在美国最大的州——加利福尼亚，先引起辩论。以加利福尼亚州立大学数学教授伍鸿熙为代表，认为美国数学教育存在严重问题，加利福尼亚州的课程需要重新设计，教科书应重编，NCTM课程标准应当修改。他们的批评意见陆续在传媒发表，一时议论纷纷。批评意见主要有：美国的数学教育忽视基本训练，没有起码的数学技能要求；数学内容缺乏严密性，不像一门精确科学；数学教学大纲中有明显的数学错误；数学教学提倡“自我建构”、“小组学习”，教师的作用受到忽视。另一种观点认为，数学教育是一个漫长的改革过程，中学生的基本数学能力正在逐步提高；美国优秀学生的数学教育仍然在世界上领先；数学创造性是数学教育的灵魂，美国必须坚持。