第一节 传统经济增长核算方法

经济增长核算是测算经济增长来源的重要方法，而进行经济增长核算时，则绕不开全要素生产率的测算。全要素生产率（TFP）又称“综合要素生产率”，指总产量与全部要素结合在一起的投入量之比，是衡量生产效率的一项重要生产指标。由定义可知，全要素生产率的提高与生产要素单纯量的扩大没有关系，它的增长实际上是一种“余值”增长，即产出增长率中不能用劳动和资本等投入的增加来解释的剩余。这就意味着全要素生产率具有非常广泛的内涵，不仅包括先进的工艺、专利、技术创新、高技术设备和人才等直接技术因素，还包括经济周期、社会文化以及经济、社会制度的变迁等非技术因素。全要素生产率把一个经济系统的全部投入要素综合起来，全面地反映系统的投入、产出总体转换效率，比较客观地反映这一经济系统的宏观综合经济效益，是经济增长质量评估和经济增长源泉分析的重要工具。

一 传统全要素生产率测算方法

一般来说，传统全要素生产率的测算方法大体可分为两大类：参数方法和非参数方法。参数方法需要确定生产函数的具体形式，然后通过对生产余值的相关计算来获得全要素生产率的变化率；非参数方法不需要设定生产函数的具体形式，而是利用多投入和多产出模型直接从投入产出的角度来考虑全要素生产率的变化。参数方法可分为索洛余值法和随机前沿分析方法。索洛余值法不能直接计算出全要素生产率；随机前沿分析方法可以很好地处理度量误差，通过使用面板数据，可以分析观测对象的效率差异以及随时间的变化情况。非参数方法可分为代数指数法和数据包络分析方法。代数指数法无具体的估计模型，计算也较为简便，因而使用比较广泛。数据包络分析法用线性规划技术进行效率的测度，避免了较强的理论约束，是一种较为客观、科学的计量方法。

（一）代数指数法

代数指数法最早由Abramovitz（1956）提出，其基本思想是把全要素生产率表示为产出数量指数与所有投入要素加权指数的比率。

若商品价格为Pt，数量为Qt，则总产出为PtQt。生产中资本投入为Kt，劳动投入为Lt，资本价格即利率为rt，工资率为wt，则总成本为rtKt+wtLt。在完全竞争和规模收益不变的假设下，总产出等于总成本：

考虑技术进步等因素影响，上式往往不成立，可将其改写为：

其中，r0、w0和P0为基年利率、工资和价格。参数TFPt为全要素生产率，反映技术进步等因素对产出的影响。由式（1-2）可得：

式（1-3）就是测算全要素生产率的代数指数公式。

一些学者提出了其他测算全要素生产率的指数方法，如Laspeyres指数法、Paasche指数法、Fisher指数法和Tornqvist指数法等，其中Fisher指数法和Tornqvsti指数法使用最为普遍。Laspey-res指数法和Paasche指数法的函数形式是线性的，计算起来比较容易，而且能把真实的指数限定在经济理论范围之内，所以在实际统计中计算一些指数时用得较多。然而在计算两期之间的全要素生产率增长率时，这两种指数法则存在一些差异。Laspeyres指数法把基期数量作为权重，而Paasche指数法则把当期数量作为权重。这两种方法的权重分别处于两个极端，当相对价格发生变动时，计算结果往往有很大的偏差。

Fisher指数为：

其中，p为产品或要素价格，q为产出或投入要素的数量，s和t分别为基期和现期，将用此法求出的产出和投入的Fisher指数相比即可求得全要素生产率。Fisher指数法实际上是通过计算Laspey-res指数和Paasche指数的几何平均来估算全要素生产率的，所以Fisher指数法是介于Laspeyres指数法和Paasche指数法两者之间的一种方法，其计算结果同样不可避免地会产生很大的偏差。

Tornqvsti指数为个体数量指数的加权几何平均值，而权重则是基期和现期价格的简单算术平均值：

Tornqvsti指数一般写成其对数形式：

若产出为M种，价格和数量分别为p和q，投入要素为N种，价格和数量分别为p′和q′，按照Tornqvist的定义，从第s年到第t年的对数形式的全要素生产率增长率可以由式（1-7）表示：

因此，全要素生产率增长率为：

Tornqvsti指数具有两个重要的作用：一是能够为任意二阶可微分线性齐次的生产函数提供一个二次近似值的估计；二是该指数可通过逆向时间原则来识别比例检验。这些作用使Tornqvsti指数能够在比价发生变化时以滚动权值的形式进行调节，从而能有效消除采用固定权重时出现的偏差。另外，把当前价格作为权重时，Torn-qvist指数法还能够反映出要素质量的改进情况。基于以上作用，Tornqvist指数法一般被认为是指数法中“最优的”。

代数指数法衡量在特定条件（技术、规模）下所有要素投入有机组合的综合生产效率。这种测算方法能够很直观地体现出全要素生产率的内涵，但其主要缺陷之一就是不能把生产率指数进行再分解。此外，它虽然没有明确设定生产函数，但暗含着资本和劳动力之间完全可替代，且边际生产率是固定的，这显然缺乏合理性。所以这种方法更多的是一种概念化方法，并不适于具体的实证分析（Caves, Christensen, and Diewert, 1982）。

（二）索洛余值法

索洛（Solow, 1957）把生产函数和指数方法结合起来，用来研究全要素生产率的增长。其基本思路是估算出总量生产函数后，采用产出增长率扣除各种投入要素增长率后的余值来测算全要素生产率的增长，故也称为“生产函数法”。索洛并没有设定生产函数的具体形式，而是在规模报酬不变、希克斯中性技术假设条件下给出生产函数的一般形式：

其中，Qt为产出，Xt=（x1t, …, xnt）为要素投入向量。At为希克斯中性技术变化系数，这表示技术进步不影响投入要素之间的边际替代率。假设F（·）为一次齐次函数即规模报酬不变。对生产函数两边关于时间t取全微分，两边同除以Qt可得：

其中，，为各投入要素的产出份额。由式（1-10）可以进一步得到：就是所谓的“索洛余值”，即不能被投入增长所解释的剩余的产出增长率，索洛认为它是由于技术进步而产生的。

在具体计算全要素生产率时，函数常采用柯布-道格拉斯生产函数、超越对数生产函数及常替代弹性生产函数等形式。柯布-道格拉斯生产函数为：, Yt为产出，Kt为资本存量，Lt为劳动投入，α、β分别为资本和劳动的投入产出弹性系数。对柯布-道格拉斯生产函数两边同时取自然对数有：

εt为误差项。若规模报酬不变，即α+β=1，则有：

对式（1-13）利用OLS估算，可以求出α、β，然后将其代入全要素生产率增长率计算公式：

这样即可算出全要素生产率增长率。

超越对数生产函数形式为：

其中，αi、βij为相应的参数，在等规模收益及生产函数性质的约束下，参数必须满足：αk+αl= 1、βkk+βkl= 0、βll+βkl= 0、βkt+βlt= 0。

对于离散的数据样本，在超越对数生产函数形式下，全要素生产率的增长率可以表示为相邻两个时间点上的产出增长率减去各投入要素对产出的贡献：

式（1-16）中，V-k、V-l即为相应资本与劳动投入的平均份额，全要素生产率增长率的平均值V-t即可由（1-16）式直接求得。

常替代弹性生产函数（包含两种投入要素）的基本形式为：

式（1-17）中，A表示效率系数；δ为分配系数，0＜δ≤1; ρ为替代系数，-1≤ρ＜∞; μ为反映规模报酬的参数。该生产函数的要素替代弹性为σ= 1/（1 +ρ）。当ρ=0时，常替代弹性生产函数趋近于柯布-道格拉斯生产函数形式，即Y=AKδL1-δ。常替代弹性生产函数取对数，并在ρ=0处进行泰勒级数展开，取关于ρ的线性部分可得：

这即为假定βkk=βll= -βkl，且不含时间参数的超越对数生产函数，可用计量经济学方法估计出各参数。对上式取微分，可得全要素生产率增长率的表达式：

索洛首先进行了经济增长源泉的分析，这是对新古典增长理论的一个重要贡献，但该方法也存在以下一些缺陷。第一，在分析时设定了生产函数的具体形式，生产函数的合理性影响全要素生产率测算的准确性；第二，仅能得到全要素生产率增长率，掩盖了其他信息；第三，此方法不能分解出全要素生产率增长的技术进步成分和效率变化成分，忽视无效率的存在；第四，利用资本存量代替资本服务，忽视了新旧资本设备生产效率的差异以及能力实现的影响；第五，用残差来度量全要素生产率，无法剔除测算误差的影响。

（三）数据包络分析法

索洛余值法在估算全要素生产率时，包含一个重要的假设，即资源得到充分利用，所有的生产者都能实现最优的生产效率，从而将产出增长中要素投入贡献以外的部分全部归结为技术进步的结果，这样全要素生产率的增长就等于技术进步率。这种假设不太符合现实情况，而且两种方法都忽略了全要素生产率增长的一个重要组成部分——能力实现改善即技术效率提升的影响。基于这种考虑，Aigner和Chu（1968）提出了前沿生产函数法（Frontier Pro-duction Function），其基本思路遵循Farrell（1957）的思想，将经济增长归为要素投入增长和生产者效率（全要素生产率）提升两个方面。而生产者效率又可以分解为技术前沿或技术进步和技术效率两个部分，前者刻画所有生产者投入-产出函数的边界，后者描述个别生产者实际技术与技术前沿的差距。用这种方法测算全要素生产率的关键在于前沿生产函数的估算以及观测值到生产前沿距离的度量。依据前沿生产函数和距离函数估算方法的不同，前沿生产函数法可以分为两类：一是非参数数据包络分析法，二是参数随机前沿分析法。

数据包络分析法是一种数据驱使（Data-Driven）方法，依靠投入产出的数据挖掘出两大信息：技术前沿和相对于参照技术的效率评价，它的概念最初由Farrell（1957）提出，其基本思想是用“最小的”或“匹配最紧密”的凸面球壳包络投入产出数据集，所得到的数据集合的边界就代表“最佳实践”的技术前沿。利用数据包络分析方法测算全要素生产率的关键在于估算距离函数，因为距离函数不仅可以描述多产出-多要素投入的生产前沿技术，也可以对不同生产者、不同时期生产活动的生产效率进行比较评价。距离函数分为产出型和投入型距离函数。产出型距离函数衡量了给定投入下实际产出向量相对于所参照的技术前沿能够扩张的最大比例。按照Shephard（1970）的思想，相对于参照技术St，生产者在t时期的产出型距离函数为：

产出距离函数定义了在给定投入xt、产出向量yt在技术St范围内能够扩张的最大比例的倒数。Dto（xt, yt）≤1当且仅当（xt, yt）∈St, Dto（xt, yt）= 1当且仅当（xt, yt）为技术前沿上的点，这意味着生产技术效率为100%，即在给定投入的情况下产出达到最大。

Färe et al.（1994）在CCD理论研究的基础上，采用非参数线性规划方法测算距离函数。下面就用这种方法求解四个与生产率变化有关的产出型距离函数值：Dto（xt, yt）, （xt, yt）, （xt+1, yt+1）, （xt+1, yt+1）。在固定规模报酬的技术St下，生产者（xt, yt）在t期的产出型距离函数为：

其他距离函数的计算方法是一样的，只是需要变换一下时间。

在估算出距离函数后，便可以求出全要素生产率增长率。目前，比较流行的度量方法为Malmquist指数法。Malmquist指数最早由Malmquist当作一种消费指数提出，Caves等（1982）将其应用到生产率变化的度量。t到t+1期间全要素生产率增长的Malmquist指数为：

当Malmquist指数大于1时，意味着全要素生产率增长为正，反之则意味着全要素生产率增长为负。

可进一步将Malmquist指数分解为：

其中，第一项TE为t+1期的效率变化指数，第二项TP为t+1期的技术进步率指数。若TE和TP大于1，表示效率和技术都得到改善，反之则表示技术和效率出现恶化。

数据包络分析法是一种应用非常广泛的非参数方法，这种方法直接利用线性规划给出边界生产函数与距离函数的估算，不需要设定生产者最优行为目标，也不需要对生产函数的形式和分布做出假设，从而了避免较强的理论约束。但该方法也有一个明显的缺陷，即数据包络分析法经常不允许随机误差的存在，而随机误差一般是在测度中形成的。在数据包络分析法中，任何随机误差都被认为是效率的不同，这显然会影响其测算的准确性。

（四）随机前沿分析法

数据包络分析法可将生产者的全要素生产率分解为前沿技术和技术效率，从而能够进一步分析生产率的变化和经济增长的源泉。但是，人们对生产者行为的实际观测受到随机误差扰动，而且个别生产者与最优生产率的差距也会受到各种随机因素的影响。基于这一考虑，Aigner、Lovell和Schmidt（1977）以及Meeusen和Boreck（1977）在确定性前沿模型基础上引入随机扰动项，分别提出随机前沿方法，将实际生产面与前沿生产面的偏离分解为两项，一项是随机误差项，另一项是技术无效率项。随着随机前沿分析法的广泛应用，许多学者又对该模型进行了改进和完善。Jondrow et al.（1982）首次应用了实际生产面与前沿生产面偏离的分离技术。Battese和Coelli（1988）对Jondrow的工作做了进一步拓展，使其可以适用于面板数据，改变了随机前沿方法仅适用于跨界面数据的状况，但其仍然假设无效率项是不随时间变化的。后来，Comwell、Schmidt和Sickles（1990）, Kumbhakar（1990）, Battese和Coelli（1992）等学者又将随机前沿分析法发展为允许无效率项随时间变化的模型。无效率项的分布可以服从均值不为零的正态分布，从而使随机前沿分析法更接近于生产与经济增长的实际情况。就生产函数形式的选择而言，早期的随机前沿分析法多采用柯布-道格拉斯生产函数。这种模型处理起来较为简便，但其要素产出弹性固定不变的假设与实际生产情况不符。当前研究中较多地采用超越对数生产函数形式，该函数中要素产出弹性是可变的且可以作为任何生产函数的近似，具有广泛的适用性。此外，Färe、Primont（1995）和Kumbhakar（1996）分别提出成本函数随机前沿模型和利润函数随机前沿模型来代替生产函数模型，克服了生产函数模型难以处理多产出生产者行为以及相关数据获得困难的缺陷，使随机前沿方法得到更为广泛的应用。

目前应用较为广泛的随机前沿模型是Battese和Coelli（1995）提出的，其定义的生产函数形式如下：

其中，yit表示产出，xit表示投入向量，t是时间趋势，代表技术进步，β为待估计的参数向量。式（1-25）中误差项由两个独立部分组成：vit为随机误差项，vit～N（0, ）; uit为代表技术非效率的非负随机变量，uit～N（mit, ），其中mit=zitδ, zit表示一组影响经济体效率的变量，δ为这些变量的待估参数，通过最大似然法估计得出。

第i个经济体在第t年的技术效率定义为TEit= E（exp（-uit）|eit），因此从t0到t1的效率变化可通过下式计算：

两个时期的技术进步指数可通过式（1-25）对时间趋势t的估计参数计算出来。由于技术进步不是中性时，技术进步指数会随投入向量的不同而改变，因此可采用两个时期的技术进步的几何平均值：

在计算出技术效率和技术进步率后，就可以通过相乘得出全要素生产率增长率。

相比数据包络分析法而言，随机前沿分析法的优点在于它允许随机误差的存在，同时考虑了无效率项和随机扰动，并将其作为实际生产没有处于前沿生产面的原因，这比较符合现实情况。但是随机前沿分析法也存在一定的缺陷，如事先设定一定形式的前沿函数和无效率项分布，这些设定的合理性值得考虑。

二 传统经济增长源泉分解方法：四重分解法

在测算出全要素生产率之后，则可以此为基础进行经济增长源泉的多重分解，通常采用如下方法。

若产出为Y，投入为物质资本K、劳动力L和人力资本h三种，有效劳动为H=h×L，则=Y/H和=K/H分别表示有效劳均产出和有效劳均资本。若0时期和1时期的劳均产出分别为y0和y1，则有：

由于ch可知，所以需要对有效劳均产出比做进一步分解。

通过线性规划求解可得出四个距离函数：

其中，式（1-29）和式（1-30）分别为0期和1期的效率指数，其投入和技术处于相同时期；而式（1-31）和式（1-32）的投入和技术则处于不同时期。由图1-1可知，有效劳均产出比可进一步分解为技术效率和潜在有效劳均产出之积：

潜在有效劳均产出比又可以分解为技术进步和物质资本积累之积，即：

ct度量的是图1-1中从B1点到C1点和B0点到C0点的几何平均数，即在既定的资本存量条件下，技术进步带来的经济增长。ck度量的是从B0点到B1点和从C0点到C1点的几何平均数，即技术既定时，资本存量增加带来的经济增长。

这样，我们可以把两个时期的有效劳均产出比分解为：

其中ch、ce、ct和ck分别为人力资本、技术效率、技术进步和物质资本积累变化对劳均产出的影响。