古希腊时代：毕氏定理与欧几里得

我们务必记住，不论我们在几何学上做出了什么，或是推动它朝哪个方向发展，这一切都不是全新开始的。我们总是援引前人的成果，不论它是猜想（即尚未得到证明的假设）、证明、定理或公设，都往往建立在数千年前奠立的基础上。在这个意义上，几何和其他科学一样，就像是精密的建筑工程。首先要打地基，如果施工正确，比方说，建造在坚固的岩石上，基础和地上建筑物就能稳固持久（只要它们也遵守坚实的规范施工的话）。而这基本上就是几何——我所选择的志向——的美感与力量之所在。当谈到数学时，我们总是预期“完全为真”的叙述，预期数学定理能成为永恒真理的精确叙述，其正确性不受空间、时间、群众观感和权威的影响。此一性质将它与其他经验式的科学区隔开来；在经验科学里，你得做实验，如果某项结果看起来不错，测试一段时间后没问题，你就接受其为真。但结论永远都有改变的可能，你永远无法期望一项发现是百分之百为真，永远不会改变的。

当然，我们经常会发现更广、更佳版本的数学定理，但这并不否定原来的定理。继续以建筑为比喻，如果建筑物的基础是稳固的，当我们进行增建和整修时，并不会去动到基础。有时我们所做的会超过整修的幅度，甚至或许会“打掉”隔间，重新规划内部格局。而即使旧定理仍然为真，我们会需要全新的发展，需要新的建材，以创造我们企图达到的全盘新貌。

最重要的定理通常会一次又一次被各种方式验证，基本上不可能有错。然而较冷门的定理，由于未受到如此仔细的验证，可能藏有问题。当发现错误时，建筑物的某个房间，甚至某个厢翼，或许需要拆掉重建。然而在此同时，这栋坚固的宅邸既已长期经受时间的考验，所以其他部分并不会受影响。

毕达哥拉斯是几何学领域的建筑大师，相传出自于他的那条公式是数学中建造得最坚固的宅邸之一，就是如今称为毕氏定理的式子，它说明直角三角形斜边长的平方等于两股的平方和。或者如同以前和现在的学生都记得的：a2+b2=c2。这是一条简单但威力强大的叙述，它在当代的重要性令人惊讶的程度仍不逊于约2500年以前的初创之时。毕氏定理的应用并不仅限于中学数学。其实，我差不多仍天天用到毕氏定理，由于浸淫已久，使用时完全不假思索。

在我看来，毕氏定理是几何学最重要的叙述。它不但在计算二维平面的习题作业或是中学课堂上的三维题目时是解题关键，且对于高深的高维数学，如计算卡拉比—丘空间中的距离，或是解爱因斯坦的运动方程式，也同等重要。毕氏定理的重要性源自于，我们可以用它算出在任何维度空间里，任意两点之间的距离。而且，正如我在本章一开始说的，几何和距离有密切的关系，这就是为什么毕氏定理几乎在一切几何问题里都是核心角色。

图2.1 毕氏定理通常用于描述二维平面上直角三角形的边长关系。但正如本图所示，毕氏定理同样可用于三维（a2+b2+c2=d2），甚至更高的维度

非但如此，我还觉得毕氏定理美丽绝伦——尽管我承认，美丽与否因人而异。我们倾向喜爱我们知道的东西，因为对它熟悉，感到自在，所以就像每天的日升日落一般被视为理所当然。再就是它言简意赅，只是三个字母的二次方，a2+b2=c2，简洁得犹如其他一些知名定律，如F=ma和E=mc2。对我而言，美感源于这条简单陈述如此怡然地身处在大自然之中所显现出来的优雅。

毕氏定理无疑是几何学的基石；但除了定理本身，同等重要的是它被“证明为真”的事实，而且应该是数学中第一个见诸记载的证明。早在毕达哥拉斯出生之前，埃及和巴比伦的数学家便已经使用直角三角形的三边关系，但是他们都不曾“证明”这个想法，而且似乎也不曾考虑过要去证明这种抽象概念。根据数学家贝尔（E. T. Bell）的说法，这才是毕达哥拉斯最伟大的贡献：

在他之前，几何大致只是一些经验法则的汇集，规则之间并没有清楚表明任何其中的相互关联。现在大家已理所当然把证明视为是数学的核心精神所在，我们很难想象在数学推理出现前必然会经历的原始状态。[2]

或许毕达哥拉斯确实给出过证明，但你也许已注意到，我说的是定理“相传”出自于他，仿佛对定理的著作权有所怀疑。确实如此。毕达哥拉斯是一个教派领袖般的人物，许多追随他的数学爱好者（称为毕氏学派）的贡献，后来都被归到他的名下。所以毕氏定理的证明也有可能是出自在他之后一两代的传人。真相我们大概永远不能确知：毕达哥拉斯活在公元前6世纪，几乎没有留下多少书面记录（甚至可说完全没有）。

幸运的是，欧几里得的情形很不一样。欧几里得是史上最知名的几何学家之一，几何之所以能成为一门精确、严格的学术领域，多半得归功于他。欧几里得迥异于毕达哥拉斯，身后留下了大量文献，其中最杰出的是约成书于公元前300年的《原本》。这是一部十三卷的著作，其中八卷专论平面和立体几何。《原本》被誉为有史以来最具影响力的教科书之一，“一部优美的著作，其影响力堪与圣经比拟。”物理学家兼编剧家曼罗迪诺（Leonard Mlodinow）在《欧几里得之窗》（Euclid's Window）一书中如此形容。[3]

欧几里得在这部巨著里所奠立的，不只是几何学，而是一切数学的基础，它严格遵守了一种现今称为欧几里得式的推理方法：以明确定义的词汇和一组明白陈述的“公设”（英文是axiom或postulate，这两个词是同义的）为起点，然后运用清楚的逻辑来证明一条条定理，接着再用这些定理来证明其他命题。欧几里得以此方法，总共证明了四百多条定理，基本上囊括了当时所有的几何知识。

斯坦福大学数学家奥瑟曼（Robert Osserman）如此解释欧几里得方法的永恒魅力：“最重要的是确定感。在一个充满非理性信仰和无稽臆测的世界里，《原本》里的陈述一一被丝毫无疑地证明为真。”米莱（Edna St. Vincent Millay）在她的诗作（只有欧几里得见过赤裸之美）（Euclid Alone Has Looked on Beauty Bare）也表达了类似的欣赏。[4]