卡鲁札的五维时空

爱因斯坦的理论要用到10个数字（亦即10个“场”）来准确描述引力在四维时空中的运作。最简洁的表示法是把这10个数排列成一个4 × 4的矩阵，术语称之为“度规张量”（metric tensor）。这张正方形的数字表，你可以把它看成高维度的尺规。在此，度规张量本来共有16个分量，但因为对称性的原因，只有10个是独立的（其中矩阵对角线上有4个分量，对角线两侧各有6个分量，但是沿对角线对称的分量必须相等）。有6个数重复是因为引力和其他基本作用力一样，本质上是对称的。

在他的论文里，卡鲁札基本上采纳了爱因斯坦的广义相对论，并再加入一个维度，将4×4的矩阵扩充为5×5。借由把时空扩充到第五维，卡鲁札可以把当时已知的两种作用力——引力和电磁力——结合成单一而统一的作用力。对于身处于卡鲁札所构想的五维世界的观察者而言，这两种力其实是同一个作用力，这正是我们称之为“统一”的原因。但在四维空间里，这两种作用力无法合在一起，它们看起来像是完全独立的。你可以说，造成这情形的原因只是因为我们不能把这两种力放进同一个4×4矩阵里。然而，多加入的一个维度给予它们充分的余裕，得以并存在同一个矩阵中，因而成为一个包容更广的作用力的一部分。

这么说或许会惹来非议，但我相信，针对一直以低维架构来观察的现象，只有数学家能果敢地借由高维空间来提供特殊的洞察力。我会这么说，是因为数学家总是在处理更多的维度。我们对这个观念习惯得可以不假思索，甚至可以在睡梦中操作这些多出来的维度，丝毫不受干扰。

然而，即使我认为唯有数学家才能达成这种突破，但在卡鲁札这个特别的例子里，这位数学家的工作却是以物理学家的研究，也就是爱因斯坦的成果为基础。（不过接下来，另一位物理学家克莱因的研究，则又建立在数学家卡鲁札的基础上，这段发展下面很快会交代。）这就是为什么我喜欢处身在数学和物理这两个领域的交界地带，因为在此会获得许多有趣的相互启发。我从20世纪70年代就在这片肥沃的区域徜徉，也因此获益于许多引人注目的发展。

再回到卡鲁札极具启发性的想法。有个令当时的人困惑的问题，迄今依然存在，这问题无疑是卡鲁札努力想解决的：如果真的有第五维，一个我们熟悉的四维世界上任何一点都可以在其上移动的全新方向，为什么从来没人察觉到呢？

最显然的解释是，这个维度极其微小。但它会在哪儿呢？一个体会第五维的方法，是把我们的四维宇宙假想成一条无止境往两端延伸的直线。在此的想法是，三个空间维度要不是极其广阔，就是无限庞大。我们同样也假定时间可以对应到一条无穷的直线（这或许是可以质疑的假定）。不管怎样，这条假想的线上的每一点P实际上代表了四维时空上的特定一点（x, y, z, t）。

在几何学里，直线通常只有长度，没有宽度。但在此，我们容许用倍数很高的放大镜观察这条线时，可能有点宽度。如此一来，我们的直线并不真的只是条线而已，反而像是极其纤细的圆柱，或者借用最常用的比喻，像是一条“橡皮水管”。现在，如果我们把水管在P点切开，其剖面会是一个很小的圆圈，也就是一条一维曲线。因此这个圆圈表示了额外的第五维，而且可以被想成是“系附”在四维时空的每一点上。

具有这种特征（卷曲成一个小圆）的空间，正如之前提到过的，术语称之为紧致的。“紧致”一词可以有很直觉的定义，物理学家有时会说“紧致的物体或空间就是可以塞进汽车行李箱里的东西”。但它也有更精确的定义：如果你沿着任一方向走得够久，就一定可以回到出发点或出发点附近。卡鲁札的五维时空同时包括了扩张的（无穷的）和紧致的（有限的）维度。但如果这幅景象是正确的，我们为何没发觉自己在这第五维度里转圈圈呢？瑞典物理学家克莱因（Oskar Klein）继续发展卡鲁札的想法，在1926年给出了答案。克莱因援引量子理论，实际去计算紧致维度的大小，得到了一个确实很小的数值：圆周长大约是10-30厘米，接近所谓的“普朗克长度”，差不多是长度的最小极限了。[6]克莱因说，这就是第五维如何可以既存在，又永远不被观测到的原因了。我们没有任何可预见的方法来看到这个微小的维度，也无法探测到其中的运动。这个精彩的理论现在称为卡鲁札—克莱因理论，它指出用额外维度解答大自然奥秘的潜力。爱因斯坦思索卡鲁札的原创论文两年有余，然后回信说他“无比”喜爱这个想法。[7]事实上，他喜爱到在其后的二十年内，间断地循着卡鲁札—克莱因的思路进行探索（有时是和物理学家柏格曼[Peter Bergmann]合作研究）。

图1.5 将我们无穷的四维时空化成一条往两头无尽延伸的直线。依照定义，线是没有粗细的。但是如果依照卡鲁札—克莱因的想法，用高倍率放大镜去检视这条线时，可能终究会发现这条线有粗细，也就是事实上存在有额外维度的空间，其大小则是隐藏圆的直径

但是卡鲁札—克莱因理论最终还是被放弃了。原因之一是它预测了一种从未被发现的粒子；另一个原因是根据此理论所计算出来的电子质量对电荷比，与实际数值误差很大。不仅如此，因为当时还不知道强、弱作用力（对这两种力的较佳解释还得等到20世纪后半期），卡鲁札、克莱因以及踵继其后的爱因斯坦，所试图统一的只有电磁力和引力。所以他们企图统一所有作用力的努力注定要失败，因为他们所拿到的那副牌，缺少了好几张重要的王牌。但或许卡鲁札—克莱因理论被弃之不顾的最大原因是时机，它被引入的时间，正是量子革命开始巩固地位之时。简单地说，卡鲁札和克莱因把几何学放在他们的物理模型的核心位置，而量子论则不仅不是一门几何取向的理论，而且还与传统几何学直接冲突（详见第14章）。当量子论在20世纪以波澜壮阔之势横扫物理学界，接着进入惊人的多产期时，新维度的想法要过了将近五十年后，才重新被认真考虑。