§3-4 曲面立体表面的交线
一、截交线
1．截交线的画法
当平面与回转体相交时，所得的截交线是闭合的平面图形，截交线的形状取决于回转面的形状和截平面与回转面轴线的相对位置。一般为平面曲线，有时为曲线与直线围成的平面图形、椭圆、三角形、矩形等，但当截平面与回转面的轴线垂直时，任何回转面的截交线都是圆。求回转面截交线投影的一般步骤是：
（1）分析截平面与回转体的相对位置，从而了解截交线的形状。
（2）分析截平面与投影面的相对位置，以便充分利用投影特性，如积聚性、实形性。
（3）当截交线的形状为非圆曲线时，应求出一系列共有点。先求出特殊点（大多数在回转体的转向轮廓线上），再求一般点，对回转体表面上的一般点则采用辅助线的方法求得，然后光滑连接共有点，求得截交线投影。
2．圆柱的截交线
根据平面对圆柱轴线的位置不同，其截交线有三种情形：圆、椭圆、矩形。
注意：作图时，应特别留意轮廓线的投影；当截交线的投影为直线或圆时，可直接作图；当截交线为平面曲线时应先作出所有特殊点的投影，再作出一定数量的一般点的投影，最后光滑连线并判断可见性，可见的线画成粗实线，不可见的线画成虚线（图3-12）。
图3-12
在这其中，应以圆柱截切产生圆和矩形为主，熟悉求取直线的位置和长度的方法。
1）截交线为一般平面曲线的作图
作图步骤如图3-13所示。
图3-13 圆柱截切为椭圆
（1）作特殊点以正面投影图上各转向轮廓线上的a＇, b＇, c＇,（d＇）为特殊点，由A、B、C、D四点的正面投影和水平投影可作出它们的侧面投影a″, b″, c″, d″，并且其中点A是最高点，点B是最低点。根据对圆柱截交线椭圆的长、短轴分析，可以看出垂直于正面的椭圆直径CD等于圆柱直径，是短轴，而与它垂直的直径AB是椭圆的长轴，长、短轴的侧面投影a″b″, c″d″仍应互相垂直。
（2）作一般点在主视图上取f＇（e＇）, h＇（g＇）点，其水平投影，f、e、h、g在圆柱面积聚性的投影上。因此，可求出侧面投影f″, e″, h″, g″。一般取点的多少可根据作图准确程度的要求而定。
（3）依次光滑连接a″, e″, d″, g″, b″, h″, c″, f″, a″即得截交线的侧面投影。
2）截交线为直线和圆的作图（主要是切口圆柱）
参见教材图3-21。
图3-21 复合体表面综合相交
3．圆锥的截交线
根据截平面对圆锥轴线的位置不同，其截交线有五种情形：圆、椭圆、抛物线（截平面平行任一素线）、双曲线（截平面平行轴线）及两相交直线（截平面过锥顶）。
作图步骤：求特殊点；求一般点；判别可见性；连线；整理外形轮廓线（图3-14）。
图3-14 圆锥截切为双曲线
4．圆球的截交线
平面与球的截交线均为圆。当截平面平行投影面时，截交线在该投影面上的投影反映真实大小的圆，而另两投影则分别积聚成直线（图3-15）。
图3-15 平面与球相交交线均为圆
以带槽的圆球为例（图3-16）：
图3-16 带槽圆球的投影
5．复合回转体表面的截交线
为了正确地画出复合回转体表面的截交线，首先要进行形体分析，弄清是由哪些基本体组成，平面截切了哪些立体，是如何截切的。然后逐个作出每个立体上所产生的截交线（图3-17）。
图3-17 复合回转体的截交线
二、相贯线
图3-18 相贯线的概念
两回转体相交，表面产生的交线称为相贯线，如图3-18。当两回转体相交时，相贯线的形状取决于回转体的形状、大小以及轴线的相对位置。相贯线的性质：
（1）相贯线是两立体表面的共有线，是两立体表面共有点的集合。
（2）相贯线是两相交立体表面的分界线。
（3）一般情况下相贯线是封闭的空间曲线，特殊情况下可以是平面曲线或直线段。
根据上述性质可知，求相贯线就是求两回转体表面的共有点，将这些点光滑地连接起来，即得相贯线。求相贯线常用方法：
（1）利用面上取点的方法求相贯线。
（2）用辅助平面法求相贯线，它是利用三面共点原理求出共有点。
本节只介绍利用面上取点的方法求相贯线。当相交的两回转体中，只要有一个是圆柱且其轴线垂直于某投影面时，圆柱面在这个投影面上的投影具有积聚性，因此相贯线在这个投影面上的投影就是已知的。这时，根据相贯线共有线的性质，利用面上取点的方法按以下作图步骤可求得相贯线的其余投影：
（1）首先分析圆柱面的轴线与投影面的垂直情况，找出圆柱面积聚性投影。
（2）作特殊点：特殊点一般是相贯线上处于极端位置的点，为最高点、最低点、最前、最后点，最左、最右点，这些点通常是曲面转向轮廓线上的点，求出相贯线上特殊点，便于确定相贯线的范围和变化趋势。
（3）作一般点，为准确作图，需要在特殊点之间插入若干一般点。
（4）光滑连接：只有相邻两素线上的点才能相连，连接要光滑，注意轮廓线要到位。
（5）判别可见性：相贯线只有同时位于两个回转体的可见表面上时，其投影才是可见的。
1．两圆柱相贯
当两圆柱相贯时，两圆柱面的直径大小变化时对相贯线空间形状和投影形状变化的影响。这里要特别指出的是，当轴线相交的两圆柱面公切于一个球面时两圆柱面直径相等，相贯线是平面曲线——椭圆，且椭圆所在的平面垂直于两条轴线所决定的平面（图3-19）。
图3-19 两圆柱面相交的三种基本形式
（a）两外表面相交；（b）外表面与内表面相交；（c）两内表面相交
2．相贯线的特殊情况
1）当相交两回转体具有公共轴线时，相贯线为圆，在与轴线平行的投影面上相贯线的投影为一直线段，在与轴线垂直的投影面上的投影为圆的实形。
2）当圆柱与圆柱相交时，若两圆柱轴线平行其相贯线为直线。如图3-20所示。
图3-20 相贯的特殊情况
三、截交，相贯综合举例
有些形体的表面交线比较复杂，有时既有相贯线，又有截交线。画这种形体的视图时，必须注意形体分析，找出存在相交关系的表面，应用前面有关截交线和相贯线的作图知识，逐一作出各条交线的投影。
以图3-21中所示物体为例介绍：