1.6 控制系统的数学模型测定
控制系统数学模型的建立与实验数据建模区别较大，控制系统建模侧重于观察系统输入与输出的动态关系，所建立的模型仅为输入输出模型，其优点是从外部特性上描述被控对象的特性，可以不清楚其内部机理。
1.6.1 控制系统数学模型的测定方法
（1）时域测定法
时域测定法主要是对被测对象的输入端施加阶跃扰动信号，同时观察其输出端的输出量随时间变化的响应曲线；或者施加脉冲输入信号，获得输出端脉冲响应曲线，从而确定被控对象的传递函数；时域法操作简单，工作量小，但其测试精度不高。
（2）频域测定法
频域测定法是对被控对象输入端施加不同频率正弦波，测出输入与输出之间的幅值比和相位差，从而获得被控对象的频率特性；该测试方法的测试精度高于时域法的，但工作量较大。
（3）统计法
统计法是对被控对象的输入端施加某种随机信号，观察在这些信号下被控对象输出特性的变化，从而获得被控对象的动态特性；该方法的测试精度高，但需要采集大量数据。
为了使测定结果更加准确真实，在进行模型测定时需注意以下几点：
①施加扰动前，将被控对象调整到所需工况并稳定运行一段时间；
②扰动量取额定值的8%～10%；
③实验应进行到被控参数接近其稳态值；
④应进行反向实验以检验被控对象的非线性特征。
1.6.2 被控对象常用数学模型
在了解被控对象之前，需先了解两个控制模型中的名词：惯性和纯滞后。
惯性：当对被控量进行调节时，被控量实测数值变化的快慢。如选厂中的磨机浓度控制，当增减给水量时，由于矿浆的运动特性及磨机内部容积等因素的影响，磨矿浓度并不会发生突变，而是缓慢变化，类似的参数还有温度、压力等。
纯滞后：由传送皮带或者管道输送所引起的控制作用的滞后。仍然以磨机浓度调节为例，当增减磨机给矿量时，需要改变矿仓给矿口的大小，而在皮带转速不变的情况下，将增量后的矿石送至磨机需要一段时间t，在这段时间内磨机的浓度是没有发生任何变化的，因此这段时间称为纯滞后时间。
选厂中几乎所有的被控对象均具备大惯性和纯滞后的特性。
对工业系统而言，典型传递函数有如下几种形式：
有延迟的一阶惯性环节
有延迟的二阶惯性环节
有延迟的n阶惯性环节
可用一阶微分方程描述的环节称为一阶环节，以单容水槽液位控制为例，如图1-10所示。
图1-10 单容水槽
1—控制阀门；2—贮水槽；3—负载阀
水流入量Qi由调节阀开度u加以控制，流出量Q0则由用户根据需要通过负载阀来改变。被调量为水位h，它反映水的流入与流出之间的平衡关系。
令Qi表示输入水流量的稳态值，ΔQi表示输入水流量的增量，Q0表示输出水流量的稳态值，ΔQ0表示输出水流量的增量，h表示液位高度，h0表示液位的稳态值，Δh表示液位的增量，u表示调节阀的开度。
设A为液槽横截面积，R为流出端负载阀门的阻力，即液阻。根据物料平衡关系，在正常工作状态下，初始时刻处于平衡状态：Q0=Qi，h=h0，当调节阀开度发生变化Δu时，液位随之发生变化。在流出端负载阀开度不变的情况下，液位的变化将使流出量改变。
流入量与流出量之差为ΔQi-ΔQ0=
式中，V为水槽容积；ΔQi由阀门开度变化Δu引起，当阀门前后压差不变时有：
流出量与液位高度的关系为
在平衡点对其进行线性化处理可得到液阻的表达式：
综合上述方程可得：
式中，Δu表示阀门的开度变化量；K=Ku R，T=RA，Ku为阀门的流量系数；A为水槽横截面积；R为流出端负载阀门的阻力，即液阻。
进行拉普拉斯变换可得传递函数：
（1-7）
若控制阀门1距贮水槽2有一段较长的距离，则调节阀开度变化所引起的流入量变化ΔQi，需要经过一段传输时间τ才能对水槽液位产生影响，其中τ通常称为纯延迟时间。
根据水槽流量与液位的动态关系可以得到方程：
拉普拉斯变化可得传递函数：
（1-8）
相比公式（1-7）而言，有纯滞后环节的水槽传递函数多了一个延迟因子e-τs，上述传递函数则为一阶传递函数。
以双容水槽为例进行二阶系统的分析，如图1-11所示。
图1-11 双容水槽
与单容水槽的分析方法类似，在水流量、水槽液位变化量及液阻之间可导出如下微分方程：
（1-9）
（1-10）
（1-11）
（1-12）
式中，C1和C2为两液槽的容量系数；R1和R2为两液槽的液阻。
将式（1-10）和式（1-12）代入式（1-11）得：
（1-13）
将式（1-10）代入式（1-11）得：
因此：
将上式代入式（1-13）得：
式中，T1=R1 C1为第一个水槽的时间常数；T2=R2 C2为第二个水槽的时间常数；K为双容水槽的传递系数。
在零初始条件下，对上式进行拉氏变换，得双容水槽的传递函数
若双容水槽调节阀1开度变化所引起的流入水量变化还存在纯延迟，则其传递函数不难导出为：
大多数二阶及高阶环节可以简化为一阶环节进行处理。