任务二 点的投影

一、点的投影特性及三面投影

（一）点的投影特性

点无形状，但具有空间位置，在任何情况下，点的投影仍然为点。

（二）点的三面投影

点的三面投影是将空间点分别向三投影面垂直做投射线，交在投影平面上的垂足即为点在该投影面上的投影。

空间点及其投影图形绘制与标记规定分别为：

点的直观图用略大于直径为轮廓图线宽度的实心圆绘制，点的投影图用直径为轮廓图线宽度的实心圆绘制；

空间点用大写字母A、B、C…表示，V面投影用相应的小写字母a′、b′、c′…表示，H面投影用相应的a、b、c…表示，W面投影用相应的a″、b″、c″…表示。

如图3-8所示，空间点A对应的三面投影分别为：a（H面）、a′（V面）和a″（W面）。

二、点的三面投影规律

（一）点的空间几何位置与三面投影图之间的对应关系

由图3-8不难看出，过点A的三面投影a′、b′和c′分别向投影轴X、Y、Z作垂线可得三垂足ax、ay、az，点的空间几何位置与三面投影图之间的对应关系是：

空间点A到W面的距离，等于点A的x坐标，即aay=Oax=a′az=Aa″=x；

空间点A到V面的距离，等于点A的y坐标，即aax=Oay=a″az=Aa′=y；

空间点A到H面的距离，等于点A的z坐标，即a″ay=Oaz=a′ax=Aa=z；

空间点到三个投影面的距离可以用直角坐标来表示，即A（x、y、z）。

由此可见，若已知点的直角坐标，就可作出点的三面投影。而点的任何一面投影都反映了点的两个坐标，点的两面投影即可反映点的三个坐标，也就是确定了点的空间位置。因此，若已知点的任意两个投影，就可作出点的第三面投影。

（二）点的三面投影规律

由图3-8中可以看出，由于Aa⊥H、Aa′⊥V，而H与V相交于X轴，因此X轴必定垂直于平面Aaaxa′，也就是aax和a′ax同时垂直于OX轴。当H面绕OX轴旋转至与V面成为同一平面时，在投影图上a、ax、a′三点共线，即aa′⊥OX轴。同理，a′a″⊥OZ，aax=OaY=a″aZ。

由以上分析可归纳出点的投影规律是：

点A的V面投影和H面投影的连线垂直于OX轴，即aa′⊥OX；

点A的V面投影和W面投影的连线垂直于OZ轴，即a′a″⊥OZ；

点A的H面投影a到OX轴的距离等于点A的W面投影a″到OZ轴的距离，即aax=a″aZ=OaY。作图时可以用圆弧或45°线反映它们的对应关系。

（三）点的三面投影作图举例

[例3-1]已知点A（20、15、24），求作点A的三面投影图。

解：作图步骤如下，如图3-9所示。

（1）自原点O沿OX轴向左量取x=20，得点ax。

（2）过ax作OX轴的垂线，在垂线上自ax向上量取z=24，得点A的正面投影a′，自ax向下量取y=15，得点A的水平投影a。

（3）过a′作OZ轴的垂线，得交点az。过az在垂线上沿OYW方向量取aza″=10，定出a″。也可以过O向右下方作45°辅助线，并过a作OYH垂线与45°线相交，然后再由此交点作OYW轴的垂线，与过a′点且垂直于OZ轴的投影线相交，交点即为a″。

三、特殊位置点的投影

位于投影面和投影轴上的点称为特殊位置的点。特殊位置的点具有下述特性。

（一）投影面上的点有一个坐标为零

点在该投影面上的投影与该点重合，在相邻投影面上的投影分别落在相应的投影轴上。画图时应注意：H面上点在W面上的投影应画在W面的OYW轴上，而不能画在H面的OYH轴上。

（二）投影轴上的点有两个坐标为零

在包含这条轴的两个投影面上的投影都与该点重合，而在第三个投影面上的投影则与坐标原点O重合。

四、两点的相对位置

空间两点的相对位置由两点的坐标差值来确定：两点的x坐标差值确定左右位置关系；两点的y坐标差值确定前后位置关系；两点的z坐标差值确定上下位置关系。

在投影图中，两点的相对位置，可根据其投影及反映的坐标判断出其相对位置。

如图3-10所示，由于xA＞xB，所以A点在左，B点在右；由于yA>yB，所以A点在前，B点在后；由于zA>zB，所以A点在上，B点在下。也就是说，A点在B点的左前上方。

五、重影点与可见性

当空间两点处于某一投影面的同一条投射线上时，这两点对该投影面的投影重合为一点，这两点称为该投影面的一对重影点。A、B两点对V面的投影重合，因此是V面的一对重影点，如图3-11所示。

重影点有可见性问题，判别的原则是：两点之中，对重合投影所在的投影面的距离（或坐标值）较大的点是可见的，而另一点是不可见的。标记时，应将不可见的点的投影用括弧括起来，如图3-11中（a′）。