1.5 MATLAB在系统数学模型变换中的应用
本节主要介绍基于MATLAB的线性定常系统（LTI）建模分析的常用命令函数。
1.5.1 系统的模型
1.传递函数模型
设单输入单输出（SISO）连续系统的传递函数为
在MATLAB中，可用传递函数分子、分母多项式按s的降幂系数排列的行向量，即
num=[b1，b2，…，bn-1，bn]
den=[a0，a1，…，an-1，an]
描述式（1-211）所示传递函数G（s）的多项式模型。而由命令函数tf（）则可建立系统的传递函数模型TF，其调用格式为
sys=tf（num，den）
其中，num、den分别是传递函数分子、分母多项式系数行向量，且系数均按s的降幂排列。
【例1-24】 已知系统传递函数为
则可以利用程序MATLAB Program 1＿1将上述系统模型表示出来，并将其建立在MATLAB的工作空间（Workspace）中。
%MATLABProgram1＿1 num=[29]； %G（s）分子多项式按s的降幂系数排列的行向量 den=[1 3 2 4 6]； %G（s）分母多项式按s的降幂系数排列的行向量 G=tf（num，den） %建立传递函数模型，存放于G
执行MATLAB Program 1＿1后得到
Transfer function：
2s+9
-----------------------
s∧4+3s∧3+2s∧2+4s+6
对SISO线性定常离散系统，其脉冲传递函数一般可表示为关于z的降幂多项式分式形式，即
在MATLAB中，对于式（1-212）所示离散系统，同样可用tf（）命令建立其脉冲传递函数模型，调用格式为
nu m=[cm，cm-1，…，c1，c0]；
den=[an，an-1，…，a1，a0]；
sys=tf（num，den，Ts）
其中，Ts为系统采样周期。
另外，系统的传递函数还可表示成零极点形式，即
在MATLAB中，可用传递函数的零点向量、极点向量及增益，即
描述式（1-213）所示传递函数G（s）的零极点模型。而由命令函数zpk（）则可建立零极点模型ZPK，其调用格式为
sys=zpk（z，p，k）
2.状态空间模型
r维输入、m维输出的MIM O线性定常系统的状态空间表达式为
式中，x，y、u分别为n×1、m×1、r×1维的列向量，A、B、C、D分别为n×n、n×r、m×n，m×r维的常数矩阵。
在MATLAB中，只要按照矩阵输入方式建立式（1-214）系统相应的系数矩阵，即
A=[a11，a12，…，a1 n；a21，a22，…，a2 n；…；an 1，an 2，…，an n]
B=[b11，b12，…，b1 r；b21，b22，…，b2 r；…；bn 1，bn 2，…，bn r]
C=[c11，c12，…，c1 n；c21，c22，…，c2 n；…；cm 1，cm 2，…，cm n]
D=[d11，d12，…，d1r；d21，d22，…，d2r；…；dm 1，dm 2，…，dmr]
即可描述式（1-214）系统的状态空间模型。而由命令函数ss（）则可建立系统的状态空间模型SS，其调用格式为
sys=ss（A，B，C，D）
对线性定常离散系统
在按常数矩阵输入方式建立系数矩阵G，H，C，D后，同样调用
sys=ss（G，H，C，D，Ts）
则可建立式（1-215）离散系统的状态空间模型。其中，Ts为系统采样周期。
3.组合系统模型
MATLAB提供了两个子系统G1、G2并联连接系统函数parallel（）、串联连接系统函数series（）及反馈连接系统函数feedback（），由此可计算相应组合系统的模型，其调用格式分别为
sys=parallel（G1，G2）
sys=series（G1，G2）
sys=feedback（G1，G2）
其中，G1、G2为子系统1、子系统2已建立的模型，其可均为传递函数模型TF，也可均为状态空间模型SS。
1.5.2 系统模型的转换
1.状态空间表达式向传递函数形式的转换
MATLAB提供了模型转换函数，可以完成系统数学模型的相互转换，利用ss2tf（）函数可由系统状态空间表达式求其传递函数（阵）。对SISO系统，ss2tf（）的调用格式为
[num，den]=ss2tf（A，B，C，D）
执行以上语句，可实现将描述为（A，B，C，D）的系统状态空间模型中各系数矩阵转换为传递函数模型中分子、分母多项式系数行向量num、den。对多输入系统，ss2tf（）的调用格式为
[num，den]=ss2tf（A，B，C，D，iu）
其中，iu用于指定变换所使用的输入量，iu默认则为单输入情况。
【例1-25】 已知系统状态空间表达式为
试应用MATLAB求取系统的传递函数阵。
解 该系统为双输入单输出系统，因此其传递函数阵G（s）为1×2维向量，即
其中，G1（s）、G2（s）分别为输出量y与输入量u1、u2之间的传递函数。利用ss2tf（）函数可以进行指定输入的状态方程向传递函数的转换。MATLAB Program 1＿2为求解本题的程序。
G（s）=[G1（s）G2（s）]
%MATLABProgram 1＿2 A=[2.25-5-1.25-0.5；2.25-4.25-1.25-0.25； 0.25-0.5-1.25-1；1.25-1.75-0.25-0.75]； B=[46；24；22；02]； C=[0202]； D=[00]； [num1，den1]=ss2tf（A，B，C，D，1） %指定第一输入信号u1 所对应的转换 G1=tf（num1，den1） [num2，den2]=ss2tf（A，B，C，D，2） %指定第二输入信号u2 所对应的转换 G2=tf（num2，den2）
程序MATLAB Program 1＿2的运行结果为
num1=
0 4.0000 14.0000 22.0000 15.0000
den1=
1.0000 4.0000 6.2500 5.2500 2.2500
Transfer function：
4s∧3+14s∧2+22s+15
-----------------------------
s∧4+4s∧3+6.25s∧2+5.25s+2.25
num2=
0 12.0000 32.0000 37.0000 17.0000
den2=
1.0000 4.0000 6.2500 5.2500 2.2500
Transfer function：
12s∧3+32s∧2+37s+17
-----------------------------
s∧4+4s∧3+6.25s∧2+5.25s+2.25
由此得系统的传递函数阵为
与ss2tf（）类似，应用MATLAB函数ss2zp（）可由系统状态空间表达式求其零极点模型的参数（z，p，k）。对SISO系统，ss2zp（）的调用格式为
[z，p，k]=ss2zp（A，B，C，D）
而对多输入系统，其调用格式为
[z，p，k]=ss2zp（A，B，C，D，iu）
2.传递函数到状态空间表达式的变换
利用MATLAB函数tf2ss（）、zp2ss（）可分别由多项式形式、零极点形式的传递函数求其状态空间模型中的各系数矩阵。其调用格式分别为
[A，B，C，D]=tf2ss（num，den）
[A，B，C，D]=zp2ss（z，p，k）
上面两条语句分别由已知的（num，den）、（z，p，k）经模型转换返回状态空间表达式中各系数矩阵（A，B，C，D）。
【例1-26】 已知系统传递函数为
应用MATLAB的模型转换函数求状态空间模型的系数矩阵。
解 MATLAB Program 1＿3为求解本题的程序。
%MATLABProgram1＿3 num=[18，36]； den=[140.4391150]； [A，B，C，D]=tf2ss（num，den）
程序MATLAB Program 1＿3的运行结果为
A=
-40.4000-391.0000 -150.0000
1.0000 0 0
0 1.0000 0
B=
1
0
0
C=
0 18 36
D=
0
应该指出，函数ss（）不仅可用于建立系统的状态空间模型SS，而且可将任意LTI系统模型sys（传递函数模型TF、零极点模型ZPK）转换为状态空间模型SS，其调用格式为
SYS=ss（sys）
事实上，MATLAB中建立LTI系统3种模型的3个函数tf（）、zpk（）及ss（）均可用类似的调用格式实现由一种模型到另一种模型的转换。
1.5.3 系统的线性非奇异变换与标准型状态空间表达式
1.系统的线性非奇异变换
MATLAB中函数ss2ss（）可实现对系统的线性非奇异变换。其调用格式为
GT=ss2ss（G，T）
其中，G、GT分别为变换前、后系统的状态空间模型，T为线性非奇异变换阵。或为
[At，Bt，Ct，Dt]=ss2 ss（A，B，C，D，T）
其中，（A，B，C，D）、（At，Bt，Ct，Dt）=（TAT-1，TB，CT-1，D）分别为变换前、后系统的状态空间模型的系数阵，T为线性非奇异变换阵。
【例1-27】 已知系统状态空间表达式的系数阵为
A=
，
B=
，
C=[0.5-0.4375 0.4375]，D=0
试应用ss2ss（）函数进行系统的线性非奇异变换。
解 变换阵T只要保证其非奇异即可，在此选择单位反对角阵作为变换阵。MATLAB Program 1＿4为求解本题的程序。
%MATLABProgram 1＿4
A=[10-42；800；020]；
B=[2；0；0]；
C=[0.5 -0.4375 0.4375]；
D=0；
G1=ss（A，B，C，D）； %建立变换前原状态空间模型G1
T=fliplr（eye（3））； %构造线性非奇异变换阵T为单位反对角阵
GT=ss2ss（G1，T） %获得变换后状态空间模型GT
程序MATLAB Program 1＿4运行结果略。
MATLAB没有提供将一般状态空间表达式化为约当标准型的函数，但可先利用其计算约当标准型函数jordan（）求出化约当标准型的变换阵，再利用函数ss2ss（）得约当标准型。jordan（）的调用格式为
[T，J]=jordan（A）
执行以上语句，可得到化A为约当标准型J的变换阵T，即J=T-1AT，T由A的线性独立特征向量、广义特征向量为列向量构成。
【例1-28】 应用MATLAB求解例1-11。
解 MATLAB Program 1＿5为求解本题的程序。
%MATLABProgram 1＿5 A=[010；001；230]； B=[0；0；1]； C=[100]； D=0； G=ss（A，B，C，D）； %建立变换前状态空间模型 [T，J]=jordan（A）； %求化A为约当标准型的变换阵T及约当阵J GT=ss2ss（G，inv（T）） %状态空间模型变换，变换阵为T-1
程序MATLAB Program 1＿5运行结果略。
2.标准型状态空间表达式的实现
MATLAB提供了标准型状态空间表达式的实现函数canon（），以得到LTI系统模型sys的标准型状态空间表达式的实现。其调用格式为
G1=canon（sys，type）
若LTI系统模型sys为对应状态向量x的状态空间模型，可应用函数canon（）将其变换为在新的状态向量
下的标准型状态空间表达式，其调用格式为
[G1，P]=canon（sys，type）
其中，sys为原系统状态空间模型，P是返回的线性非奇异状态变换阵，满足
=Px关系。或为
[At，Bt，Ct，Dt，P]=canon（A，B，C，D，type）T=[α β]
其中，（A，B，C，D）为对应x的原系统状态空间模型的系数阵，（At，Bt，Ct，Dt）则为对应新状态向量
（仍满足
=Px）的标准型状态空间模型的系数阵。
以上函数canon（）调用中的字符串type确定标准型类型。它可以是模态（modal）标准型，也可以是伴随（companion）标准型形式。
当系统矩阵A可对角化但具有共轭复数特征值时，若仍用1.3.1节的方法化成对角标准型，计算特征向量将出现复数向量，且对角标准型及变换阵均为复数矩阵，给分析计算带来困难，且复数的物理意义也不清晰，此时，可将系统矩阵化为模态（modal）标准型。设二阶系统∑（A，B，C）具有共轭复数特征值λ1，2=σ±jω，则可用线性非奇异状态变换将系统矩阵化为形如
的模态（modal）标准型。且可证明变换阵为
式中，列向量α、β分别是对应特征值λ1=σ+jω的复数特征向量α+jβ的实部、虚部。
【例1-29】 已知系统∑（A，B，C，D）的系数阵为
A=
，
B=
，
C=[1 2 5 2]，D=0
将其变换为模态标准型或对角标准型，并给出变换阵。
解 应用状态方程的规范实现函数canon（）容易进行该变换，MATLAB Program 1＿6为求解本题的程序。
%MATLABProgram 1＿6 A=[5210；0460；0-3-50；0-3-6-1]； B=[1；2；3；4]；C=[1252]；D=0； sys=ss（A，B，C，D）； [G，T]=canon（sys，′modal′）
程序MATLAB Program 1＿6运行结果略。