1.2 行列式的性质与计算

1.2.1 行列式的性质

从行列式的定义出发直接计算行列式是比较麻烦的。为了进一步讨论n阶行列式，简化n阶行列式的计算，下面介绍n阶行列式的一些基本性质。

将行列式D的行、列互换后，得到新的行列式DT，DT称为D的转置行列式。即，如果

则

性质1.1 行列式与它的转置行列式相等，即D=DT。

对于二阶行列式可由定义直接验证：

对于n阶行列式则可用数学归纳法予以证明，此处从略。

性质1.1说明了行列式中行、列地位的对称性，凡是对行成立的性质对列也成立。

例1.8 验算下列行列式D与它的转置行列式DT相等。设

例1.9 证明

证 由性质1.1得

利用下三角行列式公式（1.9），可得D T=a11 a22…an n，故有D=a11 a22…an n。

这个例子说明：上、下三角行列式的值都等于主对角线上元素的乘积。

性质1.2 互换行列式的2行（列），行列式的值改变符号。

对于二阶行列式可直接验证。

把2行互换得行列式

对于n阶行列式也可用数学归纳法证明，此处从略。

例1.10 若已知

互换第1行与第3行后，得

由性质1.2一定有：-=-D=-8

例1.11 计算

解 注意到D中第2行和第4行是相同的，因此将这相同的2行互换，其结果仍是D，而由性质1.2可知交换2行的结果为-D。因此，D=-D，即D=0。

推论1.1 如果行列式有2行（列）的对应元素相同，则这个行列式等于零。

性质1.3 n阶行列式等于任意一行（列）所有元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即

性质1.3说明了行列式可按任意一行（列）展开。

例1.12 计算下列行列式

解 注意到第4列有4个零元素，可利用性质1.3按第4列展开

对上面的四阶行列式可按第2行展开

上述2个三阶行列式都可按第1行展开，最后得D=-1672。

从上面可看出，行列式不仅可以按第1行展开，它还可以按任意一行（列）展开。只要行列式的某一行（某一列）的零元素多，按该行（该列）来展开，行列式的计算就简单，并且得到的行列式都是相等的。

性质1.4 n阶行列式中任意一行（列）的元素与另一行（列）的相应元素的代数余子式的乘积之和等于零，即当i≠k时，有

ak1Ai1+ak2Ai2+…+aknAin=0

证 在n阶行列式

中将第i行的元素都换成第k（i≠k）行的元素，得到另一个行列式

显然，D0的第i行的代数余子式与D的第i行的代数余子式是完全一样的。将D0按第i行展开，得

D0=ak1Ai1+ak2Ai2+…+aknAin

因为D0中有2行元素相同，所以D0=0。因此

ak1Ai1+ak2Ai2+…+aknAin=0 （i≠k）

由性质1.3和性质1.4得到如下结论：

或

性质1.5 行列式某一行（列）的公因子可以提出来。即

证 由性质1.3将上式左右两边的行列式分别按第k行展开，注意到它们的第k行元素的代数余子式是对应相同的，均为Ak1，Ak2，…，Akn。于是

左边=λak1Ak1+λak2Ak2+…+λaknAkn=λ（ak1Ak1+ak2Ak2+…+aknAkn）=右边

推论1.2 用一个数来乘行列式的某一行（列）就等于用这个数乘此行列式。

推论1.3 行列式中如果有2行（列）元素对应成比例，则此行列式为零。

性质1.6 如果行列式中某一行（列）的元素都是2数之和，则这个行列式等于2个行列式的和，而且这2个行列式除了这一行（列）以外，其余的元素与原来行列式的对应元素相同，即

证 将上述3个行列式分别按第k行展开，且注意到它们的第k行元素的代数余子式都是相同的。于是有

例1.13 计算下列行列式：

解 利用性质1.6将行列式D分解为2个行列式的和

从上式分解成2个行列式的和的右端可知，第1个行列式的第1行与第3行成比例，所以第1个行列式为零，再把第2个行列式的第3列与第4列进行交换，得

性质1.7 将行列式的某一行（列）的各元素都乘以同一个常数后，再加到另一行（列）的对应元素上，则行列式的值不变，即

证 由性质1.6得

又由性质1.5可得上述第2个行列式

所以，右边=左边。

上述性质对于简化行列式的计算有很大的作用，在计算n阶行列式时常常用到，其中性质1.7使用最为频繁。

为方便起见，今后使用下列记号：“λ×”表示将第i行（列）乘以λ；“（，）”表示将第i行（列）与第j行（列）交换；“k +×λ”表示将第i行（列）乘λ后加到第k行（列）上。并把对行的变换写在等号上方，把对列的变换写在等号下方。

例1.14 计算下列行列式：