1.2.1　单量子比特逻辑门

设为酉矩阵，满足。表示状态的演化。在量子计算机中，各种形式的酉矩阵被称为量子逻辑门。常见的单量子比特逻辑门（简称单比特门）有泡利（Pauli）矩阵、阿达马（Hadamard）门（简称H门）和转动算符（Rotation Operator，又称旋转门），下面分别进行介绍。

1. 泡利矩阵

泡利矩阵有时也称为自旋矩阵（Spin Matrix），有3种形式，分别为Pauli-X门（简称X门，矩阵形式可记作或）、Pauli-Y门（简称Y门，矩阵形式可记作或）和Pauli-Z门（简称Z门，矩阵形式可记作或），如式（1.12）~式（1.14）所示。

(1.12)

(1.13)

(1.14)

可以看出，X门相当于非门，它将、。Y门的作用相当于绕布洛赫球的轴旋转角度。Z门的作用相当于绕布洛赫球的轴旋转角度。

2. H门

H门的矩阵形式如式(1.15)所示。

(1.15)

注1.2　H门常用的表达式如下：

　　(1.16a)

　　(1.16b)

　　(1.16c)

　　(1.16d)

　　　　　　　(1.16e)

3. 旋转门

在了解旋转门之前，需要证明：设是个实数，是一个矩阵，且满足，则有。该等式可利用e指数的泰勒展开及得证，这里不赘述。

旋转门有3种形式，分别为RX门、RY门和 RZ门，它们分别以不同的泡利矩阵作为生成元构成，如式(1.17)~式(1.19)所示。

(1.17)

(1.18)

(1.19)

上述单比特门可以统一表示为

(1.20)

通过控制与的取值以及简单的矩阵变换，即可转化为以上所有单比特门的形式。 例如，当时，对作两行交换就是H门。统一的表达矩阵在底层实现过程中尤为重要。

理论上，对于单量子比特的任一酉算符，均有ZYZ分解。 具体见定理1.1[1]。

定理1.1　对于单量子比特的任一酉算符，存在、、和，使得

(1.21)

注1.3　除以上介绍的常用门以外，单比特门还有相位门（Phase Gate又称S门）和门（又称T门），它们的矩阵形式分别为