1.3 离散傅里叶变换（DFT）举例

图1.3a表示任意一个数字信号xa（nT）。虽然信号xa（nT）是从n=-∞变化到+∞的（任何时域信号，包括模拟信号和数字信号，在时间上都是从t=-∞变化到t=+∞的），但实际上只能取它的一小部分，比如图1.3a中从xa（0）至xa（3T）的4个样点（这里的4个样点只是举例，DFT的实际样点数可以很大，比如32768个样点）。

有了这4个样点，就可以分析数字信号xa（nT）在t=0～3T区间内的频率组成。具体方法是，把这4个样点向两侧周期性地无限延伸，以得到一个时间上从-∞变化到+∞的数字信号x（nT），如图1.3b所示。现在的任务也就变成了对图1.3b中的周期信号x（nT）计算频率组成。

由于x（nT）是周期信号，就可以展开为傅里叶级数[此时的x（nT）可看作是连续时域信号，并假设在t=nT以外所有时间点上的幅度处处为零]。而傅里叶级数中每一项的系数X（k）表示信号x（nT）中包含的频率分量。根据傅里叶级数展开的计算规则，系数X（k）可计算为

对于式（1.2），暂时不必关心计算细节（后面的第12章将具体说明）。只需知道，从式（1.2）可以算出从X（0）～X（3）的4个傅里叶级数的系数。在具体计算时，先令k=0，由于e-jnkπ/2=e0=1，所以X（0）=x（0）+x（T）+x（2T）+x（3T）。这实际上是在计算x（nT）的直流分量（还应除以4，这在后面第12章说明）。然后令k=1，就可算得X（1）=x（0）×e0+x（T）×e-jπ/2+x（2T）×e-jπ+x（3T）×e-j3π/2。再令k=2，3，就可分别算得X（2）和X（3）。这就得到了数字信号x（nT）的4个频率分量X（0）、X（1）、X（2）和X（3）。这4个频率分量就是图1.3a中从x（0）～x（3T）的4个样点序列的离散傅里叶变换，可以用来估算信号xa（nT）在t=0～3T时间区间内的频率组成。

图1.3 用数字信号中的部分样点组成周期信号

a）数字信号xa（nT） b）周期信号x（nT）

根据式（1.2）的计算方法，可以画出相应的DFT计算图，如图1.4a所示。图中，当k=0时，只需把x（0）～x（3T）加起来，就得到X（0）。当k=1时，需将x（0）～x（3T）分别与1、e-jπ/2、e-jπ、e-j3π/2相乘，然后把它们加起来，就得到X（1）。当k=2（或3）时，需将x（0）～x（3T）分别与1、e-jπ/2、e-jπ、e-j3π/2的平方（或立方）相乘，再把乘积项加起来就得到X（2）[或X（3）]。对于图1.4a中DFT计算图的正确性，可以用图1.4b和c中的两个信号序列来测试。下面来说明。

图1.4b左边的x1（n）是一个直流信号。用图1.4a中的结构算出的结果为X1（0）=4和X1（1）=X1（2）=X1（3）=0，如图1.4b右边所示。这表示输入信号中只有直流分量，其他频率分量都为零。这当然是对的。

图1.4c左边的x2（n）是一个频率等于fS/4的零相位余弦信号。由于信号频率为采样率fS的1/4，所以每个信号周期内被采得4个样点，如图1.4c左边所示。用图1.4a中的结构算出的结果为X2（1）=X2（3）=2.0和X2（0）=X2（2）=0，如图1.4c右边所示。这表示输入信号中只有频率为fS/4的分量，其他频率分量都为零。这当然也是对的。这就完成了用信号序列x1（n）和x2（n）对图1.4a中DFT计算图的验证[在图1.4c的右边，fS为采样率，X2（1）和X2（3）都表示频率等于fS/4的分量，而且两者是同一个频率分量，X（0）表示直流分量，X（2）表示位于fS/2的频率分量。后面第3章将详细说明这些概念]。

图1.4a中计算图的要点是，图中的大多数乘法计算都是重复的（样点数越多越明显）。利用这一特点，可以使计算量大为节省，这就是所谓的快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）。此外，图1.4b和图1.4c中右侧的频率谱应该看成是以采样率fS为周期向两侧无限重复的，这是数字信号处理中最基本的概念。或者说，任何一个数字信号的频率谱都是以采样率fS为周期而向两侧无限重复的。

图1.4 有限长信号序列的DFT

a）DFT计算图 b）输入为直流信号 c）输入为零相位余弦信号