2.2 非周期信号

非周期信号有两类：一类是单脉冲信号；一类是噪声信号。由于矩形单脉冲信号在信号处理中经常被用到，所以本节主要讨论这种非周期信号，然后简要地说明噪声信号。

2.2.1 单脉冲矩形波的频域表示

2.2.1.1 单脉冲矩形波的傅里叶变换

本节要讨论的单脉冲矩形波信号xrec（t），如图2.17所示。它的高度等于1，宽度等于2，中心在t=0，所以它的波形是关于纵坐标偶对称的，是一个偶函数。它的频率谱可用傅里叶变换计算

由于xrec（t）在区间[-1，1]内恒为1，在其他时间点恒为0，式（2.29）就可简化为

式（2.30）中，f可看作常量，所以-j2πf也是常量。在做积分时，可以先把dt改写为d（-j2πft）/（-j2πf）。这样改写后，t的变化范围不变，仍是[-1，1]。但如果用变量代换，比如x=-j2πft，那么积分区间就不再是[-1，1]了，而要通过代换式x=-j2πft重新计算。现在就可用指数函数的积分来计算（指数函数ex的积分和导数都仍然是ex）。式（2.30）可演算为

式（2.31）计算中使用了欧拉恒等式（2.15）。式（2.31）右边的分式sin（2πf）/2πf是一个sinc函数。所以，先讨论sinc函数。

2.2.1.2 sinc函数

sinc函数是信号处理中的重要函数，它被定义为

式中，自变量x的变化范围从-∞～∞。从上式看，sinc函数也是偶对称的（因为分子和分母都是奇函数）。当自变量x从x=0向两侧变化时，分母x的绝对值逐渐增加，而分子的正弦函数sinx总是在-1和1之间摆动，所以函数sinc x在x=0附近达到最大，并随x向两侧的移动，作衰减振荡且趋于零。而且，当x=nπ（n=±1，±2，…）时sinc x=0；当x=nπ±π/2（n=0，±1，±2，…）时，sinc x达到正、负向峰值（严格说，应该在x略小于nπ±π/2时达到正、负向峰值，峰值的正确位置可以通过对函数sinx/x求极值来确定）。这样画出的sinc x曲线如图2.18a所示。

式（2.32）的一个问题是，当x=0时，右边的分母等于零（零是万万不可做分母的），使它在x=0处有一个间断点。但另一方面，当x→0时，右边分式的分子和分母会同时趋于零。我们可以将分式的分子和分母分别对x求导，然后代入x=0，就得到sinc x在x→0时的极限

这种对分子和分母分别求导的计算方法叫作洛必达法则。由式（2.33）可知，只需定义sinc x|x=0=1，就可去掉这个间断点（这样的间断点叫作可去间断点，但条件是x从正负两个方向趋于0时sinc x有相同的极限。这里的极限都等于1）。这样之后，式（2.32）就是一个完整的sinc函数定义式了。

对于式（2.32）和图2.18a，还有一个改进。因为图2.18a中有太多的π，希望把它们隐藏起来。办法是把式（2.32）中的变量x代换成πx，而式（2.32）变成

此时的x就与π无关，而变成像图2.18b中那样x=0，±1，±2，…。

所以，在与频率有关的表达式中，可以使用式（2.34）中的sinc函数定义。用式（2.34）画出的sinc x曲线如图2.18b所示。图中少了π，显得比较简洁。

2.2.1.3 单脉冲矩形波的频率谱

现在回到式（2.31）。对于式（2.31），使用式（2.34）的定义式，那么式（2.31）变为

式（2.35）的导出过程是：先把式（2.31）中的f改为x（自变量名是可以随意改换的），然后使用式（2.34）中的定义式，最后再把x改回f。

用式（2.35）画出的单脉冲矩形波的频率谱曲线如图2.19所示。这张曲线图与图2.18b中的曲线图有两点不同。一个不同点是，水平轴的比例尺不同，这里的f=0.5对应于图2.18b中的f=1[因为这里是sinc（2f），那里是sinc f]；另一个不同点是，这里的幅度是图2.18b中的两倍。

图2.20a和b是从图2.19导出的。其中，图2.20a是图2.19中Xrec（f）的幅值谱，图2.20b是Xrec（f）的相位谱。由于幅值谱是对频率谱取绝对值，所以不可小于零，如图2.20a所示。但是，在复数运算中，把幅值从负变正，它的幅角（也就是相位）需改变π（因为-1=e±jπ）；而这个改变量可以是+π或-π。但另一方面，时域实函数xrec（t）的相位谱一定是奇对称的。所以，在图2.20b所示的相位谱中，把右边（正频率）因为幅值从负变正的相位画成-π，而把左边（负频率）因为幅值从负变正的相位画成+π。这也可以反过来，把右边画成+π，把左边画成-π。两者完全一样（对于正弦量而言，相位+π和-π没有任何不同）。

对于图2.19中频率谱的形状，其表示各频率分量之间的幅值之比。或者说，矩形单脉冲信号的能量主要集中在低频区内，高频分量相对较小，且很快趋于零。

2.2.2 噪声信号的频域表示

噪声信号也可以有时域和频域两种表示法。图2.21是一种噪声信号的时域波形图，这个波形图也应该看成是向左、右两侧无限延伸的（任何信号都应如此）。但像图2.21中这样的波形图并没有包含太多的信息，它能展示的只是噪声信号的平均幅度大概有多大，比如图中的平均幅度在0.1mV左右（噪声的大小一般不用幅度来衡量，而是要用功率来衡量，这在稍后说明）。从图中还可以看出，这个噪声信号的平均值应该在0V上下。再就是，这个噪声电压的起伏一次大概在0.05s左右，所以它的主要的频率成分应该在20Hz左右。这些估算出来的数据是非常近似的，因为仅看到了噪声信号的极小一部分。由于这个原因，下面将从频域来讨论噪声信号，并只讨论噪声信号中的白噪声和1/f噪声，因为这两种噪声在电路中是最常见的。

2.2.2.1 白噪声的频率谱

一般来说，噪声的频率谱表示噪声信号最基本的特性。电阻的噪声属于白噪声，意思是电阻噪声的大小不随频率而变，它的频率谱是一条水平线，如图2.22所示。图中从0.1 Hz到1kHz范围内，噪声的谱密度都等于。两个坐标轴都以对数为刻度，以便包含很宽的数据范围。图中噪声谱密度的单位为；这叫平方根谱密度。把它取二次方，变成（μV）2/Hz，这叫功率谱密度，表示每Hz频率区内所包含的噪声功率数。由于噪声是没有相位的，所以噪声是通过功率相加的，如下面的例子。

2.2.2.2 1/f噪声的频率谱

电子电路中另一种常见的噪声是1/f噪声，其频率谱如图2.23所示。1/f噪声也叫闪变噪声，它主要与器件材料中的缺陷有关。良好的制造工艺可以降低闪变噪声。1/f噪声的功率谱密度可写为

式中，kv是一个常数。功率谱密度与频率成反比，这就是1/f的意思。如果用平方根谱密度表示，式（2.36）变为

可以看出，平方根谱密度Vn（f）与成反比，而不是与f成反比。但如果用对数坐标表示，与f就变成线性关系，只是比例尺不同。所以，式（2.37）中Vn（f）与之间仍然是图2.23中那样的斜线关系。从图2.23中的斜线看，1/f噪声的功率主要集中在低频区，比如1～10 Hz的频率区与10～100 Hz的频率区包含相同的噪声功率。

2.2.2.3 随机信号频率谱的估算

本小节之前讨论的正弦量信号和矩形波信号都属于确定信号，即在任何时间点上的信号幅度是完全可以确定的。但随机信号在任何时间点上的幅度是无法确定的，通常会用自相关函数来表示其特性。举例来说，语音信号是一种随机信号，无法确定语音信号在某个时间点上的幅度（或者说，每次试验都不相同），但可以计算语音信号在一段足够长时间段内的自相关函数。这个自相关函数就可以用来表示语音信号在这个时间段内的基本特性，或用来估算其频率谱。

随机信号频率谱的估算通常有两种方法：一种是用频谱分析仪的方法；另一种是用自相关函数的方法。频谱分析仪的方法，实际上是对数字化的随机信号做离散傅里叶变换（也可以用一组窄带滤波器的方法）。这可以用图2.24中的框图来说明。实际上，大多数的频谱分析仪都采用图2.24中的原理。

在图2.24中，输入信号sc（t）为连续时域信号。抗混叠模拟低通滤波器用来滤除sc（t）中频率超过fS/2的高频成分，并输出带限信号xBL（t）。后面的A-D转换器把带限信号xBL（t）变成数字信号x（n），然后用恰当的窗函数w（n）对数字信号x（n）加窗（即相乘），得到加窗后信号xw（n）。对加窗后信号xw（n）进行离散傅里叶变换，就得到连续时域信号sc（t）频率谱的估算X（k）。不过，许多因素都会影响图2.24中频率谱估算的精度，比如低通滤波器的截止频率、转换器的速度和量化噪声、窗函数的类型、DFT的点数等。这些都将在本书后面作比较详细的讨论。

另一种用自相关函数估算频率谱的方法依据了这样的原理：对数字化的随机信号的自相关函数做离散傅里叶变换就得到它的功率密度谱。这可以写为

式中，Фxx（m）为数字化的随机信号自相关函数的估算；Pxx（ω）为数字化的随机信号功率谱的估算（上式中的频率变量ω在计算时可暂时看作常量）。式（2.38）与傅里叶变换的式（2.29）有点相似。对于上面两种频率谱的估算方法，随机过程都必须是广义平稳的（即在一定时间段内是平稳的），比如语音信号。