2.1 周期信号
与所有的信号一样,周期信号也有时域和频域两种表示法。时域表示法就是写出周期信号的时域表达式或画出周期信号的波形图。频域表示法则是写出周期信号的频域表达式或画出周期信号的频率谱。
2.1.1 周期信号的时域表示
周期信号是指信号在时间上是不断重复的,比如图2.1a中的x(t)。它以时间长度T0进行重复,所以T0被叫作周期信号的周期。它的倒数叫作周期信号的频率,图中用f0表示,所以有f0=1/T0。
周期信号的主要特点是,总可以表示为若干个或无数个正弦量信号之和(正弦量信号包括正弦信号和余弦信号,所以正弦量信号可以是正弦信号,也可以是余弦信号)。比如,图2.1a中的周期信号x(t)可以表示为图2.1b、c、d中三个正弦信号的叠加。这三个正弦信号的频率依次为f0、2f0和3f0,其中f0为周期信号x(t)的频率,所以图2.1b中的x1(t)被称为x(t)的基频分量,而图2.1c和d中的x2(t)和x3(t)被分别称为x(t)的二次和三次谐波分量。x1(t)~x3(t)三个正弦信号的振幅依次为A1、A2和A3,相位依次为θ1、θ2和θ3。周期信号还可以包含直流分量,这里的x(t)没有直流分量。
图2.1中的情况其实是周期信号的傅里叶级数展开。由于周期信号可以表示为若干个正弦量信号之和,那么就可以把周期信号的讨论归结为对正弦量信号的讨论。所以在下面的讨论中,我们仅讨论正弦量信号,并把讨论的重点放在正弦量信号的相位上,因为振幅和频率是相对比较简单的(为简便起见,图2.1中的时间轴被同时用来表示相位。本书的其他地方有相同的用法)。
图2.1 一个周期信号可以分解为若干个正弦量信号
2.1.1.1 正弦信号和余弦信号的时间关系
正弦量信号的相位与时间之间的换算很简单。把相位换算成时间,使用等式t=(θ/360°)×T0;把时间换算成相位,使用等式θ=(t/T0)×360°。比如在图2.2中,时间t1=T0/4换算成相位就是θ=(t1/T0)×360°=90°;而相位θ=-135°换算成时间是t2=(θ/360°)×T0=-3T0/8。
图2.2 正弦量信号相位与时间之间的换算
本小节讨论相位与时间的另一个问题,即同频率同相位的正弦信号和余弦信号的时间关系。这就是图2.3中的情况。为便于讨论,把图2.3a中正弦信号和余弦信号的相位都设定为零。对于其他的相位值,情况是一样的(图2.3b中的相位都等于90°)。
图2.3 同频率同相位的正弦信号和余弦信号的时间关系
正弦信号的相位是指幅值由负变正的过零点处与原点之间的距离,余弦函数的相位是指幅值到达正向峰值处与原点之间的距离(在信号处理中,信号和函数是同一个意思,可以互换)。
根据这个规定,图2.3a中正弦信号和余弦信号的相位都等于零。但从时间上看,零相位的余弦信号要比零相位的正弦信号在时间上领先T0/4(T0/4相当于90°相位)。对于相位不等于零的情况,比如正弦信号和余弦信号的相位都等于90°,这实际上是把图2.3a中的两条曲线同时左移T0/4。结果是,两条曲线之间的时间关系保持不变,这就是图2.3b中的情况。确定图2.3b中两条曲线的相位很简单,比如对于正弦曲线,当t=0时,幅值达到了正向峰值,所以相位是90°;对于余弦曲线,当t=0时,幅值下降到零,所以相位也是90°。由此得出结论:对于同频率、同相位的余弦和正弦信号,余弦信号总要比正弦信号在时间上早出现T0/4(由于周期信号的原因,早出现T0/4也就是晚出现3T0/4,或者,90°相位也就是-270°相位)。
小测试:比较同频率的余弦信号cos(10πt+10°)和正弦信号sin(10πt+90°)在时间上的先后,并确定两者的频率。答:cos(12πt+10°)比sin(12πt+90°)领先约5.6ms,两者的频率都是5Hz。
2.1.1.2 正弦量信号的两种表示法
图2.1b、c和d中的三个正弦量信号都被表示为正弦函数,但也可以表示为余弦函数,两者的差别只是在相位上加或减90°。这可以用图2.4来说明。
先把图2.4a中的正弦量信号表示为余弦函数,如图2.4b所示。图中余弦函数的峰值出现在t=0的右边,所以相位是负值,具体为θcos=-60°,并可表示为
式(2.1)的正确性可以通过两个时间点来测试:①当t=0时,xcos(0)=cos(-60°)=cos60°=0.5;②当2πf0t-60°=0时,即t=(π/3)/(2πf0)=T0/6时,xcos(T0/6)=cos0°=1。图2.4b中确实如此,所以式(2.1)是正确的。
图2.4 正弦量信号的两种表示法
a)正弦量信号 b)表示为余弦信号 c)表示为正弦信号
图2.4a中的正弦量信号也可以表示为正弦函数,如图2.4c所示。图中正弦函数从负变正的过零点出现在t=0的左边,所以相位为正值,具体为θsin=30°,表达式为
上式的正确性同样可以通过两个时间点来测试:①当t=0时,xsin(0)=sin30°=0.5;②当2πf0t+30°=0即t=(-π/6)/(2πf0)=-T0/12时,xsin(0°)=0。图2.4c中的情况也确实如此,所以式(2.2)也是正确的。
本小节可归纳为:当余弦函数的正向峰值(或正弦函数从负变正的过零点)出现在t=0的左边时,相位为正值,否则相位为零或负值。如果把余弦函数改写为正弦函数,相位需增加90°。
小测试:把余弦信号cos(100πt+20°)改写为正弦信号。答:sin(100πt+110°)。
2.1.1.3 正弦量信号的分解与合成
先回顾一下三角恒等式
如何来记忆式(2.3)和式(2.4)右边的加减号呢?对于式(2.3),余弦函数的角度越大,函数值越小(在第一象限内),所以等式左边的加号到了等式右边就是减号。对于式(2.4),正弦函数的角度越大,函数值越大(也是在第一象限内),所以等式左边的加号到了等式右边仍为加号。
现在令α=2πf0t和β=θ,上面两式分别变为
从式(2.5)看,一个相位不等于零的余弦函数被分解成一对零相位、同频率的余弦和正弦函数。从式(2.6)看,一个相位不等于零的正弦函数也被分解成一对零相位、同频率的余弦和正弦函数(把上面两式中的θ看作常数,所以cosθ和sinθ也都是常数,可作为正弦量信号的振幅)。
本小节可归纳为:一个相位不等于零的正弦函数或余弦函数总可以表示为一对同频率、零相位的正弦函数和余弦函数之和。或者反过来,一对同频率、零相位的正弦函数和余弦函数总可以合成为一个同频率、非零相位的正弦函数或余弦函数(在把周期信号展开为傅里叶级数时,会看到这个性质)。
【例题2.1】有一对频率等于100Hz的正弦和余弦信号3sin200πt和4cos200πt,两者的相位都等于零,振幅分别为3和4。要求把它们合成为一个非零相位的正弦信号或余弦信号。
解:这一对正弦和余弦信号的波形分别示于图2.5a和b中。先把两者分别改写为
在合成正弦信号时,可以使用式(2.6)。把式(2.7)中的看成cosθ,把式(2.8)中的看成sinθ,并可算得θ≈53 °。把式(2.7)和式(2.8)加起来,就得到合成的正弦信号表达式
图2.5 两个同频率、零相位的正弦和余弦信号合成为一个非零相位的正弦信号或余弦信号
在合成余弦信号时,可以使用式(2.5)。把式(2.7)中的看成sinθ,把式(2.8)中的看成cosθ,并可算得θ≈37 °。把式(2.7)和式(2.8)加起来,就得到合成的余弦信号
式(2.10)运算中利用了余弦函数为偶函数和正弦函数为奇函数的性质,即cos(-37°)=cos37°和sin(-37°)=-sin37°。合成的正弦和余弦信号的波形示于图2.5c中。两者是同一个波形,但相位不同。对于正弦信号,相位等于53 °;对于余弦信号,相位等于-37°。此外,从式(2.9)正弦信号的相位中减去90°,也可得到式(2.10)中相位等于-37 °的余弦信号。
【例题2.2】有非零相位的正弦信号xsin(t)=5sin(100πt+30°),要求把它改写为一对同频率、零相位的正弦信号和余弦信号之和。
解:利用式(2.4)的三角恒等式,xsin(t)可展开为
图2.6表示式(2.11)的分解结果:图2.6a为原来的正弦信号xsin(t)=5sin(100πt+30 °);图2.6b为分解出来的零相位余弦信号2.5cos100πt;图2.6c为分解出来的零相位正弦信号4.3sin100πt。
图2.6 把一个非零相位的正弦信号分解为一对同频率、零相位的正弦信号和余弦信号之和
小测试:写出把余弦信号cos(100πt+10°)延迟1ms后的表达式。答:cos(100πt-8°)。
2.1.2 周期信号的频域表示
2.1.2.1 欧拉定理与复指数信号
对于周期信号的频域表示,需借助欧拉定理(也称欧拉恒等式),即
欧拉定理的漂亮之处,是把看来毫不相干的正弦量信号与复指数关联了起来。在上面两式中,左边是复指数信号,右边是正弦量信号。图2.7用来说明两者是如何关联的,而关联的媒介是复平面内的单位圆。
图2.7 复指数分解为正弦量信号
a)ejφ分解为cosφ和jsinφ两个复矢量 b)e-jφ分解为cosφ和-jsinφ两个复矢量
图2.7a解释了式(2.12)的含义。在复平面内,式(2.12)中的ejφ、cosφ和jsinφ都应被看作矢量,而矢量的分解和合成遵守平行四边形法则。图中根据式(2.12)把矢量ejφ分解成两个分别沿纵、横坐标方向的矢量cosφ和jsinφ。反过来,也可以用cosφ和jsinφ合成矢量ejφ。此外,从式(2.12)还可以算出矢量ejφ的模(矢量的模也称幅值或长度)。由于等式右边cosφ+jsinφ的模等于1(复数的模等于实部和虚部平方和的平方根,即cos2φ+sin2φ=1),所以ejφ的模也等于1,表示矢量的末端在单位圆上。
对于式(2.13)可以用图2.7b来解释。图中的e-jφ、cosφ和-jsinφ三个矢量同样满足矢量分解和合成的平行四边形法则,而且同样可以证明e-jφ的幅值等于1,即矢量的末端也在单位圆上。
如果把式(2.12)和式(2.13)相加和相减,可以得到另一对欧拉恒等式,即
式(2.14)和式(2.15)表示,一个正弦量信号可以用一对正、负指数的复指数信号相加或相减得出。这同样可以通过复平面内的单位圆来解释,如图2.8所示。图中的ejφ/2和e-jφ/2是两个幅值为0.5、幅角分别为±φ的复矢量。在图2.8a中,把矢量ejφ/2和e-jφ/2相加,就得到cosφ(同样可以用矢量相加的平行四边形法则,或计算ejφ/2和e-jφ/2在实轴上的投影之和,两者在虚轴上的投影相互抵消)。
在图2.8b中,从矢量ejφ/2中减去e-jφ/2,就得到沿虚轴方向的jsinφ(这等于ejφ/2和e-jφ/2在虚轴上的投影之和;两者在实轴上的投影也相互抵消)。由于j=ejπ/2表示把矢量逆时针旋转90°,所以矢量sinφ应该是沿实轴的正方向,如图2.8b中所示。
图2.8 两个复指数合成出正弦量信号
a)用ejφ/2和e-jφ/2合成cosφ b)用ejφ/2和-e-jφ/2合成jsinφ,再顺时针旋转90°就得到sinφ
小测试:把正弦函数10sin(α+π/2)分解为两个复指数函数。答:5ejα+5e-jα。
2.1.2.2 正弦量信号的频率谱
上一小节讲述了每个正弦量信号都可以分解为两个复指数信号,即式(2.14)和式(2.15)。如果把复指数信号中的幅角φ代换成2πft+θ,式(2.14)和式(2.15)就分别变为
式(2.16)和式(2.17)中,假设频率f和相位θ都是常数,而t为时间变量。那么当t增加或减小时,等式右边的两个复指数信号ej(2πft+θ)和e-j(2πft+θ)就变成一对沿单位圆等速且反向旋转的复矢量。这样的一对旋转复矢量就可以用来表示正弦量信号的频率谱,简称频谱。
为说明这一点,使用一个实际的正弦量信号,如图2.9所示。图2.9a把正弦量信号表示为余弦信号xcos(t),它的振幅为1,频率为f0,相位为-π/3或-60°。图2.9b把正弦量信号表示为正弦信号xsin(t),它的振幅和频率与余弦信号相同,只是相位变成了π/6或30°。
根据式(2.16)和式(2.17),图2.9中的余弦信号和正弦信号可分别写为
图2.9 正弦量信号的时域表示
a)表示为余弦信号 b)表示为正弦信号
从式(2.18)看,余弦信号xcos(t)两个频率分量的频率分别为±f0,幅值都等于1/2,相位分别为-π/3和π/3。由此得到,余弦信号xcos(t)的正频率分量的频率等于f0,幅值等于0.5和相位等于-π/3;负频率分量的频率等于-f0,幅值等于0.5和相位等于π/3。根据这些数据画出的余弦信号xcos(t)的频率谱如图2.10a所示。
对于式(2.19),先说明其中的复指数e-jπ/2和ejπ/2是如何产生的。两者都是从式(2.17)分母中的j变来的(因为j=ejπ/2,所以1/j=e-jπ/2)。另外,式(2.17)右边方括号内的减号,在式(2.19)中变成了加号,所以要乘以-1;而-1=ejπ或e-jπ。这使式(2.19)右边加号后面的第一个复指数从e-jπ/2变成ejπ/2。
由此,正弦信号xsin(t)的两个频率分量的频率也分别为±f0,幅值也都等于1/2,相位也分别为-π/3和π/3。或者说,正弦信号xsin(t)的正频率分量的频率等于f0,幅值等于0.5和相位等于-π/3;负频率分量的频率等于-f0,幅值等于0.5和相位等于π/3。根据这些数据画出的正弦信号xsin(t)的频率谱如图2.10b所示。由图2.10可以看出,图a和图b完全一样,因为两者是同一个信号。由此可以想到,在画正弦信号的频率谱时,先把它变成余弦信号后再画出,会比较容易。
在图2.10a和b中,上面的图称为幅值谱,下面的图称为相位谱。这两张图与图2.9a和b中的时域波形包含了相同的信息,但图2.10显得比较简洁、清晰。这是频域表示法的优点。此外,图2.10中的8条垂线(包括小圆点)叫作谱线;而由谱线组成的谱图(即图2.10a和b中的谱图)叫作线谱,因为它们都是由垂直的谱线组成的。这与本章下面要讲到的非周期信号的连续谱有不同的含义。再有,从图2.10看,幅值谱都是偶对称的,相位谱都是奇对称的。但前提是,时域信号必须是实信号。时域复信号(在通信等领域会遇到)的频率谱就没有这样的对称性。
图2.10 正弦量信号的频域表示
a)余弦信号的频率谱 b)正弦信号的频率谱
小测试:要求写出正弦信号10sin(100πt+2π/3)频率谱的幅值、频率和相位。答:幅值为5,频率为±50Hz,相位为-π/6和π/6。
2.1.2.3 简洁的频域表示法
对于图2.10中的频率谱,可以有简洁的表示法。这就是把图中的幅值谱和相位谱合起来,变成图2.11a中的频率谱。如果余弦信号的相位等于零,图2.11a中的频率谱就变成图2.11b中的频率谱。由于图中的每条谱线都是用幅值和相位标出的,所以是一个复数。这种简洁的线谱图有时会很有用。
图2.11 正弦量信号的简洁频域表示法
a)相位等于-π/3的余弦信号 b)零相位的余弦信号
小测试:写出正弦信号10sin(200πt+2π/3)的简洁频率谱的数据。答:频率为±100Hz,幅值与相位为5e-jπ/6和5e+jπ/6。
2.1.2.4 双边谱和单边谱
图2.10所示的频率谱被称为双边谱。当把正弦量信号展开为两个复指数时,就得到双边谱。与双边谱对应的是单边谱。单边谱是只包含正频率部分的频率谱。如果把图2.10中的双边谱变成单边谱,只需把信号的幅值加倍,而相位取正频率的相位。图2.12表示两个正弦量信号的单边谱。两者分别为余弦信号xcos(t)=6cos(10πt+π/3)和正弦信号xsin(t)=10sin(10πt+π/6)。余弦信号xcos(t)的参数为幅值等于6,频率等于5Hz,相位等于π/3。对于正弦信号xsin(t),可以先转换成余弦信号。它的幅值和频率保持不变,只是相位变成π/6-π/2=-π/3。从图2.12可以看出,这两个信号有不同的单边谱,所以是两个不同的信号。
图2.12 正弦量信号的单边谱
a)余弦信号的单边谱 b)正弦信号的单边谱
小测试:写出正弦信号10sin(300πt+2π/3)单边谱的幅值、频率和相位。答:10,150Hz,π/6。
【例题2.3】有正弦信号xsin(t)=5sin(1000πt-π/6),要求把它分解成一对复指数信号,并画出它的频率谱。
解:利用欧拉恒等式(2.15),正弦信号xsin(t)可展开为
式(2.20)右边有两个j在分母上,把前一个写成ejπ/2,移到分子上变成e-jπ/2;后一个1/j与前面的负号合起来,变成j,再变成ejπ/2。这样,式(2.20)变为
式(2.21)已经把正弦信号xsin(t)分解成了两个复指数信号,两者的模都是2.5,相位分别为-2π/3和2π/3,频率分别为±500Hz。正弦信号xsin(t)的频率谱可根据式(2.21)画出,如图2.13所示。这个频率谱也是线谱。本例题如果先把正弦函数改写成余弦函数,相位要减去π/2,结果是一样的,但会比较容易。
图2.13 正弦信号的频率谱
【例题2.4】根据图2.14中的频率谱,写出这个正弦量信号的时域表达式。
图2.14 一个正弦量信号的频率谱
解:从图中可知,该正弦量信号的振幅为100×2=200,频率为1.5kHz。如果表示为余弦信号,由式(2.14)可知,它的相位应该等于正频率的相位。由于1/j=e-jπ/2,余弦信号的相位就应该等于-π/2。如果表示为正弦信号,它的相位应该等于余弦信号的相位加上π/2,也就是等于零。所以,表示为正弦信号比较简单,即
式(2.22)可通过欧拉恒等式来验证
把式(2.23)与图2.14中的线谱比较,完全一样。
如果写成余弦信号,需在式(2.22)的正弦信号相位中减去π/2,即
小测试:在式(2.22)中,如果变量t以秒为单位,那么3000πt以什么为单位?答:弧度。
【例题2.5】要求画出余弦信号xcos(t)=16cos(200πt+30°)的频率谱。
解:利用欧拉恒等式把余弦信号改写为
式(2.25)表示,余弦信号xcos(t)的频率谱由正、负频率的两条谱线组成,它们的幅值都等于8,频率等于±100Hz,相位等于±π/6。根据上式,可以画出余弦信号xcos(t)的幅值谱和相位谱,如图2.15所示。
图2.15 余弦信号的频率谱
【例题2.6】根据图2.16a中的频率谱,写出这个信号的时域表达式,并画出波形。
图2.16 由两个正弦量函数组成的信号
a)信号的频率谱 b)信号的时域波形
解:图2.16a中的信号在5kHz和10kHz的频率点上各有一个正弦量信号,把这两个正弦量信号用余弦信号表示比较容易(表示为正弦信号,相位需增加π/2)。5kHz频率点上的信号可写为
10kHz频率点上的信号可写为
所以图2.16a中正弦量信号的时域表达式为
由于x1(t)和x2(t)的频率不同,式(2.28)已无法化简。在图2.16b中画出了x1(t)、x2(t)和x(t)三个信号的时域波形。由图中可知,由于x1(t)与x2(t)的频率不同,叠加后的信号就不再是正弦量信号[叠加后的重复频率等于x1(t)和x2(t)频率的最大公约数,这里是5kHz]。需要知道,只有两个同频率的正弦量信号叠加后,才仍然是正弦量信号,而且频率也不变。