2.1.1 放大器——杜芬方程电路

经典电子电路在某种意义上分为放大器电路与振荡器电路，这是人类信息学的发展历史赋予电子学的光荣使命。20世纪20年代，范德波尔、杜芬、李纳德三人进行了电子学基础理论开创性的研究[12]，目标是进行电子学基础的数学严格性证明，并以R、L、C线性电路元件作为基础元件建立数学模型。当时出现的真空电子管非线性电路元件能够解决电子学的技术基础问题，但是当务之急是从理论上证明极限环存在定理问题，所以三人的研究工作都涉及三次型非线性的数学问题，因此混沌问题的涉及无论是理论上还是技术上都是不可避免的事情了。本节将讨论杜芬方程的混沌问题，主要是杜芬混沌电路的实现[18]，还附带讨论杜芬方程中的美学问题。

实现杜芬方程的电路原理图，如图2.1所示。杜芬方程的电子学历史背景是电子管，集成电路是20世纪60年代的事情，这里直接给出由集成电路运算放大器构成的杜芬方程电路。

首先进行电路设计软件EWB电路仿真，按照图2.1搭建电路并设定参数，然后按照图2.2连接仿真测试电路，得到的EWB软件仿真相图如图2.3所示。其中仿真信号源的信号是正弦波，频率为314Hz，振幅为2.2V。

杜芬方程动态电路状态方程的一元二次与二元一次形式分别为

式（2.1）的表述风格不是电子学中常用的表述风格，而是典型的数学表述风格，称为归一化微分方程。由于没有物理量单位与物理量量纲，电子学技术工作者不太喜欢这种风格，喜欢带物理量纲的风格。

从电子学的角度来看，式（2.1）的等号右端是正弦波电压信号源的电压变化物理量，与放大器的输入端连接，等号左端的x是放大器输出端放大后的电压变化物理量。在电子学设计者看来，这个放大电路在等号左边应该只有一项-bx，但却多出来了ax3，说明这个电路是非线性的。多出来x的一阶微分与二阶微分，说明这个放大器有一次响应与二次响应，形成放大器输出的相位改变与应激振荡。这些问题正是电子学初创时期面临的重要问题。

本章内容以电路设计为主，也给出简单的电路分析。电路设计以EWB软件电路仿真与物理电路实验为基础，电路分析用VB数值仿真作为工具。

VB仿真是对于式（2.2）的仿真，具体程序编写的过程参见第5章5.1节。仿真输出相图如图2.4所示，其中横坐标是电压物理量x，纵坐标是电压量y。由图2.4可见该电路是混沌的，图2.4是常见的混沌图形。

VB仿真波形输出如图2.5所示，三条对应的曲线分别是电压x、电压y与外加正弦信号源电压Acost。

本章不深入讨论美学问题，但是这一节是本章的一个特例，介绍杜芬方程的美学形态。

电路其他输出形式包括相图、波形与相图混合图形、庞加莱截面图等。电路输出波形图2.5还没有艺术性，但下面要从本图开始进行艺术分析。选取图2.5中的y波形图，展开成很长的单曲线，将这条很长的单曲线按一定的长度剪开并叠放，如图2.6和图2.7所示，已经具有优美的艺术图形特点了。

杜芬方程解的相图如图2.8所示，这是经过局部加工的，产生图2.8的公式是

图2.8中的横坐标是cost，纵坐标是y。

波形图与相图混合后如图2.9所示，将其倾斜后如图2.10所示，这是西方美术界波普艺术家赛·托姆布雷的美术作品的风格与来源。

图2.11所示为杜芬方程庞加莱截面图，图2.12是图2.11的12个截面［具体做法是将式（2.3）的余弦周期360°分成12份分别作庞加莱截面］，它们具有爱歇尔的美术风格并且有所超越。图2.12产生了一个艺术造型，好像一个滑稽小动物翻筋斗，经过360°的翻筋斗，图形旋转360°，相图旋转720°。请读者细心看，因为这是艺术欣赏，不再详细说明。