03　找到漏洞

我和莱文在才华横溢的业余数学家罗伯特·安曼（Robert Ammann）未发表的作品中发现了解开彭罗斯平面填充秘密的重要线索。

安曼是一位不同寻常的隐士。他才华横溢，20世纪60年代中期被布兰迪斯大学录取，但他只上了3年大学，在此期间很少离开自己的房间。学校行政部门最终开除了他，而他此后也未获得任何正式的学位。

之后，安曼自学了计算机编程，并获得了一份低级计算机程序员的工作。但在公司裁员期间，他的职位被取消了，所以他又在邮局找了一份分拣邮件的工作，这是一种不需要太多人际交往的工作。安曼的同事认为他沉默寡言，非常内向。

邮局工作人员可能永远不知道的是，安曼是一位数学天才。私下里，他与学术巨星罗杰·彭罗斯和约翰·康韦一样，都喜欢娱乐数学。安曼谦虚地称自己是一名“有数学底子的业余玩家”。

我和莱文在一本不太知名的期刊中读到两篇短文，偶然发现了安曼的观点，这两篇短文的作者是伦敦大学材料科学教授、晶体学家艾伦·麦凯（Alan Mackay）。麦凯和我们一样，也痴迷于二十面体、彭罗斯平面填充以及被禁阻的五重对称性物质。他的两篇论文与其说是研究论文，不如说是思辨论文，都阐述了他对这个问题的一些概念性思考，其中两张插图引起了我们的兴趣。

在图3-1中，麦凯展示了一对菱面体。我和莱文已经非常熟悉这些三维形状了。它们明显是宽菱形和窄菱形的三维类似物，两者可用于创建二维彭罗斯平面填充。麦凯似乎和我们走在同一条路上。

然而，我们失望地发现，麦凯的论文没有提及任何可以阻止三维建构模块形成周期性晶体结构的匹配规则。对于我和莱文来说，找到那些特殊的匹配规则至关重要。没有它们，原子仍然能够排列成许多普通晶体结构中的任何一种，但无法形成我们希望发现的不可能的结构。

麦凯在论文中展示的第二幅插图也引起了我们的兴趣。这是一张关于X射线衍射图像的照片，这种图像是通过激光照射彭罗斯平面填充产生的。从这张照片中可以清楚地看到，复杂的衍射图像包括一些角度相当精确的针点，其中一些在十边形的角上，一些在五边形的角上。不过，我们无法确定这些针点是具有精确的角度还是稍微有偏离，抑或它们沿着完美的直线排列。

对于像我和莱文这样的物理学家来说，这些细节至关重要。如果这些针点角度精确，且沿着完美的直线排列，可以排列成完美的正十边形和正五边形，那将会呈现出一幅前所未有的X射线衍射图像。当然，这也意味着发现了一种前所未有的原子排列方式。这是第一种可能性。

然而还存在第二种可能性，它们如果是排列不规整且角度有偏离的针点，就没有那么令人兴奋了。这只表明相对应的原子排列是有序和无序的混合，类似于我和戴维·尼尔森已经研究过的排列，并不是一种新的物质形式。

显然，第一种可能性意味着一些真正新颖的东西，是我和莱文所期盼的。然而，当我们联系麦凯询问匹配规则和衍射图像的精确数学原理时，他没有给出答案。麦凯解释说，数学不是他的强项。因此，他不知道如何证明彭罗斯平面填充的衍射针点角度是完全精确的还是有些偏离。令人感到遗憾的是，他说自己只有一张照片，无法保证精确度。因此，他不能确定衍射图像的特征。

麦凯还告诉我们，他在论文中讨论的两种菱面体并不是自己创造的，它们源自一位名叫罗伯特·安曼的业余爱好者的作品。这是我们第一次听到有人提到这位神秘的天才，除了与《科学美国人》杂志的娱乐数学专栏开创者马丁·加德纳有交流之外，安曼很少与人来往。麦凯建议我们联系加德纳寻求帮助。

莱文立即写信给加德纳，加德纳又让我们去找布兰科·格伦鲍姆（Branko Grunbaum）和杰弗里·谢泼德（Geoffrey Shephard），他们正在写一本即将出版的关于平面填充的书，书中收录了安曼的一些巧妙发明。从他们那里，我们发现安曼已经独立发现了使菱形强制产生五重对称性的匹配规则，类似于彭罗斯的发现。令人难以置信的是，他还发明了另一套具有匹配规则的图形，可以强制实现同样不可能的八重对称性。

安曼不是一位训练有素的数学家，他没有提供任何证据证明自己提出的匹配规则是有效的，也从未写过相关的科学论文，他只是凭直觉知道应该这样做。

加德纳还为我们找来了安曼的一些笔记，其中阐述了他对二十面体对称性的建构模块的想法。这个想法也没有经过严格的证明，以及没有任何令人信服的论证。

几年后，我和莱文设法在波士顿找到了这位神秘的天才，并成功吸引他来费城看我们。安曼和我想象的一样聪明。他那些充满创造性的几何思想和有趣的猜想，虽然从未发表过，但结果往往正确无误。其中一些想法，比如出现在麦凯插图中的菱面体的想法，是我和莱文经过独立的辛苦工作和论证才发现的。然而对于安曼来说，一切都靠直觉。令人感到遗憾的是，几年之后安曼去世了，我和莱文再也没有见过他。

对于我和莱文而言，安曼最具影响力的发明是，提出了以自己名字命名的“安曼线条”（Ammann bar），以说明一条解释力极强的匹配规则。根据图3-2中虚线所示的精确格局，安曼在每个宽菱形和窄菱形上画了一组线条。

安曼的匹配规则是，只有当一块地砖上的安曼线条能够笔直地沿着另一块地砖任何一边的安曼线条延伸下去，这两块地砖才能相互连接在一起。这就产生了与彭罗斯的丝带或互锁装置相类似的约束。所以，初看之下，这没什么了不起的。

然而，如果你仔细观察就会发现，安曼线条改变了一切。我和莱文发现，这些线条揭示了彭罗斯平面填充的一些玄机，连彭罗斯自己都没有意识到。这一发现让我和莱文进入了一个充满不可能对称性的新世界。

我和莱文观察到，当地砖按照匹配规则连接在一起时，单个的安曼线条连接起来形成安曼线（Ammann line），这些安曼线以直线的形式延伸穿过整个平面填充。图3-3显示了该平面填充和叠加于平面填充之上交叉排列的笔直安曼线，该阵列由5组不同方向的平行线组成。

我和莱文发现，这5组平行线中的每一组都是相同的，而且每组交叉的线条之间的角度与五边形相邻边的夹角完全相同。这是我们所能想象到的最简单的证据，证明该平面填充具有完美的五重对称性。

对于我和莱文来说，这绝对是激动人心的时刻。现在，我们非常确定地知道，我们正朝着一个发现前进，而它与几个世纪前阿维和布拉维提出的晶体学定律完全相悖。我们确信，安曼线提供了避开那些既定定律的线索，并解释了彭罗斯平面填充中神秘的对称性。不过，我们仍然需要破译安曼线的含义。

破译的关键是只关注5组平行线中的一组，比如图3-4中用粗线表示的一组。我们可以看到，平行的安曼线之间的通道被限制为两种可能的宽度之一，我们用W（宽）和N（窄）表示。对于我们来说，最重要的两点分别是两个通道宽度之间的比值和它们在模式中重复的频率。我们将揭示这两个特征——比值和序列，它们与两个非常著名的数学概念有关，分别是“黄金分割率”和“斐波那契数列”。

黄金分割率在自然界中随处可见，自古以来常被运用于艺术创作之中。古埃及人用它来设计伟大的金字塔。据说在公元前5世纪，古希腊雕塑家和数学家菲狄亚斯（Phidias）根据黄金分割率在雅典建造了帕台农神庙，它被认为是古希腊文明的标志。黄金分割率有时用希腊字母ф表示，读作“phi”，以纪念菲狄亚斯。

对于黄金分割率，古希腊数学家欧几里得借用一个简单的物体给出了有记录以来最早的定义。他曾考虑如何把一根棍子掰成两段，使得短段与长段之比等于长段与棍子总长之比。他的解决方法是较长的一段必须正好是较短一段长度的ф倍，其中ф是一个无限不循环小数，其值为：

ф是一个无限不循环小数，无限不循环小数被称为无理数，因为它们不能用整数的比值来表示。这与有理数形成对比，比如2/3或143/548等有理数，它们是整数的比值，其十进制形式为0.333和0.260 948 905 109 489 051 09，如果小数点后面保留的位数足够多，就会看到它们有规律地重复着。

对于我和莱文来说，在彭罗斯平面填充的五重对称性中发现黄金分割率并不奇怪，因为黄金分割率本身与五边形的几何形状直接相关。例如，在图3-5a中，连接五边形一组对角的一条线的长度与五边形一条边的长度之比为黄金分割率。如图3-5b所示，二十面体中同样存在黄金分割率，它的12个角形成3个垂直的矩形，每个矩形的长、宽之比等于黄金分割率。

然而，令我和莱文感到吃惊的是，前面提到过的W和N通道序列中也存在黄金分割率。

考虑一下图3-6中标出的W和N的通道序列。W和N通道永远不会有规律地重复出现。如果数一数图中W和N的个数，然后计算出W和N的个数比例，你就会发现前3个通道的比例是2∶1，前5个通道的比例是3∶2，前8个通道的比例是5∶3……

有一个简单的算法可以生成这个序列。首先思考一下第一个比例，2∶1，将这两个数字相加（2+1=3），然后将总和（3）与原来两个数字中较大的一个（2）进行比较，这个新的比例是3∶2，这也是通道序列中的下一个比例。将接下来的两个数字相加（3+2=5），再一次将这个数字与前面两个数字中较大的一个进行比较，结果是5∶3。你可以无限期地继续这个过程，以获得8∶5，13∶8，21∶13，34∶21，55∶34等。这些比例能精确地预测出安曼通道构成的序列。

我和莱文立刻认出了这个整数序列：1，2，3，5，8，13，21，34，55，……这被称为斐波那契数列，数列的名称是以13世纪居住在比萨的意大利数学家列奥纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）的名字命名的。

斐波那契数列之间的比例相继为2∶1，3∶2，5∶3，……它们都是整数的比例，因此都是有理数。斐波那契数列的一个著名特征是，随着整数越变越大，比值越来越接近黄金分割率。这就是斐波那契数列和黄金分割率之间的联系。

事实证明，以W和N模式再现斐波那契数列的唯一方法是，让W以比N更高的频率重复，就像彭罗斯平面填充，向各个方向延伸，其倍数正好等于黄金分割率，这是一个无理数。简而言之，这就是彭罗斯平面填充的奥秘。

由两个以不同频率重复的元素组成的序列，其元素出现的频率的比值是一个无理数，这样的序列被称为“准周期序列”。一个准周期序列永远不会出现相同的重复。

例如，斐波那契数列中没有哪两个通道周围的W和N模式是相同的，尽管在某些情况下只有看得足够远才能发现差异。这同样适用于彭罗斯平面填充。如果仔细观察，你会发现没有哪两个填充图形的周边结构是完全相同的。

我和莱文终于可以准确地指出阿维和布拉维提出的长达几个世纪的定律中存在的漏洞。晶体学的基本定律是：如果填充图形或者原子的排列图案是周期性的，以单一的重复频率出现，那么只有某些特定的对称性是可能的。特别是，对于周期性的原子排列来说，沿任何方向的五重对称性都是不可能的，我们可以称之为第一种不可能，即绝对不可违反，就像一加一永远不可能等于三一样。

然而，科学家向一代又一代的学生断言，任何类型的物质都不可能具有五重对称性，这其实是第二种不可能。这种说法基于一种并非总是有效的假设。在这种情况下，物理学家和材料科学家在没有证据的情况下，假设所有有序排列的原子都是周期性的。

我和莱文现在明白了，彭罗斯平面填充虽然是有序排列的几何案例，但不是周期性的。它是准周期性的，精确地来说就是，它具有以两种不同频率重复的填充图形或原子，重复的次数之比是无理数。这就是我们一直在寻找的漏洞。科学家一直假设原子在物质中总是呈周期性或随机性排列，而从未考虑过准周期排列。

如果真实的原子可以以某种方式排列成一种模式，以两种不同的频率重复，这两种频率的比例是无理数，那么它将是一种全新的物质形式，突破了阿维和布拉维建立的规则。

这一切看起来如此简单却又如此深刻，就好像一扇新的窗户神奇地出现在我们面前，这扇窗户只有我和莱文能看透。我知道，远处是一整片潜在的待突破领域。目前，这片土地是属于我们的，只有我俩可以探索。