第1章 期权概要

期权定价模型

所有模型都是错误的，科学家要关心什么是重要的错误。当外面有老虎时，担忧老鼠就不合适了。

——乔治·博克斯[1]

有些模型存在微小错误。它们显然与真实的金融市场不符。举个例子，将标的收益作为价格变量输入的期权定价模型就是微小错误。这点可以从认沽认购平价关系（put-call parity）中推导出来。想象一个收益率为正的股票，它自然提高了认购期权价值，降低了认沽期权价值。但是认沽认购平价关系意味着如果认购期权价值提高，那么认沽期权价值也会提高。因此，模型中包含股票价格的变动就会导致矛盾。这就是模型中的微小错误。

每个科学模型都包含简化假设，实际上简化假设没有本质错误。科学模型有很多种形式，很多因素导致科学家使用他们明知错误的简化模型。

使用错误理论的原因之一是简单的理论（即便错误）正是所需的一切。我们知道经典力学是有错误的（微观宇宙需要用量子力学，高速运动和极大质量物体需要用相对论），但是并不妨碍这一理论被广泛使用。金融中的典型例子是收益率正态分布假设。很少有人会认为真实的收益率就是正态分布。交易员们早就了解极端的价格变动，此外，Osborne、Mandelbrot等人从20世纪50年代就开始研究收益率的非正态分布（Mandelbrot引用了Mitchell、Olivier、Mills的研究，虽然这些研究都不太有名）。早期的金融学家假设收益率正态分布的主要原因是让方程变得易于处理。

有时科学家通过延伸类比来进行推理。比如，爱因斯坦首先通过假设晶体是一种理想的气体来开始他对晶体的热能研究。他当然知道事实并非如此，但是他认为这种思路可以带来一些有用的结论。他必须得先从一个地方开始着手，哪怕可能是错误的。这类模型是比喻性的。比喻性的模型并不试图刻画现实，也不需要依赖可信的假设。比喻性模型的目标是解释模型之外的重要机制。

一些模型旨在用数学方法刻画典型特征，但并不需要理解更深层次的起源。波动率的GARCH模型是描述现象的，并没有告诉我们为什么GARCH效应存在。这类模型被用来描述特定的特征，因此会忽略别的一些方面。比如GARCH模型对买卖价差的形成没有任何解释。GARCH模型是有局限性的，但并不是错误的。

最宏大的模型试图刻画真实的现实。例如，物理学家认为真实的原子就是由原子核和围绕它的电子构成。但是他们仍然需要简化假设。比如，他们需要假设原子不受重力影响，同时方程只有在容许微小错误的情形下才有解。期权的BSM模型就属于这一类型。

但是BSM模型根本不是这么用的。

模型发明者设想模型是用来找到期权公允价值的。交易员输入标的资产的价格、行权价、利率、到期日和波动率，模型会告诉他们期权的价值。问题是波动率必须是期权整个存续期间的波动率，一个未知参数。尽管让交易员预测期权的未来波动率是可能的，但是市场的其他参与者也会有自己的预测。期权的市场价格是基于所有人的预测。这就是期权的隐含波动率，一个基础参数。交易员一般不认为BSM模型可以预测价值，而只当它是一种无套利模型，可以将快速变换的期权价格转换为隐含波动率这一慢变量。对大多数交易员来说，BSM不是预测模型，而是简化工具。

这并不是说BSM不能作为模型来获得期权公允价值，它当然可以，但是事实上期权交易员们都用波动率方式来思考。他们会比较隐含波动率和他们预测的波动率，而不是用预测的波动率来给期权定价，然后再和市场价格比较。通过反向使用BSM模型，这些交易员从把期权价格变成慢变量中受益。

我们需要根据模型使用情况来评估模型假设的影响。尽管假设使得模型没那么接近现实，但这并不重要。模型不是因为接近现实而被使用，而是因为有用而被使用。

当然，我们可以在没有任何定价模型的情况下交易期权。这是大部分从事方向性交易的期权交易员的做法。我们也可以在没有模型的情况下交易波动率。交易员可能会卖出跨式期权，因为他们判断期权到期时，标的资产价格将更靠近构建跨式的期权行权价格。然而，除方向性交易或推测到期日价格的交易外，如果开展其他交易，我们就需要一个模型。

BSM模型仍然是期权定价模型的基准。BSM模型从1973年开始被使用，其先驱可以追溯到Bachelier和Bronzin。在科学理论上，这个年份让它如同恐龙一样古老。正如恐龙在长达1.6亿年的时间里都是主宰地球的物种一样，BSM模型也因其优越性而长存。

我们需要期权定价模型，主要基于两方面原因。

第一个原因是我们可以将众多快速变化的期权价格转变为慢变量。期权定价模型不是真的给期权“定价”。市场通过供需这种常规市场力量来给期权定价。定价模型将期权价格转变为参数。具体来说，BSM模型将期权价格转换为隐含波动率这一参数。现在我们可以在隐含波动率层面做所有的分析和预测。如果BSM是完美的模型，我们可以得到一个常量参数。

第二个原因是期权定价模型可以计算需要对冲的Delta。无模型的波动率交易是存在的。跨式交易（或者宽跨式、蝶式、鹰式等）都让头寸主要暴露在已实现波动率中，但也暴露在价格漂移中。交易波动率最具说服力的理由是波动率比价格（漂移）更容易预测，消除价格风险敞口的唯一方式就是对冲。我们需要Delta来进行对冲，而Delta的获得需要模型。期权交易员判断什么是好模型时，Delta是最重要的考量标准。任何稍微有点价值的模型都会将众多期权价格归至少量的参数，但是一个好模型可以让我们通过Delta对冲，获取波动率溢价。

在本章中，我们会探讨BSM模型并研究其是否符合上述标准。我这里指的BSM模型是偏微分方程而不是欧式标准期权的特定解法。特定的边界条件和解决方案不是此处的考虑重点。

很多地方都能看到BSM的推导，这里我们主要探讨模型的使用。