1.3.2 有符号二进制数的表示

前面只考虑了无符号二进制数，当算术运算涉及正、负数时，就需要用有符号的二进制数。在日常生活中，我们通常在一个数的前面用“+”表示正数，用“−”表示负数。但数字系统只能识别0和1，那么，在数字系统中如何表示正、负数呢？

数字系统中通常正、负号也用0和1来表示，即将数的符号数值化，如图1.3.1所示。左边的最高位为符号位（通常用0表示“+”，用1 表示“−”），其余位为数值位。根据数值位的编码方式，有符号数又分为原码、反码和补码等不同的表示方法，其中补码是数字系统中使用最多的一种编码。下面分别进行介绍。

1.原码

在原码表示中，数值用其绝对值的二进制数形式表示。这种表示方法又称为符号—数值（Sign-Magnitude）表示法。例如：

X1=+105=+(110 1001)B,(X1)原=(0110 1001)B

X2=-105=-(110 1001)B,(X2)原=(1110 1001)B

可见，用原码表示时，+105和−105的数值位相同，而符号位相反。

数0有两种不同的原码表示：

(+0)原= (0000 0000)B,(-0)原= (1000 0000)B

原码表示简单易懂，而且转换为十进制数很方便，实现加、减运算却比较麻烦。例如，两个同符号数进行减法运算时，需要根据两数的大小确定被减数和减数，以及运算结果的符号。为了简化运算器的结构，把减法运算转换为加法运算，补码的概念被引入。补码与反码之间有一定的运算关系，我们先介绍反码。

2.反码

国外教材常将反码称为“1的补码”（1's Complement）。在反码表示中，正数的反码和原码相同，而负数反码的符号位为1，数值位为其绝对值按位取反（即将1翻转成0，将0翻转成1）。例如：

X1=+105=+(110 1001)B,(X1)反=(0110 1001)B

X2=-105=-(110 1001)B,(X2)反=(1001 0110)B

可见，正数的反码和原码相同。

数0也有两种不同的反码表示：

(+0)反= (0000 0000)B,（-0)反= (1111 1111)B

3.补码

国外教材常将补码称为“2的补码”（2's Complement），也称为“基数补码”。在补码表示中，正数的补码和原码相同，而负数补码的符号位为1，数值位为其绝对值按位取反，并在最低位加1。或者说，负数的补码为其反码加1。例如：

X1=+105=+(110 1001)B,(X1)补=(0110 1001)B

X2=-105=-(110 1001)B,(X2)补=(1001 0111)B

二进制数的补码

补码解决了原码和反码中数0的编码不唯一的问题。0的补码表示是唯一的，即(+0)补=(-0)补= (0000 0000)B。

求负数补码的另一种简便方法：先求出负数的原码，再从右边的最低位向左边的最高位扫描，保留直到第一个“1”的所有位不变，之后数值位的各位按位取反，保留符号位不变。

例1.3.5 求-90的8位二进制补码。

解 +90的原码为(0101 1010)B，将最高位即符号位改为1，得到-90的原码：(1101 1010)B。

再求-90的补码。从右向左扫描，保留右边的两位（10）不变，对其左边的数值位按位取反，并保留符号位不变。最后结果为

(-90)补= (1010 0110)B

如果按照前面的方法，求出(-90)反= (1010 0101)B，反码加1就得到补码，即(-90)补=(1010 0110)B，可见，结果相同。

例1.3.6 求-1的8位二进制补码，然后对-1的补码再次求补。

解 因为(-1)原= (1000 0001)B，使用从右向左扫描的方法，保留最低位的1不变，对其左边的数值位按位取反，并保留符号位不变。得到：

(-1)补= (1111 1111)B

((-1)补)补= (1111 1111)补= (1000 0001)B= (-1)原

可见，对一个整数的补码再次求补，得到该整数的原码。

4位有符号二进制数的原码、反码和补码对照表如表1.3.1所示。对于-0和+0，原码和反码是不同的4位二进制数，而补码则是相同的。因此，它们表示的数值范围分别为原码-7～+7、反码-7～+7、补码-8～+7。

一般来说，n位有符号二进制数的原码、反码和补码都有一位用来表示符号，剩余的（n - 1）位表示数值。因此，它们表示的数值范围分别为

原码 -(2n-1- 1)～ + (2n-1- 1)

反码 -(2n-1- 1)～ + (2n-1- 1)

补码 -2n-1～ + (2n-1- 1)