1.1.4 流体流动的控制方程

流体流动要受物理守恒定律的支配，基本的守恒定律包括质量守恒定律、动量守恒定律和能量守恒定律。

如果流动包含不同成分的混合或相互作用，那么系统还要遵守组份守恒定律。如果流动处于湍流状态，那么系统还要遵守附加湍流输运方程。控制方程是这些守恒定律的数学描述。具体的描述如下。

1.质量守恒方程

任何流动问题都满足质量守恒定律，该定律可表述为：单位时间内流体微元体中质量的增加，等于同一时间间隔内流入该微元体的净质量。按照这一定律，可以得出质量守恒方程：

该方程是质量守恒方程的一般形式，适用于可压缩流动和不可压缩流动。源项S_m是从分散的二级相中加到连续相的质量，也可以是任何自定义源项。

2.动量守恒方程

动量守恒定律是任何流动系统都必须满足的基本定律。该定律可表述为：微元体中流体的动量对时间的变化率等于外界作用在该微元体上的各种力之和。该定律实际上是牛顿第二定律。其计算公式为

式中，p为静压；τ_ij为应力张量；g_i和F_i分别为i方向上的重力体积力和外部体积力（如离散相互作用产生的升力），F_i包含其他的模型相关源项，如多孔介质和自定义源项。

应力张量为

3.能量守恒方程

能量守恒定律是包含热交换的流动系统必须满足的基本定律。该定律可表述为：微元体中能量的增加率等于进入微元体的净热流量加上体积力与表面力对微元体所做的功。该定律实际上是热力学第一定律。

流体的能量E通常是内能i、动能和势能P三项之和，内能i与温度T之间存在一定关系，即i=c_pT，其中c_p是比热容。由此可以得到以温度T为变量的能量守恒方程：

式中，c_p为比热容；T为温度；k为流体的传热系数；S_T为流体的内热源及由于粘性作用流体机械能转换为热能的部分，有时简称S_T为粘性耗散项。

虽然能量方程是流体流动与传热的基本控制方程，但对于不可压缩流动，热交换量小到可以忽略时，可不考虑能量守恒方程。此外，它是针对牛顿流体得出的，对于非牛顿流体，应使用其他形式的能量守恒方程。