无输入问题和巴比伦的零

没有足够多的小数字来满足由它们产生的众多需求。15

——盖伊（Richard K. Guy）

这些进展并不是没有问题。巴比伦的计数系统实际上是一个位值系统和加法计数系统的混合物，因为标记 60 的各个幂的数符仍以加法形式表示。如果 60 的一个阶和下一个阶之间没有留下足够间隔，就会产生模棱两可的情形。例如，表示 610[ = [10; 10] = (10 × 60) + 10] 的符号容易错读成表示 10 + 10 的符号，见图 1-13。

图 1-13　表示 610 和 20 的巴比伦形式容易混淆

这通常以明显地分开 60 的不同阶来处置。最终，分隔符的引入使这些间隔变得明确。它由两个楔形符号组成，其中一个在另一个之上，如图 1-14 所示。

图 1-14　巴比伦人首先引入一个分隔符来标记数字表示式中的间隔。它们形如两个重叠的楔形，倾斜摆放。此例在一块记录天文观测的刻写板上找到，其日期在公元前 3 世纪末和公元前 2 世纪初之间

如果在一个数位上根本没有输入字符，那么解释起来会更困难。留间隔会显得更复杂且不易说明。请想象一下，假如我们的计数系统没有零符号而仅依据小心地留间隔来区别 72（七十二）和 7 2（七百零二）。由于要与不同书写式样做斗争，所以如果人们必须区分 7 2（七千零二）以及 72 和 7 2，便会有许多令人烦恼的问题产生。需要留的间隔越多，判断就变得越困难。16这便是为什么位置计数系统最终需要创造一个零符号，用位置表示法来表示数中的一个空隙。巴比伦人的商业系统越是复杂，这样做的迫切性就越大。差不多有 1500 年，巴比伦人在自己的 10 或 60 的不同幂次的记录中不使用符号表示“没有输入”，而只是留下一个间隔。成功的发展需要他们正确体会自己正在处理的天文学和数学问题的数量级，以便能容易地发觉结果与预期答案的大差异。

巴比伦人解决无输入问题的办法是使用旧分隔标识符号的一个变种来标记“在某一特定位置上没有输入”。这出现在公元前 4 世纪的文字中，但由于缺乏更早的文献，而某些确实存在的文献可能是更早原著的复制品，所以这种方法也许再早一个世纪便已存在了。使用巴比伦的零符号的一个典型例子如图 1-15 所示，其中，数 3612 = 1 × (60 × 60) + (0 × 60) + (1 × 10) + 2。

图 1-15　使用巴比伦的零符号的一个例子。公元前二三世纪，人们在书写数 3612=(1×60×60)+(0×60)+(1×10)+2 时使用了零符号

巴比伦天文学家17还在一个字符串的末端大量使用零符号，而且我们找到了把 60 写成如图 1-16 所示，以将它与 1 区别开来的一些例子。

图 1-16　如这里所示，一个天文记录中数 60 还被用于数字串的末端

我们开始了解巴比伦的零如何以类似于我们的计数方式起作用。犹如位置符号，它一开始被巴比伦数学家用于速记，因此它也被巴比伦天文学家广泛使用。而且，正是由于巴比伦天文学的极端重要性和持久性，他们的计数系统在许多个世纪以后仍保持了很大的影响力。

这便是巴比伦文明发展的顶点：人类文化中第一个表示零的符号。回想起来，对他们的计数系统来说，这是一个如此直截了当的附加物，因而令人迷惑不解的是，巴比伦人为什么要花费超过 15 个世纪才从一种位置记数法的关键一步过渡到具有一个显式零符号的计数系统？

然而，不应把巴比伦的零与我们的零完全等同起来。对把重叠楔形符号铭刻在黏土制刻写板上的书写者来说，这些符号在账目记载中只不过意味着一个“间隔”而已。没有一点点涉及巴比伦“无”的意思。他们的零符号从来不作为 6 - 6 之类的算术题的答案。它也从来不用于表示一次什么都没留下的运算的终点。这样的终点总是用文字说明。我们也没有发现巴比伦的零本身同形而上学的“虚无”概念纠缠在一起。数字里完全没有抽象地夹杂着任何神秘的东西。18他们是非常好的会计。