1.4 模糊控制发展概况
二十世纪八十年代中期至今，模糊控制，特别是基于T-S模糊模型的模糊控制，为非线性系统提供了一种概念简单、系统有效且具有严格数学分析的系统化设计方法。模糊概念是Zadeh教授于1965年在其著名论文Fuzzy sets中首次提出的[48]。模糊集合理论打破了经典集合理论中属于和不属于的绝对界限，通过引入模糊隶属度函数刻画介于属于和不属于中间的情形。之后，在模糊集合的基础上，Zadeh教授在1972年进一步提出了模糊控制的基本概念与基本原理[49]。模糊控制应用先河是由英国学者Mamdani于1974年开创的，他通过构建模糊控制规则，将模糊控制方法应用于实验室锅炉蒸汽机系统，获得了优于传统PID的控制效果[50]。自此模糊控制迅速发展并得到了广泛应用。
常见模糊模型主要有Mamdani模糊模型和T-S模糊模型两种。Mamdani模糊模型是在1974年由Mamdani首次提出的[50]，其主要思想是通过模拟人的思维方式，总结其对复杂对象的认知，对无法建立精确数学模型的复杂对象施加一种基于模糊推理规则的智能控制策略。该模糊模型通常由若干模糊规则构成，模糊规则的前件和后件均为模糊量，具有标准模糊化处理、模糊规则库、模糊推理和去模糊化四个部分。显然，作为一种经典模糊逻辑控制，Mamdani模糊模型存在两大不足，一是缺乏一套系统而有效的方法来获取知识，只能基于知识或经验获得，费时且难以得到满意的结果；二是缺乏完整的理论体系，难以保证系统稳定性等基本要求。为了使模糊控制器具有适应环境或过程参数变化的能力，并克服由于人的知识与经验获得模糊规则的主观性和局限性，一种可行的方法是采用具有自适应和自学习功能的模糊控制器。但自学习型模糊系统仍是传统模糊系统，为了更精确地逼近系统的复杂动态，会使得这类模糊系统包含十分庞大的模糊规则数。考虑到机械系统具有清晰的机理模型知识，如果这些模型知识能加以有效利用，将有助于提升模糊模型的逼近性能及相应控制性能。为此，T-S模糊模型应运而生，该模糊模型是由Takagi和Sugeno于1985年提出的[51]，其模型模糊规则前件是模糊量，后件是精确量的线性表达式。与Mamdani模糊模型相比，T-S模糊建模所需的模糊规则数大大减少，有利于信息的系统化表示与运算。该模糊模型的主要思想是通过模糊隶属度函数，将不同规则下的局部线性映射“插值”整合起来，以实现全局非线性映射。已有文献证明：对于定义在任一紧致集上的非线性系统，T-S模糊模型能实现对其任意精度的逼近[52]。此性质被进一步推广到定义在开集上的非线性抛物型DPS[54]。
在基于T-S模糊模型的非线性控制系统稳定性分析的早期研究中，模糊规则后件是以线性多项式形式呈现的[53，55]。为了进一步利用线性控制系统理论结果，模糊规则后件为状态方程的T-S模糊模型在1999年被进一步提出[56]。基于T-S模糊模型的非线性控制系统分析方法的主要思想：先利用T-S模糊模型来精确描述非线性控制系统，然后基于该模糊模型设计模糊控制器，最后通过选择合适的Lyapunov函数来分析相应闭环系统的稳定性。运用这一套概念简单、系统化的设计方法，基于T-S模糊模型的非线性控制系统设计与分析涌现出大量研究成果[57～64]。针对不确定模糊控制系统，文献[58]研究了基于Lyapunov直接法的控制设计及其稳定性分析方法，主要包括鲁棒控制、分段控制、H∞控制及模型参考模糊自适应控制等。针对不确定非线性动力系统，文献[59]提出了一种基于Lyapunov直接法的模糊镇定控制设计方法，并给出了系统镇定的充分条件；文献[60]开发了一种基于T-S模糊模型的非线性控制策略，以解决具有最优H∞鲁棒性能的非线性控制系统模糊控制设计问题，并将非线性控制系统的模糊控制设计问题转化为LMI求解问题。在文献[60]的基础上，结合T-S模糊建模方法及LMI技术，文献[61，62]进一步研究了非线性控制系统的混合H2/H∞控制、模糊跟踪控制问题。
随着模糊控制技术的发展，基于T-S模糊模型的非线性控制技术已成功推广到一阶双曲型DPS[34，65～67，74]、抛物型DPS[33，68～87]及时滞非线性抛物型DPS[88～90]的模糊控制设计问题中。文献[68]将Galerkin法和T-S模糊建模方法相结合，研究了非线性抛物型DPS有限维受限模糊分布控制问题，并应用了奇异摄动理论分析闭环DPS的稳定性。在此基础上，文献[33]进一步研究了带有控制约束的非线性抛物型DPS有限维H∞模糊控制设计问题。文献[69]采用了点控制方式研究非线性抛物型DPS有限维H∞模糊输出反馈控制问题，并结合小增益定理分析了闭环DPS的稳定性。然而文献[33，68～70]的研究工作本质上是沿用抛物型DPS控制设计的第一种设计思路。为了克服上述抛物型DPS有限维模糊控制设计的不足，文献[65]在现有T-S模糊建模基础上提出了基于T-S模糊PDE模型的非线性一阶双曲型DPS时空模糊建模方法，并基于此时空模糊模型构建了空间连续分布模糊控制策略，利用Lyapunov直接法将模糊控制问题转化为空间微分LMI可行性问题。在文献[65]研究工作的基础上，进一步探讨了非线性一阶双曲型DPS受控制约束H∞分布模糊控制[34]、基于模糊PDE观测器的输出反馈保性能模糊控制[66]、静态输出反馈H∞分布模糊控制[67]，以及非线性抛物型DPS指数镇定分布模糊控制[71～73]。文献[74]系统地介绍了基于T-S模糊PDE模型的非线性DPS时空模糊建模方法，以及基于T-S模糊PDE模型的非线性一阶双曲型/抛物型DPS空间连续分布模糊控制设计问题。然而文献[34，65～67，71～74]的工作假设执行器连续分布在空间域内，这不仅增加了所提出控制算法的实现难度，还限制了应用范围。为此，文献[75～87]进一步探讨了非线性抛物型DPS空间离散分布模糊控制设计问题，其中文献[85～87]探讨了边界模糊控制设计问题，而文献[88～90]讨论了时滞非线性抛物型DPS空间离散分布指数镇定控制设计问题。但是上述研究工作仅关注非线性DPS模糊镇定控制设计问题。