1.2 Kalman滤波的背景

滤波就是在对系统可观测信号进行测量的基础上，根据一定的滤波准则，采用某种统计量最优方法，对系统的状态进行估计。所谓最优滤波或最优估计是指在最小方差意义下的最优滤波或最优估计，即要求信号或状态的最优估值应与相应真实值的误差的方差最小。经典最优滤波理论包括Wiener（维纳）滤波理论和 Kalman（卡尔曼）滤波理论：前者采用频域方法；后者采用时域状态空间方法。

经典Wiener滤波理论是由控制论创始人N.Wiener在20世纪40年代初（第二次世界大战期间）因研究火炮控制系统的需要而提出的，是一种频域滤波方法。它的基本工具是平稳随机过程谱分解。其缺点和局限性是要求信号为平稳随机过程，要求存储全部历史数据。滤波器是非递推的，计算量和存储量大，难以在工程上实现，不便于实时应用，仅适用于单通道平稳随机信号。人们试图将Wiener滤波理论推广到非平稳和多维的情况，都因无法突破计算上的困难而难以推广。

采用频域设计法是造成Wiener滤波器设计困难的根本原因。因此人们逐渐转向寻求在时域内直接设计最优滤波器的方法。Kalman在20世纪60年代初提出了Kalman滤波理论。Kalman滤波理论是一种时域方法。它把状态空间的概念引入随机估计理论，把信号过程视为白噪声作用下一个线性系统的输出，用状态方程来描述输入-输出关系，在估计过程中利用系统状态方程、观测方程和白噪声激励，即系统过程噪声和观测噪声，利用它们的统计特性形成滤波算法。由于所用的信息都是时域内的量，所以Kalman滤波不但可以对平稳的一维随机过程进行估计，也可以对非平稳的、多维随机过程进行估计。同时Kalman滤波算法是递推的，便于在计算机上实现实时应用，克服了经典Wiener滤波方法的缺点和局限性。

在实际应用中，Kalman滤波理论是统计估计理论的里程碑式的进展，同时也是20世纪最伟大的发现之一，成为众多电子系统体系中与“硅”一样不可或缺的元素。它最直接的应用是在复杂动态系统，例如连续制导过程、飞机、船舶、宇宙飞船等的控制上。为了实现对动态系统的控制，首先需要了解被控对象的实时状态。对于复杂动态系统应用，通常无法测量每一个需要控制的变量，而Kalman滤波理论能够利用这些有限的、不直接的、包含噪声的测量信息去估计那些缺失的信息。此外，Kalman滤波理论也被用于预测动态系统未来的变化趋势，如洪流流量、星体运动轨迹、商品交换价格等。