1.3.5 Kalman滤波衍生算法

Kalman最初提出的滤波基本理论只适用于线性系统，并且要求观测方程也必须是线性的。在此后的多年间，Bucy 等人致力于研究 Kalman 滤波理论在非线性系统和非线性观测下的扩展Kalman滤波（Extended Kalman Filter，EKF），扩展了Kalman滤波的适用范围。扩展Kalman滤波是一种应用广泛的非线性系统滤波方法。这种滤波的思想是将非线性系统一阶线性化后，利用标准Kalman滤波解决问题，存在的问题是线性化过程会带来近似误差。

1999年，S.Julier提出无迹Kalman滤波（Unscented Kalman Filter，UKF），中文释义还有无损Kalman滤波或去芳香Kalman滤波。它是以UT变换为基础，采用Kalman线性滤波的框架，摒弃了对非线性函数进行线性化的传统做法。对于一步预测方程，使用UT变换来处理均值和协方差的非线性传递，就成为UKF算法。UKF无须像EKF那样要计算Jacobian矩阵，无须忽略高阶项，因而计算精度较高。

Kalman滤波虽然应用范围广泛，设计方法也简单易行，但必须在计算机上执行。随着微型计算机的普及应用，人们对Kalman滤波的数值稳定性、计算效率、实用性和有效性的要求越来越高。由于计算机的字长有限，计算中的舍入误差和截断误差累积、传递会造成误差方差阵失去对称正定性，造成数值不稳定。在Kalman滤波理论的发展过程中，为改善Kalman滤波算法的数值稳定性并提高计算效率，人们提出平方根滤波、UD分解滤波等一系列数值鲁棒的滤波算法。

传统的 Kalman 滤波是建立在模型精确和随机干扰信号统计特性已知基础上的。对于一个实际系统，往往存在模型不确定性或干扰信号统计特性不完全已知等因素。这些不确定因素使得传统的Kalman滤波算法失去最优性，估计精度大大降低，严重时会引起滤波发散。近些年，人们将鲁棒控制的思想引入滤波中，形成了鲁棒滤波理论，比较有代表性的是H_∞滤波。

信息融合和神经网络也有其他的许多优点，与Kalman滤波的结合在控制和估计领域内也同样是一个重要的发展方向。

以上介绍了Kalman滤波的发展过程，相信随着科技的不断发展进步，其理论将不断完善，应用领域也将更加广泛。