2-3-1 微分
微分用于描述函数的变化率（Rate of Change），如y=2x+5，表示x每增加一单位，y会增加2。因此，变化率就等于2，也称为斜率；5为截距（Intercept），或称偏差（Bias），如图2.9所示。
图2.9 斜率与截距
我们先不管截距，只看斜率，算法为：取非常相近的两个点（距离h趋近于0），y坐标值之差（Δy）除以x坐标值之差（Δx），有
这就是微分的定义，但上述极限值（limit）不一定存在，其存在的要素如下：
（1）h为正值时的极限值等于h为负值时的极限值，亦即函数在该点时是连续的。
（2）上述极限值不等于无穷大（∞）或负无穷大（-∞）。
如图2.10所示的函数在x=5的地方是连续的，由上方（5.25）逼近，或由下方（4.75）逼近是相等的，相关彩色图形可参考02_04_微分.ipynb。
图2.10 连续函数
相反地，图2.11所示函数在x=0时是不连续的，逼近x=0时有两个解。
图2.11 不连续函数
接着来看看几个应用实例。
以下程序请参考02_04_微分.ipynb。
（1）试绘制一次方函数f（x）=2x+5。程序代码如下：
执行结果：如图2.12所示。
图2.12 一次方函数执行结果
由执行结果可以看出，一次方函数每一点的斜率均相同。
（2）试绘制二次方曲线f（x）=−10x2 +100x+5，求最大值。程序代码如下：
执行结果：如图2.13所示。由执行结果可以得到以下结论。
图2.13 二次方曲线执行结果
①一次方函数整条在线的每一个点的斜率都相同，但是二次方曲线上的每一个点的斜率就都不一样了，如图2.13所示，相关彩色图形可参考02_04_微分.ipynb。
● 绿线（细拋物线）：二次曲线，是一条对称的拋物线。
● 紫线（斜线）：拋物线的一阶导数。
● 红线（拋物线的切线）：三个点（2, 5, 8）的斜率。
②每一个点的斜率即该点与二次曲线的切线（红线），均不相同，斜率值可通过微分求得一阶导数（图中的斜线），随着x变大，斜率越来越小，二次曲线的最大值就发生在斜率等于0的地方，当x=5时，f（x）=255。
（3）试绘制二次方曲线f（x）=x2+2x+7，求最小值。程序代码如下：
执行结果：如图2.14所示。
图2.14 二次方曲线执行结果
由执行结果可得：斜率值可通过微分求得一阶导数（图中的斜线），随着x变大，斜率越来越大，二次曲线的最小值就发生在斜率等于0的地方，当x=-1时，f（x）=6。
综合范例（2）（3），可以得知微分两次的二阶导数（f＂（x））为常数，且为正值时，函数有最小值，反之，为负值时，函数有最大值。但若f（x）为三次方（以上）的函数，一阶导数等于0的点，可能只是区域的最佳解（Local Minimum/Maximum），而不是全局最佳解（Global Minimum/Maximum）。
（4）试绘制三次方曲线f（x）= x3−2x+100，求最小值。程序代码如下：
执行结果：如图2.15所示。由执行结果可以得到以下结论。
图2.15 三次方曲线执行结果
①三次方曲线f（x）= x3−2x+100在斜率等于0的点只是区域的最佳解。
②三次方曲线一般为凸函数时才有全局最佳解。