49．qmr函数

在MATLAB中，提供了qmr函数实现拟最小残差法。函数的语法格式为：

x＝qmr（A，b）：针对x对线性方程组A∗x＝b求解。n×n系数矩阵A必须是方阵，并且应为大型稀疏矩阵。列向量b必须具有长度n。可以将A指定为函数句柄afun，这样afun（x，'notransp'）将返回A∗x，afun（x，'transp'）将返回A'∗x。

如果qmr收敛，则会显示一条有关该结果的消息。如果qmr无法在达到最大迭代次数后收敛或出于任何原因暂停，则会输出一条显示相对残差norm（b－A∗x）/norm（b）以及该方法停止或失败时所达到的迭代数的警告消息。

qmr（A，b，tol）：指定该方法的容差。如果tol为[]，qmr使用默认值1e－6。

qmr（A，b，tol，maxit）：指定最大迭代次数。如果maxit为[]，qmr使用默认值min（n，20）。

qmr（A，b，tol，maxit，M）和qmr（A，b，tol，maxit，M1，M2）：使用预设子条件M或M＝M1∗M2，并高效求解关于x的方程组inv（M）∗A∗x＝inv（M）∗b。如果M为[]，qmr不会应用预设子条件。M可以是函数句柄mfun，这样，mfun（x，'notransp'）返回M\x，mfun（x，'transp'）返回M'\x。

qmr（A，b，tol，maxit，M1，M2，x0）：指定初始估计值。如果x0为[]，qmr使用默认值（即全部为零的向量）。

[x，flag]＝qmr（A，b，…）：也返回一个收敛标志，其取值及含义见表1-1。

如果flag不为0，返回的解x具有在所有迭代中最小的范数残差。如果指定flag输出，则不会显示消息。

[x，flag，relres]＝qmr（A，b，…）：还返回相对残差norm（b－A∗x）/norm（b）。如果flag＝0，relres≤tol。

[x，flag，relres，iter]＝qmr（A，b，…）：还返回计算x时所达到的迭代数，其中0≤iter≤maxit。

[x，flag，relres，iter，resvec]＝qmr（A，b，…）：还返回每次迭代中的残差范数的向量（包括norm（b－A∗x0））。

【例1-50】本示例演示如何使用带有矩阵输入的qmr。

     n = 100;
     on = ones(n,1);
     A = spdiags([-2*on 4*on-on],-1:1,n,n);
     b = sum(A,2);
     tol = 1e-8;maxit = 15;
     M1 = spdiags([on/(-2)on],-1:0,n,n);
     M2 = spdiags([4*on-on],0:1,n,n);
     x = qmr(A,b,tol,maxit,M1,M2);

运行程序，输出如下：

     qmr在解的迭代9处收敛,并且相对残差为5.6e-09。