卷一　方田以御田畴界域

【题解】

方田，是正方形与长方形田地的统称，刘徽注称“以御田畴界域”，即解释本章主要处理土地田亩与边界区划问题。所涉及的土地形状除正方形和长方形外，还有三角形、梯形等多边形图形。因为“方田术”是计算平面多边形乃至一般曲边形面积的基础，所以本章以“方田”命名。春秋末期开始实行“履亩而税”的租税制度改革后，政府对土地精确测算有了迫切的需求，而土地丈量正是土地面积计算的基础。在实际生活中，土地边界长度通常带有奇零部分，以带分数形式表示，在面积计算中就会涉及分数的运算，因此在古代数学分类中，将图形面积计算和分数四则运算问题归于方田。本章共38题。

第1～4题通过计算长方形田地面积问题给出“方田术”，即长方形面积计算法，并说明田地面积单位步、亩、里、顷的换算关系。《九章算术》原文及刘徽注中都没有试图对方田术予以证明，表明方田术是计算平面图形面积的公理，换句话说，方田术可以看作是对面积的一种定义。

第5～24题讨论分数计算方法，包括约分、求两数的最大公约数、分数加法与减法、比较两分数大小、求分数的平均数、分数除法与乘法等算法。

方田术和分数四则运算法则是解决其后14个图形面积应用问题的基础，涉及圭田（三角形）、邪田（直角梯形）、箕田（等腰梯形）、圆田、宛田（类似于球冠的曲面形）、弧田（弓形）、环田（圆环形）等田地面积的计算。

刘徽对圭田、邪田和箕田公式采用“出入相补”原理进行证明。所谓出入相补原理，是指一个平面图形经过有限次的切割，通过平移或旋转重新拼合，其面积保持不变。刘徽将圭田、邪田和箕田按出入相补方法转换为方田，利用方田术得到相应图形面积的正确公式。

“圆田术注”是刘徽注《九章算术》中最长的一段文字，是中算史上流传后世的名篇，其创造性地用极限思想和割圆术证明了圆面积公式，首创了计算圆周率的完整程序，求出圆周率近似值，史称“徽率”，并写下了圆周率的推算大要。圆田术注无论是对圆面积公式的证明还是对圆周率的计算，都是划时代的成就。

在进行田地边界测量时，不可避免地会碰到土地高低起伏或边界形状不规则等复杂地形，因此宛田、弧田和环田是实际应用中需要处理的曲边形面积问题，刘徽论证了这三种图形面积公式的近似性。在微积分没有发明之前，不可能获得这三种图形正确的面积公式，而刘徽注中蕴涵着化曲为直、无限逼近的思想方法，对于解决曲边形问题是十分宝贵的。

[1-1]今有田广十五步(1)，从十六步(2)。问为田几何？

答曰：一亩。

[1-2]又有田广十二步，从十四步。问为田几何？

答曰：一百六十八步(3)。图从十四，广十二(4)。

方田术曰(5)：广从步数相乘得积步。此积谓田幂(6)。凡广从相乘谓之幂(7)。臣淳风等谨按：经云“广从相乘得积步”，注云“广从相乘谓之幂”，观斯注意，积幂义同。以理推之，固当不尔。何则？幂是方面单布之名(8)，积乃众数聚居之称(9)。循名责实(10)，二者全殊。虽欲同之，窃恐不可。今以凡言幂者据广从之一方(11)；其言积者举众步之都数(12)。经云“相乘得积步”，即是都数之明文。注云“谓之为幂”，全乖积步之本意。此注前云“积谓田幂”，于理得通。复云“谓之为幂”，繁而不当。今者注释存善去非，略为料简(13)，遗诸后学(14)。

以亩法二百四十步除之(15)，即亩数。百亩为一顷。臣淳风等谨按：此为篇端，故特举顷、亩二法。余术不复言者，从此可知。一亩田，广十五步，从而疏之(16)，令为十五行，即每行广一步而从十六步。又横而截之，令为十六行，即每行广一步而从十五步。此即从疏横截之步，各自为方(17)，凡有二百四十步，为一亩之地步数正同。以此言之，即广从相乘得积步，验矣。二百四十步者，亩法也。百亩者，顷法也。故以除之，即得。

【注释】

(1)广：宽。步：长度单位。《九章章术》及刘徽注皆用秦制1步=6尺。

(2)从（zòng）：即“纵”，长。

(3)步：应释为平方步。古代未严格区分长度与面积单位的名称，而将步、平方步皆统称为步。

(4)图从十四，广十二：依注文所说，原有附图而今亡佚。依清人李潢《九章算术细草图说》补绘如图1-1所示，广十二步，从十四步，相乘，得一百六十八平方步。

(5)方田术：即长方形面积算法。术，原为学术、技术、方法。在古算书中，术就是计算法则，包含公式、定理等。

(6)此积谓田幂：以此长与宽之乘积来规定方田之面积。幂，古体字作“冖”。《说文解字》称：“冖，覆也。从一下垂也。”幂的原义为覆盖。《周礼·天官·幂人》：“祭祀，以疏布巾幂八尊，以画布巾幂六彝。”幂，又解作“巾”。《仪礼·公食大夫礼》：“簠有盖幂。”总之，幂的原意是遮盖器物所用的布。在古算书中，幂用来表示面或面积；现代数学术语中，幂是乘方所得之数的称谓。

(7)凡广从相乘谓之幂：是说凡长宽相乘则称之为幂（面积）。这反映出中算家的面积定义，实质上是“直积测度”的概念。即将二维的测度（面积）直接定义为两个一维测度（线段长度）之乘积。

(8)幂是方面单布之名：“幂”原是方形薄巾的名称。方面单布，即方形薄布（巾）。

(9)积乃众数聚居之称：“积”是对多个相同数累加的称谓。众数聚居，即若干个相同的数累加。

(10)循名责实：按其名而求其实，要求名实相符。名实，中国哲学的一对范畴，指辞、概念（或名称）和实在。

(11)凡言幂者据广从之一方：幂是由它的一边伸展而成。这与《说文解字》的解释“从一下垂也”相近。方，古算称长方形之边为“方”。据，根据。据广从之一方，即由宽或长之一边伸展而成面。幂既是方形薄布，则布由经、纬线编织而成；以“幂”来作面的称谓已包含着叠线成面的意思。

(12)其言积者举众步之都（dōu）数：积乃是指示它所含面积单位（平方步）之总数。举，提出。都，全。都数，即总数。举众步之都数，即指出所包含平方步之总数。

(13)略为料简：稍加甄别。料简，度量选择；也泛指对一切事物的整理择别。

(14)遗诸后学：遗留给后世学者去完成。这里指关于“幂”和“积”的涵义的辨析留待后人去评说。李淳风批评刘注将“幂”与“积”的概念混同。在他看来，“积”是数与数相乘，乃是数的运算结果，而“幂”（面）是反映几何量的概念，二者完全不同。其实，李氏并不理解刘徽思想的深刻性。刘徽和《九章算术》的作者一样，从数与几何量的统一观出发，将面积直接定义为长宽之积，便可从直线的度量自然导出面积的度量理论，而且刘徽以“幂”“积”相通，既可视面为线所叠成，又可划分为面积单位计算。这就蕴涵了面积的可加性和以盈补虚的原理，成为古代面积理论的基础。

(15)亩法：即由平方步化为亩时所用之除数240，故云“亩法二百四十步”。同样，“顷法”即是由亩化为顷所用之除数100。法，即除数。

(16)从而疏之：即沿着纵向划分为若干段。疏，雕刻，划分。从，即纵。

(17)从疏横截之步，各自为方：即以步长沿纵横两个方向来划分，使之成为一个个小正方形。按此，便可将一亩之地竖分横截为如图1-2所示的240个平方步。由此验证“长宽相乘得面积”，即1亩=15×16=240平方步。

【译文】

[1-1]已知长方形田宽15步，长16步。问田的面积是多少？

答：1亩。

[1-2]又知长方形田宽12步，长14步。问田的面积是多少？

答：168平方步。方田图长14，宽12。

方田算法：长方形之长与宽的步数相乘得其面积平方步数。这个“积”说的是方田的面积。凡长宽相乘称为“幂”。李淳风按：经文说“长宽相乘得面积”，徽注说“长宽相乘称为幂”，由此看来此注认为，“积”与“幂”意义相同。然而从道理上推敲，便不恰当了。何以这样说？“幂”是表述方形薄布的名词，“积”是对数目累加的称谓。按其名而求其实，二者就完全不同了。若硬要说它们意义相同，恐怕是不合适的。一般说来所谓“幂”是由它的长或宽一边伸展而成；而所谓“积”则是它所含面积单位（平方步）之总数。经文说“长宽相乘得面积”，即是“总数”的明文记述。徽注说“称之为幂”，完全违背了“积”一词的本义。注文前面说“积说的是方田”，在道理上讲得通。后面又说“称之为幂”，那就繁而不当了。而今作注解应当“存善去非”，这里只是稍作甄别，而更详细深入的辨析则留待后世学者去完成了。

以亩法240平方步除所得面积平方步数，即为亩数。100亩为1顷。李淳风等按：在本章的开始，特列举亩、顷面积单位换算之二法。其余的算法可由此推知，不必多讲。面积为1亩的长方田，宽15步，沿纵向划分，使之为15行，即每行宽1步而长16步。又沿横向划分，使之为16行，即每行宽1步而长15步。这样以步长竖分横截，使各自成小正方形，共计240平方步，这正等于一亩之地的平方步数。由此说来，长宽相乘得面积，获得了验证。240步，为“亩法”。100亩，为“顷法”。以亩法去除面积步数即得亩数，而用顷法去除面积亩数即得顷数。

[1-3]今有田广一里，从一里。问为田几何？

答曰：三顷七十五亩。

[1-4]又有田广二里，从三里。问为田几何？

答曰：二十二顷五十亩。

里田术曰(1)：广从里数相乘得积里。以三百七十五乘之(2)，即亩数。按此术广从里数相乘得积里。方里之中有三顷七十五亩，故以乘之，即得亩数也。

【注释】

(1)里田术：即化平方里数为亩数的算法。里田，以里为度量单位的方形田。

(2)以三百七十五乘之：秦制1里=300步=1 800尺，故1平方里=90 000平方步；于是，1平方里亩=375亩，即3顷75亩。当由平方里数求亩数时，应“以三百七十五乘之”。

【译文】

[1-3]已知长方形田宽一里，长一里。问田的面积多少？

答：3顷75亩。

[1-4]又知长方形田宽二里，长三里。问田的面积多少？

答：22顷50亩。

里田算法：宽与长之里数相乘得面积之平方里数。用375乘平方里数，即亩数。按此算法，宽与长的里数相乘得面积之平方里数。由于1平方里中有3顷75亩，所以用375乘平方里数，便得亩数。

[1-5]今有十八分之十二。问约之得几何？

答曰：三分之二。

[1-6]又有九十一分之四十九。问约之得几何？

答曰：十三分之七。

约分　按约分者，物之数量，不可悉全，必以分言之(1)。分之为数，繁则难用。设有四分之二者，繁而言之，亦可为八分之四；约而言之，则二分之一也。虽则异辞，至于为数，亦同归尔(2)。法实相推(3)，动有参差(4)，故为术者先治诸分(5)。

术曰：可半者半之(6)；不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损(7)，求其等也(8)。以等数约之。等数约之，即除也。其所以相减者，皆等数之重叠，故以等数约之(9)。

【注释】

(1)物之数量，不可悉全，必以分言之：事物的数量，不可能尽是整数，必然要使用分数来表示。悉，全部。全，即整数。分，即分数。

(2)虽则异辞，至于为数，亦同归尔：虽然用语不同，然而它们的数值是完全相同的。异辞，用语不同。同归，结局相同，在此即指结果一样。

(3)法实相推：由于算筹本身代表什物个数（即整数），故而古代筹算凡涉及分数的算法都化为一对法与实，它们被视为二整数的比率来相互推算，这就叫做“法实相推”。法，即除数。实，即被除数。

(4)动有参差（cēn cī）：是说在演算中，数有精粗繁简之不同。参差，原意为长短、高低不齐；这里用以形容数的表示精粗、繁简不一。动，动作；这里指运算过程。

(5)为术者先治诸分：设计算法首先要考虑化简各个分数。为术，即造术，设计算法。治，处治，此处为化简。

(6)可半者半之：即分子、分母为偶数时用2约简。可半者，可以用2约的数，即偶数。古代算书中又作“耦者半之”，意义相同。

(7)以少减多，更相减损：以小数去减大数，余数逐次递减。辗转相减，以求最大公约数。更相减损，即辗转相减算法。

(8)求其等也：在辗转相减过程中，直至出现相等的余数为止，它即是最大公约数，故称为等数。等，即等数，现今称之为最大公约数。

(9)其所以相减者，皆等数之重叠，故以等数约之：这句话包含着两层意思。一是说由于分子与分母皆是最大公约数的整倍数，因而余数亦都是最大公约数的整倍数，在辗转相减中它们递次减小，必然经有限次交互相减后使约数缩小而等于（分母与分子的）最大公约数。二是说，用最大公约数去除分子、分母，使约得最简分数。刘徽注言简意赅，一句话道出了论证辗转相减求最大公约数以及约分方法的要点。

【译文】

[1-5]设有分数。问约分得多少？

答：。

[1-6]又有分数。问约分得多少？

答：。

约分　按约分之为用，但凡物的数量，不可能尽是整数，必然要用分数来表示。然而分数之表示，若过于繁杂便难以运用。譬如设有，繁复地说，也可以表示成；简单地表示，则成为。虽然用语不同，至于它们的数值，却是相同的。分数是由除数与被除数相互推算而决定的，其表示有精粗繁简之不同，所以设计算法首先得处置（简化）各种分数。

算法：分子、分母均为偶数者用2约简；否则，将分母、分子之数另在它处列置，然后以小数减大数，辗转相减，求它们的最大公约数。用最大公约数去约简分子与分母。所谓“用最大公约数去约简”，即是用它去分别除分母、分子。其所以辗转相减，是因为被减数、减数和余数皆是最大公约数的整倍数，所以用最大公约数去约简分子、分母。

[1-7]今有三分之一，五分之二。问合之得几何？

答曰：十五分之十一。

[1-8]又有三分之二，七分之四，九分之五。问合之得几何？

答曰：得一、六十三分之五十。

[1-9]又有二分之一，三分之二，四分之三，五分之四。问合之得几何？

答曰：得二、六十分之四十三。

合分(1)臣淳风等谨按：合分者，数非一端，分无定准(2)，诸分子杂互，群母参差(3)，粗细既殊，理难从一(4)。故齐其众分(5)，同其群母(6)，令可相并，故曰合分。

术曰：母互乘子(7)，并以为实(8)，母相乘为法(9)，母互乘子；约而言之者，其分粗；繁而言之者，其分细(10)。虽则粗细有殊，然其实一也。众分错杂，非细不会(11)。乘而散之，所以通之(12)。通之则可并也。凡母互乘子谓之齐，群母相乘谓之同(13)。同者，相与通同(14)，共一母也；齐者，子与母齐，势不可失本数也(15)。方以类聚，物以群分(16)。数同类者无远；数异类者无近(17)。远而通体者，虽异位而相从也；近而殊形者，虽同列而相违也(18)。然则齐同之术要矣。错综度数，动之斯谐，其犹佩觿解结(19)，无往而不理焉。乘以散之，约以聚之，齐同以通之，此其算之纲纪乎(20)。其一术者(21)，可令母除为率，率乘子为齐。实如法而一(22)，不满法者(23)，以法命之(24)。今欲求其实，故齐其子。又同其母，令如母而一。其余以等数约之，即得。所谓同法为母(25)，实余为子(26)，皆从此例。其母同者，直相从之。

【注释】

(1)合分：分数相加。合，并。

(2)数非一端，分无定准：数的由来并非出自一端（根源），分数之分母的选取也没有固定不变的标准。端，头绪，缘由。

(3)诸分子杂互，群母参差：这些分数的分子各种各样，分母有大有小。杂互，互相不同，彼此混杂。参差，这里指数的大小不等。

(4)粗细既殊，理难从一：分数粗细各异，自然难以相加成一数。粗细，分数的分母表示将“单位”分割所得的份数，所以，若分母较小，则说此分数“粗”，而分母较大，则说此分数“细”。从一，即相加成一数。从，跟随，引申为加并。古算所谓相从相消，即相加相减。

(5)齐其众分：就是以诸分母与诸分子交互相乘，使分子与分母扩大相同的倍数而保持各分数之值不变。齐，指分子与分母同步增长。

(6)同其群母：即取诸分母之相乘积为公分母。

(7)母互乘子：即以此分母去乘彼分子。互乘，交互相乘。

(8)并以为实：即将诸乘积相加之和作为被除数。并，相加。

(9)母相乘为法：以诸分母相乘之积作为除数。

(10)约而言之者，其分粗；繁而言之者，其分细：分数的分母数小意味着将“单位”等分得粗疏；分母数大则表示将“单位”等分得细密。约，简单，在此指分母较小。繁，复杂，这里指分母较大。

(11)众分错杂，非细不会：对于异分母分数，若不化为更细密的分数来表示，即扩大分母以倍数，就不能使它们相加。会，合，聚合，这里指相加。细，指“单位”的细分，即扩大分母以倍数。

(12)乘而散之，所以通之：用同乘一数的办法来扩大分子、分母，因而得以通分。之，在此指分母或分数。散，分散，与“聚”相对，表示扩大之意。

(13)凡母互乘子谓之齐，群母相乘谓之同：齐同术为古算比率理论中的重要法则，它包含齐与同两个方面。刘徽在此注中仅就分数的齐同，即通分来解释它的意义。他从运算的形式（步骤）上来解释齐同：分母与分子交互相乘叫做“齐”；诸分母相乘叫做“同”。

(14)相与通同：彼此相通，无所阻滞。相与，相交往，共同。通，贯通；由此端至彼端，中无阻隔。

(15)势不可失本数也：即分子与分母的相比关系保持其比值不变。势，情势，引申为关系。这里指分子与分母的相比关系。

(16)方以类聚，物以群分：语出自《周易·系辞上》，意谓各种事物皆按其种类聚集在一起。

(17)数同类者无远；数异类者无近：刘徽依分母的大小将分数分类，视同分母者为同类数。类，种类。远，疏远；近，亲近。以远、近比喻数之间关系的密切与否，即是否可以相加相减。

(18)远而通体者，虽异位而相从也；近而殊形者，虽同列而相违也：“通体”与“殊形”指分数的表达形式是否为同分母分数。这里的远与近相对，指数与数之间按大小顺序排列位置相距之远近，或数值相差的大小。相从，相加；相违，不相干，不可相加。

(19)觿（xī）：古代解扣的用具，用象骨制成，形如锥。也用为佩饰，故称佩觿。

(20)算之纲纪：即算术的基本法则。纲纪，法则，纲要。引申为基本法则。

(21)其一术者：另一种算法。

(22)实如法而一：原意是以“法”去除“实”，若“实”中每有一个等于“法”的数就记个“一”。此相当于现今所谓以除数去除被除数而求其商数。

(23)不满法者：指相除不尽所得余数。

(24)命之：即命分。

(25)同法：即“法”之数，因为它得自齐同术中的“同”的演算步骤，故称为“同法”。徽注中又简称之为“同”。

(26)实余：即以法除实不尽所得之余数。

【图草】

[1-8]题求的和。

1．依合分术演草如下。

（1）齐同。

（2）实如法而一，命分。

2．此题依“其一术”演草如下。

（1）齐同。

（2）实如法而一，命分，与前合分术同。

【译文】

[1-7]设有分数。问相加得多少？

答：。

[1-8]又有分数和。问相加得多少？

答：。

[1-9]又有分数和。问相加得多少？

答：。

分数相加　李淳风等按：分数相加的意义在于，数之由来非自一端，分母的选取也没有固定标准，分子多种多样，分母有大有小，分数的繁简不同，难以自然相加。所以要在保持分数的值不变的条件下，化异分母为同分母，使之能够相加，因而便有称为“分数相加”的算法。

算法：以诸分母与诸分子交互相乘，所得诸乘积相加之和作为被除数，而以诸分母相乘之积作为除数，以诸分母与诸分子交互相乘；若其分母较小，则说此分数“粗”；其分母较大，则说此分数“细”。一个分数的表示法虽有粗细之不同，其实它们代表同一个数值。在众多分数其分母又各不相同的情形时，如果不采用更细的分数记法（扩大分母）就不能使它们相加。所以用相乘而扩大分母的办法，去通分。分母相同便可以相加了。凡是以诸分母与诸分子交互相乘的运算称之为“齐”，而诸分母相乘的运算称之为“同”。“同”的涵义是，彼此相通有一个共同的公分母；“齐”的涵义是，分子与分母同步增长（扩大相同倍数），分数的值不会改变。各种事物，都是按种类聚集在一起的。数若同类就无所谓“远”；数若异类也就无所谓“近”。同分母分数即使相差甚远，分子的数位不同也可以相加；异分母分数即使大小相近，排列在一起也互不相干。这样一来齐同术实在太重要了。各种错综不一的量数，只要施行这种演算便可以统一起来，它好像用佩觿去解开结扣，所到之处没有不成功的。对分子、分母同乘以一数以“散分”，同除以一数以“约分”，用齐同之术来“通分”，这就是分数作为一组比率运算的基本法则。另一种齐同的算法是，可以令公分母除以每个分母的商数为“乘率”，而把乘率乘以对应分子的运算叫做“齐”。以除数去除被除数，若除之不尽，则以余数为分子、除数为分母得一分数。为求被除数，故对诸分子施行“齐”的演算步骤。又求得公分母，用它作除数。然后以最大公约数约简，即得诸分数之和。所谓以除数为分母，余数为分子，皆由此得来。若诸分数之分母相同，则可以用分子直接相加。

[1-10]今有九分之八，减其五分之一。问余几何？

答曰：四十五分之三十一。

[1-11]又有四分之三，减其三分之一。问余几何？

答曰：十二分之五。

减分(1)臣淳风等谨按：诸分子、母数各不同。以少减多，欲知余几，减余为实，故曰减分。

术曰：母互乘子，以少减多，余为实，母相乘为法，实如法而一。母互乘子者，以齐其子也。以少减多者，子齐故可相减也。母相乘为法者，同其母也。母同子齐(2)，故如母而一，即得。

【注释】

(1)减分：已知大小二分数求其差，即分数相减。

(2)母同：分母化为同分母。子齐：分子与分母扩大相同的倍数。

【译文】

[1-10]设有分数，减去。问余数多少？

答：。

[1-11]又设分数，减去。问余数多少？

答：。

分数相减　李淳风等按：二数分子、分母各不相同。以小数去减大数，要求余数多少，它以相减之余数作为被除数，所以称之为“减分”。

算法：以分母与分子交互相乘，所得小数减大数，余数作为被除数，而以分母相乘为除数，以除数去除被除数。分母与分子交互相乘，是为使分子能与分母扩大相同倍数。以小数减大数，是因为分子已与分母扩大相同倍数故可以相减。分母相乘为除数，是因为它是公分母。分母化成公分母而分子又与分母扩大了相同倍数，所以用分母作除数，即得所求。

[1-12]今有八分之五，二十五分之十六。问孰多？多几何？

答曰：二十五分之十六多；多二百分之三。

[1-13]又有九分之八，七分之六。问孰多？多几何？

答曰：九分之八多；多六十三分之二。

[1-14]又有二十一分之八，五十分之十七。问孰多？多几何？

答曰：二十一分之八多；多一千五十分之四十三。

课分　(1)臣淳风等谨按：分各异名(2)，理不齐一(3)，校其相多之数(4)，故曰课分也。

术曰：母互乘子，以少减多，余为实；母相乘为法；实如法而一，即相多也。臣淳风等谨按：此术母互乘子，以少分减多分，与减分义同。唯相多之数，意与减分有异。减分者求其余数有几，课分者以其余数相多也(5)。

【注释】

(1)课分：比较分数之大小。课，试验，考核；引申为比较。

(2)异名：即异类，指分母、分子之数不相同。

(3)齐一：等同于一数，即两数相等。

(4)校（jiào）：比较。相多之数：即大小二数的相差、多出之数。

(5)以其余数相多也：以余数作为比较二数大小的“多出之数”。余数是由已知的较大数减去较小数而得的；而“多出之数”（相多），是指事先未知孰大孰小的二数之差数。在二者通分之后便可判断大小而求出余数，这个余数也就是“相多”。

【译文】

[1-12]设有分数和。问哪个分数大？多出多少？

答：大；多出。

[1-13]又设分数和。问哪个分数大？多出多少？

答：大；多出。

[1-14]又设分数和。问哪个分数大？多出多少？

答：大；多出。

分数比较　李淳风等按：两个分数的分母、分子各不相同，自然此二数一般不会相等，比较互相多出之数，所以叫作分数的比较。

算法：以分母与分子交互相乘，而以所得较小数减较大数，其余数作为被除数；又以分母相乘所得为除数；以除数去除被除数，即得多出之数。李淳风等按：此法则以分母与分子交互相乘，所得小数以减大数，这算法与分数相减的步骤相同。只是“多出之数”，与“分数相减”的意义不一样。分数相减是求已知较大数减去较小数的余数，而分数比较则是以余数作为“多出之数”。

[1-15]今有三分之一，三分之二，四分之三。问减多益少(1)，各几何而平？

答曰：减四分之三者二，三分之二者一，并以益三分之一，而各平于十二分之七。

[1-16]又有二分之一，三分之二，四分之三。问减多益少，各几何而平？

答曰：减三分之二者一，四分之三者四，并以益二分之一，而各平于三十六分之二十三。

平分(2)　臣淳风等谨按：平分者，诸分参差，欲令齐等(3)，减彼之多，增此之少，故曰平分也。

术曰：母互乘子，齐其子也。副并为平实(4)，臣淳风等谨按：母互乘子，副并为平实者，定此平实立限(5)，众子所当损益，如限为平(6)。母相乘为法。母相乘为法者，亦齐其子，又同其母。以列数乘未并者，各自为列实；亦以列数乘法。此当副并除之列数为平实(7)，若然则重有分(8)，故反以列数乘同齐(9)。臣淳风等谨按：问云所平之分多少不定，或三或二，列位无常。平三者置位三重(10)，平二者置位二重。凡此之例，一准平分不可预定多少，故直云列数而已。以平实减列实，余，约之为所减。并所减以益于少，以法命平实，各得其平。

【注释】

(1)减多益少：减损大数，增补小数，以求平均之意。

(2)平分：分数平均，即求几个分数的算术平均。

(3)齐等：全都相等。齐，完全。

(4)副并：即另置诸乘积之和。副，附带，此处作另置解。平实：平均数之分子。

(5)定此平实立限：确定此“平实”之数为（各数分子的）标准。立限：原意为立一个限度，即立一个“标准”。

(6)如限为平：即诸分子皆与此“标准”相一致，就算达到平均。平，平均。

(7)此当副并除之列数为平实：本来按“平实”（平均数之分子）的意义，应规定为“平实”。副并，指上文中所说另置的“诸乘积之和”。

(8)重有分：即分子（或分母）中含有分数，也就是现今所谓的“繁分数”。

(9)故反以列数乘同齐：即为了避免出现繁分数，所以反而以列数去乘各分母、分子。这种方法在筹算中经常使用。因为筹码本身仅代表自然数，分数被表示为一对法与实的比率；所以为保持法与实皆为整数，在筹算中以一数去除“实”的演算常用该数去乘“法”，这相当于用此数同乘分子、分母。这也就是古算中所谓的“实里有分，法里通之”。同齐，在此指分母与分子。

(10)平三：求三个分数的平均数。

【图草】

[1-16]题依平分术演草如下。

求平均分数：？

（1）通分。

（2）增减，以求其平。

【译文】

[1-15]设有分数和。问若减损大数以增补小数，增减之数各为多少才能使它们皆等于其平均值？

答：从中减去，从中减去，又以之和加于，则此三数均等于其平均值。

[1-16]又设分数和。问若减损大数以增补小数，增减之数各为多少才能使它们皆等于其平均值？

答：从中减去，从减去，又以、之和加于，则此三数均等于其平均值。

分数平均　李淳风等按：所谓分数平均，各分数大小不一，要使它们彼此全都相等，则减少较大数，以增加较小数，所以称为分数平均。

算法：将诸分数的分子、分母各自排成一列并以诸分母交互去乘诸分子，为使分子与分母扩大相同倍数。将各列乘得之积相加另置为平均数之分子（称为“平实”），李淳风等按：“以诸分母交互去乘诸分子，将各列乘得之积相加作为平均数之分子”，即规定此平均数之分子为诸分数分子的“标准”，各数分子的增减，皆以与此标准相一致为“平均”。以诸分母相乘为除数。“诸分母相乘为除数”，即在分子与分母同步增长条件下，化为同分母分数。以列数去乘各列分子，作为该列的新分子（称为“列实”）；同样又以列数去乘“法”为新分母。这里本应以“诸分母去交互相乘诸分子所得各列之积相加”然后以“列数”除之作为“平均数之分子”，但这样便可能使分子也成为分数，所以反以“列数”同乘分子、分母。李淳风等按：题设中要作平均的分数之个数并不确定，或者三个或者两个，排成的列数也不固定。求三个分数的平均排成三层，求两个分数的平均排成两层。一般说来，分数平均问题中不能限定分数的个数，所以只能不确切地称之为“列数”。以“平实”去减各较大的“列实”，所得余数，与分母约简即为（大数）应减之数。将所减各数之和增加于较小数使各列分子皆为“平实”，以平实为分子相应除数为分母，皆得平均分数。

[1-17]今有七人，分八钱、三分钱之一。问人得几何？

答曰：人得一钱、二十一分钱之四。

[1-18]又有三人、三分人之一，分六钱、三分钱之一、四分钱之三。问人得几何？

答曰：人得二钱、八分钱之一。

经分(1)　臣淳风等谨按：经分者，自合分已下，皆与诸分相齐，此乃直求一人之分。以人数分所分，故曰经分也。

术曰：以人数为法；钱数为实；实如法而一。有分者通之(2)。母互乘子者齐其子，母相乘者同其母。以母通之者，分母乘全内子(3)。乘全则散为积分(4)，积分则与分子相通，故可令相从。凡数相与者谓之率(5)。率者，自相与通(6)。有分则可散，分重叠则约也(7)。等除法实，相与率也(8)。故散分者，必令两分母相乘法实也。重有分者同而通之。又以法分母乘实，实分母乘法，此谓法实俱有分，故令分母各乘全内子，又令分母互乘上下。

【注释】

(1)经分：即由众人之所分而求一人之所分，也就是分数相除。经，通“径”。李籍《九章算术音义》：“《释名》曰：经者，径也。”李注：“此乃直求一人之分。以人数分所分。”

(2)通之：即通分。古代“通分”的意义广泛，它包含着率的相通约简一类演算。古人将分数视为法与实一对比率。若法与实含有分数（相当于现今的繁分数），便要进行一系列相通约化的运算。首先是“分母乘全内子”（相当于化带分数为假分数），其次是同乘一数以去掉法与实中的分母，最后约简法与实为最简整数之比率。这全部演算过程称之为“通”或“通率”，亦即“通分”。

(3)分母乘全内（nà）子：即将分母乘以整数部分的结果并入分子内。这就是所谓的“以母通之”，它相当于现今的化带分数为假分数的算法。内，通“纳”，纳入之意。

(4)乘全则散为积分：即是说以分母乘整部则将它扩散成“积分”的形式。积分，凡分数之分子是由分母乘以整数而得者，称之为积分。

(5)凡数相与者谓之率：凡是数与数之间有相比关系者，就称它们为（比）率。相与，相关，在此指相比。

(6)率者，自相与通：意思是，作为“率”的一组数，自然是彼此对应相当的。通，指比率关系中数与数的对应相当。

(7)分重叠则约也：意思是凡是“重叠”的分数（即可表示为的分数）便要约简（即化为）。分重叠，是说当分子、分母有公因数时，它们可看成公因数的重叠。

(8)相与率：原为相关数的比率，在此则指用一组最简的（既约）整数表示的比率。

【图草】

[1-18]题依经分术演草如下。

求

（1）以母通之（母乘全内子）。

（2）散分。

（3）命分。

【译文】

［1-17］设有7人，分钱钱。问每人得多少？

答：每人得钱。

［1-18］又设有人，分钱钱。问每人得多少？

答：每人得钱。

分数相除　李淳风等按：所谓“分数相除”，从分数相加以下的各种法则，皆要对诸分数作通分演算，此“分数相除”则是直接求一人所分之数。由众人之所分求一人之所分，故称为“经分”。

算法：以人数为除数；钱数为被除数；以除数去除被除数。若除数与被除数中有分数则应通分约简。以分母去交互相乘分子意在使分子与分母扩大相同倍数，诸分母相乘意在化诸分母为同分母。所谓“以母通之”，是指以分母乘整数部分再加分子。以分母乘整数部分则是将其扩大而化为“积分”，此“积分”与原分子的分母相同，所以可相加为一数。凡数与数之间有相比关系者就称它们为“率”。所谓“率”，自然是彼此对应相当。其中若有分数则可同乘一数而去分，若有公因数则可同除以一数而约简。用最大公约数分别去约除数（法）和被除数（实），就得一组最简的相关比率。因而为了去掉法与实的分母，就必须用法与实的两个分母去分别乘除数与被除数。繁分数的情形同样通分约简。又可以说分数相除的法则是以除数的分母去乘被除数的分子作为分子，以被除数的分母去乘除数的分子作为分母，这里讨论的是除数与被除数皆由分数和整数两部分组成的情形，所以先以分母乘整数部分再加分子，然后用除数、被除数的分母互乘被除数、除数的分子（即得所求的商）。

[1-19]今有田广七分步之四，从五分步之三。问为田几何？

答曰：三十五分步之十二。

[1-20]又有田广九分步之七，从十一分步之九。问为田几何？

答曰：十一分步之七。

[1-21]又有田广五分步之四，从九分步之五。问为田几何？

答曰：九分步之四。

乘分(1)　臣淳风等谨按：乘分者，分母相乘为法，子相乘为实，故曰乘分。

术曰：母相乘为法；子相乘为实；实如法而一。凡实不满法者而有母子之名(2)，若有分以乘其实而长之，则亦满法乃为全耳(3)。又以子有所乘，故母当报除(4)。报除者，实如法而一也。今子相乘则母各当报除(5)，因令分母相乘而连除也。此田有广从，难以广谕。设有问者曰：马二十匹，直金十二斤。今卖马二十匹，三十五人分之，人得几何？答曰：三十五分斤之十二。其为之也，当如经分术，以十二斤金为实，三十五人为法。设更言马五匹，直金三斤。今卖四匹，七人分之人，得几何？答曰：人得三十五分斤之十二。其为之也，当齐其金、人之数，皆合初问，入于经分矣(6)。然则分子相乘为实者，犹齐其金也(7)。母相乘为法者，犹齐其人也(8)。同其母为二十，马无事于同，但欲求齐而已(9)。又马五匹，直金三斤，完全之率。分而言之，则为一匹直金五分斤之三。七人卖四马，一人卖七分马之四。分子与人交互相生，所以言之异，而计数则三术同归也(10)。

【注释】

(1)乘分：即分数相乘。

(2)实不满法：被除数不足除数，即被除数小于除数。不满，不足、不够。

(3)若有分以乘其实而长之，则亦满法乃为全耳：若对被除数乘以分母而使其增大为分母之整倍数，则可大于除数而得整数商。全，完全。此指整数商。分，分数，在此专指分母。古代以分母为“分”，如“”，即四分之一，作四分。

(4)以子有所乘，故母当报除：对分子以其分母相乘（于是化分数为整数，即分子），（为了保持原数值不变）所以亦应以其分母相除。报，回复。结合上文，这段话的意思是，为了计算分数相乘，先以分母乘之，化为整数相乘，然后为保持值不变再以分母除之bd÷（a×c），即得。这样，分数相乘的法则便可如下说明：

(5)今子相乘则母各当报除：既然（由于乘以分母而化分数相乘为整数相乘）以分子相乘，（为了使乘积之值不变）亦应反以各个分母相除。报除，报之以除，即反以之相除。

(6)当齐其金、人之数，皆合初问，入于经分矣：“齐其金、人之数”，即“同其二马，齐其金人”的简略说法。古代比率的“齐同”算法，由“马5，金3”和“马4，人7”两组比率，分别同乘4和5，化为“马20，金12”和“马20，人35”。这就将问题化成：“设20匹马值金12斤。现今卖马20匹，35人均分，每人得金多少？”这便与起初的问题完全一样，可以用“分数相除”的法则求解。故云：“皆合初问，入于经分矣。”

(7)然则分子相乘为实者，犹齐其金也：由上文所见，分子相乘（“金3”乘“马4”）为被除数，这相当于对金之数施行（与马之数）扩大相同倍数（即“齐”）的演算步骤。

(8)母相乘为法者，犹齐其人也：同样，由上文所见，分母相乘（“人7”乘“马5”）为除数，这相当于对人之数施行（与马之数）扩大相同倍数（即“齐”）的演算步骤。

(9)同其母为二十，马无事于同，但欲求齐而已：这个问题若依“经分术”入算，则是，此过程可看作通分，化为同分母20，故云“同其母为二十”。而从比率的观点来看，在这个“齐同”的过程中，同其二马没有实际的意义，故可省去而不必写出，只须计算“齐”的步骤。此即所谓“马无事于同，但欲求齐而已”。

(10)分子与人交互相生，所从言之异，而计数则三术同归也：徽注以三种不同方式设问与求解。一是经分（金12除以人35）；二是比率齐同“马5，金3”与“马4，人7”，化为“马20，金12”与“马20，人35”）；三是乘分（以1匹马值斤乘以1人卖马匹），其中马数、金数与人数间的关系表述方式不同，然而三种方法计算的结果完全相同。

【译文】

［1-19］已知长方形田宽步，长步。问田的面积多少？

答：平方步。

［1-20］又知长方形田宽步，长步。问田的面积多少？

答：平方步。

［1-21］又知长方形田宽步，长步。问田的面积多少？

答：平方步。

分数相乘　李淳风等按：所谓“分数相乘”，即以分母相乘作为除数，以分子相乘作为被除数，所以称为“分数相乘”。

算法：以分母相乘为除数；分子相乘为被除数；以除数去除被除数。凡被除数小于除数时则得一分数，但若以分母乘被除数使其增大，则可使其为除数之整倍数而得整数商。假若以分母去乘其分子，（为保持值不变）因而也应以分母报以相除。报以“相除”，就是将分母作除数去进行除法运算。现已化分数相乘为分子相乘则分母各自应报以“相除”，所以令分母相乘而作连除。这里是以已知田的宽和长而求面积为例子，难以使人理解分数相乘的意义。假若有人提问：设马20匹，值金12斤。现今卖马20匹，35人均分，每人得金多少？答：斤。此题的求解，当和分数相除一样，以12斤金为被除数，35人为除数。假若问题换一种提法：设马5匹，值金3斤。现今卖马4匹，7人均分，每人得金多少？答：每人得金斤。它的求解当用“齐同”之术，使“齐”其金、人之数，化成问题的前一种提法，便以人数除金数而获解。然而分子相乘为被除数，相当于“齐”其金数。分母相乘作为除数，相当于齐其人数。这相当于（分数和）化为同分母20，同分母分数相除与分母无关，故只须“齐”其分子相除。又马5匹，值金3斤，是用整数来表示的比率。若以分数表示，则为每匹马值金斤。7人卖4匹马，每人卖马匹。这里作为分子的金数与作为分母的人数同马匹之数交叉错互，说法虽不相同，但在运算的道理上这三种方法是完全一致的。

[1-22]今有田广三步、三分步之一，从五步、五分步之二。问为田几何？

答曰：十八步。

[1-23]又有田广七步、四分步之三，从十五步、九分步之五。问为田几何？

答曰：一百二十步、九分步之五。

[1-24]又有田广十八步、七分步之五，从二十三步、十一分步之六。问为田几何？

答曰：一亩二百步、十一分步之七。

大广田(1)　臣淳风等谨按：大广田者，初术直有全步而无余分，次术空有余分而无全步，此术先见全步复有余分，可以广兼三术，故曰大广。

术曰：分母各乘其全，分子从之，“分母各乘其全，分子从之”者，通全步内分子，如此则母子皆为实矣。相乘为实；分母相乘为法；犹乘分也。实如法而一。今为术广从俱有分，当各自通其分。命母入者还须出之(2)。故令分母相乘为法，而连除之。

【注释】

(1)大广田：即长宽皆为带分数的方田，是生活中较常遇到的情形。大广，最普遍的。广，普遍。

(2)命母入者还须出之：由于通分内子运算中施行以分母相乘，而后分数相乘时则将分子相乘，这事实上是先进行散分（化分为整）扩大了倍数，所以必须用分母连除使之还原。此即一“入”一“出”。这个“出之”，即下文所谓“故令分母相乘为法，而连除之”。入，进入；由外到内，在古代算书中用以表示作某种运算。出，与入相反，用以表示与“入”相反的逆运算。在这里“入”代表相乘，“出”则表示相除。

【图草】

[1-22]题依“大广田术”演草如下。

（1）以母通之。

（2）乘分。

广乘从得长方田面积：

【译文】

[1-22]已知长方形田宽步，长步。问田的面积多少？

答：18平方步。

[1-23]又知长方形田宽步，长步。问田的面积多少？

答：平方步。

[1-24]又知长方形田宽步，长步。问田的面积多少？

答：1亩平方步。

边长为带分数的方田。李淳风等按：所谓“大广田”，起初的方田算法中田的边长只有整数而无奇零分数，其次的乘分算法中田的边长为真分数，现在的算法中田的边长为带分数，它包括着前两种算法，所以称为“大广”。

算法：各以分母乘它的整数部分，再加分子，“各以分母乘它的整数部分，再加分子”，即是化带分数为假分数的“通分内子”算法，这样一来则分子、分母皆包含于被除数之内了。然后相乘作为被除数；以分母相乘作为除数；这如同分数相乘一样。以除数去除被除数。本算法中田的长宽都为带分数，应各自通分（化为假分数）。凡令分母相乘的还应以分母相除。所以令分母相乘为除数，而作连除计算。

[1-25]今有圭田广十二步(1)，正从二十一步(2)。问为田几何？

答曰：一百二十六步。

[1-26]又有圭田广五步、二分步之一，从八步、三分步之二。问为田几何？

答曰：二十三步、六分步之五。

术曰：半广以乘正从。半广者(3)，以盈补虚为直田也(4)。亦可半正从以乘广(5)。按半广乘从，以取中平之数(6)。故广从相乘为积步。亩法除之，即得也。

【注释】

(1)圭（guī）田：即圭形田，上尖而下平，大致为现今所谓的三角形。李籍《九章算术音义》说：“圭田者，其形上锐，有如圭然。”《九章算术》《五曹算经》《夏侯阳算经》等所论圭田皆有术无图。《五曹》圭田题有从步，且云一头有广步，一头无步。《夏侯阳》圭田注云：“三角之田”，皆以圭田为三角形田。元代朱世杰《四元玉鉴》（1303）中“锁套吞容”第十四问所设圭田是等腰三角形。明代程大位《算法统宗》所述圭形外，尚有斜圭形一种。清人屈曾发《数学精详》注明圭形是两等边三角形，斜圭形是不等边三角形。据《九章算术》刘徽注的论证并不限于等腰三角形；又从中算家“积线成幂”的传统观点来看，三角形的面积仅与底和高的长度有关，而与形之斜正无涉。因此，可以认为唐代以前的圭田乃泛指三角形，从明清以后才有圭形与斜圭形之分。圭，古代帝王、诸侯举行隆重仪式时所用的玉制礼器，上尖下方。其形制大小因爵位及用途不同而异。

(2)正从：即与广相垂直方向的长度，也就是现今所谓的底边上的高。从，即“纵”。纵、横相对，横即广。南北为纵，东西为横。古人测量平面图形，一般只量纵、横两个方向之长度。

(3)半广：即底边长度之半。

(4)以盈补虚为直田也：就是用割补法（亦称“出入相补”原理）将三角形化为长方形。依徽注推之，其割补方法大致如图1-3所示。以盈补虚，即以多余部分填补不足部分。盈，多余；虚，不足。直田，长方形田。

(4)半正从以乘广：刘徽注给出三角形面积的另一计算公式，即

它反映了另一种割补方法，如图1-4所示。

(6)按半广乘从，以取中平之数：三角形上锐而下钝，其面可看作由上下宽度不同的横线叠积而成。计算三角形面积，若按宽度大处计算则失之于多，而若按宽度小处计算则又失之于少。“半广”恰是宽度的平均值，故以它作为宽度计算面积是适当的，刘徽注文扼要说明此理。

【译文】

[1-25]已知三角形田底宽12步，高21步。问田的面积多少？

答：126平方步。

[1-26]又知三角形田底宽步，高步。问田的面积多少？

答：平方步。

三角形田面积算法：一半底宽乘以高。其所以取一半底宽，乃是“以盈补虚”成一长方形之缘故。也可以用一半高乘以底宽来计算。按一半底宽乘以高，是取中间的平均数为底宽。所以（按长方形田）宽乘长得面积的平方步数。若再以“亩法”（每亩240平方步）除之，即得亩积数。

[1-27]今有邪田(1)，一头广三十步(2)，一头广四十二步，正从六十四步。问为田几何？

答曰：九亩一百四十四步。

[1-28]又有邪田，正广六十五步(3)，一畔从一百步(4)，一畔从七十二步。问为田几何？

答曰：二十三亩七十步。

术曰：并两广若袤而半之(5)，以乘正从若广(6)。又可半正从若广，以乘并，亩法而一。并而半之者，以盈补虚也(7)。

【注释】

(1)邪田：方田的四方（边）之中若有一方不正，就称之为邪田，即直角梯形田。邪，通“斜”，不正。

(2)一头：直角梯形的底边横放时，称它的上、下底各为“一头”，如图1-5所示；而此时称它的高为正从。

(3)正广：直角梯形的底边竖放时，称它的高为正广，如图1-6所示。

(4)一畔：直角梯形的底边为纵向时，称它的上、下底各为一“畔”，如西畔、东畔，以别左、右。

(5)两广若袤：即两头或者两畔（随上、下底横竖方向不同而定）。若，或者。

(6)正从若广：即正从或者正广，也就是梯形之高在不同方向上之称谓。

(7)并而半之者，以盈补虚也：即直角梯形割补一角拼成长方形，其一边为上、下底和之一半，如图1-7所示。

【译文】

[1-27]已知直角梯形田，上底宽30步，下底宽42步，高64步。问田的面积多少？

答：9亩144平方步。

[1-28]又知直角梯形田，高65步，下底100步，上底72步。问田的面积多少？

答：23亩70平方步。

直角梯形田面积算法：上、下底和的一半，乘以高。或者高之一半，乘以上、下底之和，然后以每亩240平方步除之即田之亩数。取上、下底之和的一半，乃是以盈补虚的意思。

[1-29]今有箕田(1)，舌广二十步(2)，踵广五步(3)，正从三十步。问为田几何？

答曰：一亩一百三十五步。

[1-30]又有箕田，舌广一百一十七步，踵广五十步，正从一百三十五步。问为田几何？

答曰：四十六亩二百三十二步半。

术曰：并踵舌而半之，以乘正从。亩法而一。中分箕田则为两邪田，故其术相似(4)。又可并踵舌，半正从以乘之(5)。

【注释】

(1)箕田：是一象形名称，其形状大体为等腰梯形。李籍《九章算术音义》：“箕田者，有舌有踵，其形哆哆，有如箕然。”刘徽注下文称：“中分箕田则为两邪田。”故释箕田为等腰梯形是适当的。《五曹算经》《夏侯阳算经》俱有箕田术而无附图。后者注称箕田为：“一头广，一头狭。”当泛指一般梯形。宋元以来之算书改“箕田”名为“梯田”。中算家从“叠线成幂”的观念出发，视箕田为一些横线叠积而成，自然只须度量其上、下底及高即可确定面积，而无须考虑梯形的斜正。所以箕田术即一般梯形面积计算法则也是可以的。箕，扬米去糠的器具；簸箕。

(2)舌广：指梯形之较长底边的长度。舌，是箕口的宽展部分。

(3)踵广：指梯形之较短底边的长度。踵，箕底的收缩部分。

(4)中分箕田则为两邪田，故其术相似：中分等腰梯形为两直角梯形，则由直角梯形面积公式，可以导出类似的等腰梯形的面积公式，如图1-8所示。

(5)又可并踵舌，半正从以乘之：这里徽注提出箕田面积的另一计算公式：

等腰梯形面积=×（上底十下底）

它是以盈补虚而得到的，如图1-9所示。

【译文】

[1-29]已知等腰梯形田，长底边20步，短底边5步，高30步。问田的面积多少？

答：1亩135平方步。

[1-30]又知等腰梯形田，长底边117步，短底边50步，高135步。问田的面积多少？

答：46亩平方步。

等腰梯形田面积算法：上下底之和的一半，以高相乘。以每亩240（平方）步除之得田积亩数。中分等腰梯形便得两个直角梯形，所以二者面积计算方法相同。又可以用上、下底之和，乘以二分之一高来计算。

[1-31]今有圆田，周三十步，径十步。臣淳风等谨按：术意以周三径一为率，周三十步，合径十步。今依密率，合径九步、十一分步之六。问为田几何？

答曰：七十五步。此于徽术，当为田七十一步、一百五十七分步之一百三。臣淳风等谨依密率，为田七十一步、二十二分步之一十三。

[1-32]又有圆田，周一百八十一步，径六十步、三分步之一。臣淳风等谨按：周三径一，周一百八十一步，径六十步、三分步之一；依密率，径五十七步、二十二分步之一十三。问为田几何？

答曰：十一亩九十步、十二分步之一。此于徽术，当为田十亩二百八步、三百一十四分步之一百一十三。臣淳风等谨依密率，为田十亩二百五步、八十八分步之八十七。

术曰：半周半径相乘得积步。按半周为从，半径为广(1)，故广从相乘为积步也。假令圆径二尺。圆中容六觚之一面，与圆径之半，其数均等(2)，合径率一而觚周率三也(3)。又按为图(4)，以六觚之一面乘半径，四分取二，因而六之，得十二觚之幂(5)。若又割之，次以十二觚之一面乘半径，四分取四，因而六之，则得二十四觚之幂(6)。割之弥细，所失弥少(7)。割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣(8)。觚面之外，犹有余径(9)。以面乘余径，则幂出弧表(10)。若夫觚之细者(11)，与圆合体，则表无余径。表无余径，则幂不外出矣。以一面乘半径，觚而裁之，每辄自倍(12)。故以半周乘半径而为圆幂(13)。此以周径，谓至然之数(14)，非周三径一之率也。周三者，从其六觚之环耳。以推圆规多少之觉，乃弓之与弦也(15)。然世传此法，莫肯精核。学者踵古，习其谬失。不有明据，辩之斯难。凡物类形象，不圆则方。方圆之率，诚著于近，则虽远可知也。由此言之，其用博矣。谨按图验，更造密率。恐空设法，数昧而难譬。故置诸检括(16)，谨详其记注焉。割六觚以为十二觚术曰：置圆径二尺，半之为一尺，即圆里六觚之面也。令半径一尺为弦，半面五寸为勾，为之求股。以勾幂二十五寸减弦幂，余七十五寸。开方除之，下至秒忽(17)。又一退法，求其微数(18)。微数无名者以为分子，以十为分母，约作五分忽之二(19)。故得股八寸六分六厘二秒五忽、五分忽之二。以减半径，余一寸三分三厘九毫七秒四忽、五分忽之三，谓之小勾。觚之半面又谓之小股，为之求弦。其幂二千六百七十九亿四千九百一十九万三千四百四十五忽，余分弃之。开方除之，即十二觚之一面也(20)。割十二觚以为二十四觚术曰：亦令半径为弦，半面为勾，为之求股。置上小弦幂，四而一，得六百六十九亿八千七百二十九万八千三百六十一忽，余分弃之，即勾幂也。以减弦幂，其余开方除之，得股九寸六分五厘九毫二秒五忽、五分忽之四。以减半径，余三分四厘七秒四忽、五分忽之一，谓之小勾。觚之半面又谓之小股，为之求小弦。其幂六百八十一亿四千八百三十四万九千四百六十六忽，余分弃之。开方除之，即二十四觚之一面也。割二十四觚以为四十八觚术曰：亦令半径为弦，半面为勾，为之求股。置上小弦幂，四而一，得一百七十亿三千七百八万七千三百六十六忽，余分弃之，即勾幂也。以减弦幂，其余，开方除之，得股九寸九分一厘四毫四秒四忽、五分忽之四。以减半径，余八厘五毫五秒五忽、五分忽之一，谓之小勾。觚之半面又谓之小股，为之求小弦。其幂一百七十一亿一千二十七万八千八百一十三忽，余分弃之。开方除之，得小弦一寸三分八毫六忽，余分弃之，即四十八觚之一面。以半径一尺乘之，又以二十四乘之，得幂三万一千三百九十三亿四千四百万忽(21)。以百亿除之，得幂三百一十三寸、六百二十五分寸之五百八十四(22)，即九十六觚之幂也。割四十八觚以为九十六觚术曰：亦令半径为弦，半面为勾，为之求股。置次上弦幂，四而一，得四十二亿七千七百五十六万九千七百三忽，余分弃之，则勾幂也。以减弦幂，其余，开方除之，得股九寸九分七厘八毫五秒八忽、十分忽之九。以减半径，余二厘一毫四秒一忽、十分忽之一，谓之小勾。觚之半面又谓之小股，为之求小弦。其幂四十二亿八千二百一十五万四千一十二忽，余分弃之。开方除之，得小弦六分五厘四毫三秒八忽，余分弃之，即九十六觚之一面。以半径一尺乘之，又以四十八乘之，得幂三万一千四百一十亿二千四百万忽。以百亿除之，得幂三百一十四寸、六百二十五分寸之六十四，即一百九十二觚之幂也。以九十六觚之幂减之，余六百二十五分寸之一百五，谓之差幂(23)。倍之，为分寸之二百一十，即九十六觚之外觚田九十六，所谓以弦乘矢之凡幂也(24)。加此幂于九十六觚之幂，得三百一十四寸、六百二十五分寸之一百六十九，则出于圆之表矣(25)。故还就一百九十二觚之全幂三百一十四寸，以为圆幂之定率(26)，而弃其余分。以半径一尺除圆幂，倍之得六尺二寸八分，即周数。令径自乘为方幂四百寸，与圆幂相折，圆幂得一百五十七为率，方幂得二百为率。方幂二百，其中容圆幂一百五十七也。圆幂犹为微少。按弧田图令方中容圆，圆中容方，内方合外方之半(27)。然则圆幂一百五十七，其中容方幂一百也。又令径二尺与周六尺二寸八分相约，周得一百五十七，径得五十，则其相与之率也(28)。周率犹为微少也。晋武库中汉时王莽作铜斛，其铭曰：“律嘉量斛(29)，内方尺而圆其外，庣旁九厘五毫(30)，幂一百六十二寸，深一尺，积一千六百二十寸，容十斗。”以此术求之，得幂一百六十一寸有奇，其数相近矣(31)。此术微少，而觚差幂六百二十五分寸之一百五(32)。以十二觚之幂为率，以率消息，当取此分寸之三十六，以增于一百九十二觚之幂以为圆幂，三百一十四寸、二十五分寸之四(33)。置径自乘之方幂四百寸，令与圆幂相通约，圆幂三千九百二十七，方幂得五千。是为率，方幂五千中容圆幂三千九百二十七；圆幂三千九百二十七中容方幂二千五百也。以半径一尺除圆幂三百一十四寸、二十五分寸之四，倍之得六尺二寸八分、二十五分寸之八，即周数也。全径二尺，与周数通相约，径得一千二百五十，周得三千九百二十七，即其相与之率(34)。若此者，盖尽其纤微矣。举而用之，上法为约耳。当求一千五百三十六觚之一面，得三千七十二觚之幂，而裁其微分，数亦宜然，重其验耳(35)。臣淳风等谨按：旧术求圆，皆以周三径一为率。若用之求圆周之数，则周少径多。用之求其六觚之田，乃与此率合会耳。何则？假令六觚之田，觚间各一尺为面，自然从角至角，其径二尺可知。此则周六径二，与周三径一已合。恐此犹以难晓，今更引物为喻。设令刻物作圭形者六枚，枚别三面，皆长一尺。攒此六物悉使锐头向里，则成六觚之周，角径亦皆二尺。更从觚角外畔围绕为规，则六觚之径尽达规矣(36)。当面径短，不至外规。若以径言之，则为周六尺，径二尺，面径皆一尺。面径股不至外畔，定无二尺可知(37)。故周三径一之率，于圆周乃是径多周少。径一周三，理非精密。盖术从简要，举大纲略而言之。刘徽将以为疏，遂乃改张其率。但周径相乘数难契合。徽虽出斯二法(38)，终不能究其纤毫也(39)。祖冲之以其不精，就中更推其数。今者修撰，捃摭诸家(40)，考其是非，冲之为密。故显之于徽术之下，冀学者之所裁焉。

又术曰：周径相乘，四而一。此周与上觚同耳(41)。周径相乘各当以半，而今周径两全，故两母相乘为四，以报除之。于徽术以五十乘周，一百五十七而一，即径也；以一百五十七乘径，五十而一，即周也。新术径率犹当微少。据周以求径，则失之长；据径以求周，则失之短。诸据见径以求幂者，皆失之于微少；据周以求幂者，皆失之于微多(42)。臣淳风等按依密率，以七乘周，二十二而一即径；以二十、二乘径，七而一即周。依术求之即得。

又术曰：径自相乘，三之，四而一。按圆径自乘为外方。三之，四而一者，是为圆居外方四分之三也。若令六觚之一面乘半径，其幂即外方四分之一也。因而三之，即亦居外方四分之三也。是为圆里十二觚之幂耳。取以为圆，失之于微少。于徽新术，当径自乘，又以一百五十七乘之，二百而一。臣淳风等谨按密率，令径自乘，以十一乘之，十四而一，即圆幂也。

又术曰：周自相乘，十二而一。六觚之周其于圆径，三与一也。故六觚之周自相乘为幂，若圆径自乘者九方，九方凡为十二觚者十有二，故曰十二而一，即十二觚之幂也。今此令周自乘，非但若为圆径自乘者九方而已。然则十二而一，所得又非十二觚之类也。若欲以为圆幂，失之于多矣(43)。以六觚之周自乘，十二而一可也。于徽新术，直令圆周自乘，又以二十五乘之，三百一十四而一，得圆幂(44)。其率(45)：二十五者，圆幂，三百一十四者，周自乘之幂也。置周数六尺二寸八分，令自乘得幂三十九万四千三百八十四分，又置圆幂三万一千四百分，皆以一千二百五十六约之，得此率。臣淳风等谨按：方面自乘即得其积。圆周求其幂，假率乃通(46)。但此术所求，用三一为率。圆田正法，半周及半径以相乘。今乃用全周自乘，故须以十二为母。何者？据全周而求半周，则须以二为法，就全周而求半径，复假以六以除之。是二、六相乘，除周自乘之数。依密率以七乘之，八十八而一。

【注释】

(1)按半周为从，半径为广：按刘徽注之意，圆之面积等于一个长方形之面积，此长方形以圆周之半为长，以半径为宽。这从下文割圆拼方的论述中得到证实。所以，圆田可化为方田来计算。

(2)圆中容六觚（gū）之一面，与圆径之半，其数均等：作圆内接正六边形，它的一边之长与半径之数相等。六觚，即正六边形。觚，棱角。面，边。

(3)率：比率、比数。古代圆周率用两个比数来表示。

(4)又按为图：刘徽注原有附图，此图的内容为割圆为十二觚幂图与割圆为二十四觚幂图。为，是。

(5)以六觚之一面乘半径，四分取二，因而六之，得十二觚之幂：由圆内接正六边形的一边乘半径所得方形之面积推求圆内接正十二边形的面积，将此方幂四分，如图1-10所示，每分即为一顶点在圆心，两腰为半径，底为十二觚之一面的圭形。在圆的六分之内包含两个这样的圭形，故曰“取二”。要计算全圆，便当“因而六之”，即乘以6。

(6)次以十二觚之一面乘半径，四分取四，因而六之，得二十四觚之幂：十二觚之一面乘半径所得为长方形，将其四分，如图1-11所示，每分则为一顶点在圆心，两腰为半径，底为二十四觚之一面的圭形，而在六分之一圆内包含这样的圭形共四个，故需“取四”。求全圆内所含圭形则再“因而六之”。

(7)割之弥细，所失弥少：将内接正多边形的边分割得越小，则它与外接圆的面积之差就越少。弥，更加。所失，指割圆拼方时所割弃的面积，即圆与其内接正多边形面积之差。

(8)割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣：《墨经·经下》“非半不则不动，说在端”认为，分割达到至极，便得到“端”（几何的点），是不可再分的。刘徽注承袭这一思想，认为继续等分圆周达到不可再分之时，内接正多边形便与外接圆相重合，因而其积无所弃舍。不可割，分割至极小不可再分。

(9)觚面之外，犹有余径：在圆内接正多边形周界之外，有半径之多余部分越出界外。觚面，正多边形的边。余径，圆径越出内接正多边形周界外之部分，即正多边形之半径与边心距之差。

(10)以面乘余径，则幂出弧表：以多边形之边与余径分别为长与宽的长方形，其区域越出了圆弧之外，如图1-12所示。以面乘余径，是指以多边形边长与余径分别为长与宽的长方形面积。弧表，圆弧之外。表，外。

(11)若夫：如果。觚之细者：指分割至极细的内接正多边形，它与圆相合。在刘徽看来，圆即边数无限多的正多边形。

(12)以一面乘半径，觚而裁之，每辄自倍：如图1-13所示，一面乘半径，指长、宽分别为半径与内接正多边形边长之长方形；觚而裁之，即剪裁为内接正多边形的构成单位“筝形”；每辄自倍，是说每个上述长方形裁为筝形，均一裁为二，个数要加倍。

(13)故以半周乘半径而为圆幂：因为每个以半径与内接正多边形边长分别为长宽的长方形，裁剪成的筝形个数要加倍，所以，长为内接正多边形周长、宽为半径的长方形，可裁剪为两个内接正多边形，即内接正多边形面积等于其周长之半乘以半径；圆是边数无限多的内接正多边形，因而圆面积亦等于其半周乘以半径。

(14)谓至然之数：为其精确数值。谓，为。至然，极正确。

(15)以推圆规多少之觉，乃弓之与弦也：以内接正六边形周长推算其与圆周长之相差多少，这就相当于比较弓弧和它所张的弦。圆规，此指圆周曲线。规，圆弧形。觉，通“较”，比较，在此指二者之差数。

(16)置诸检括：进行全面校正。检，检柙，亦作检押。括，亦作栝，隐括。《汉书·扬雄传》颜师古注：“检押，犹隐括也。”隐括，原为矫揉弯曲竹木等使平直或成形的器具。引申为剪裁组织文章的素材。检括，在此作校正解。

(17)开方除之，下至秒忽：开平方求方根，平方运算中方根之位数下取到秒与忽。古代开方得自除法，故曰“除之”。下，退让；此指开方的退后取位。秒与忽都是长度单位，《隋书·律历志》引《孙子算术》：“蚕所生吐丝为忽，十忽为秒，十秒为毫，十毫为厘，十厘为分。”

(18)又一退法，求其微数：往后再退一位，求更微小的数。又一退法，古代筹算开方求下一位方根的一个步骤。微数，即微小的数。

(19)微数无名者以为分子，以十为分母，约作五分忽之二：微数无名者，指退位开方所得未有单位名称的微小之商数。如上所述，求75的平方根：75平方寸=75×1010平方忽，而=866 025.4，此即表示8寸6分6厘2秒5忽又忽，尾数的分子4，无单位名称，此即“微数”。约简为，故得方根8寸6分6厘2秒忽。

(20)“故得股八寸六分六厘二秒五忽、五分忽之二”等句：叙述了内接正十二边形边长的计算过程，如图1-14所示。

小弦2=小勾2+小股2

=（133 974.6）2+（500 000）2

=17 949 193 445.16+250 000 000 000

=267 949 193 445（平方忽）

十二觚之一面=小弦

(21)以半径一尺乘之，又以二十四乘之，得幂三万一千三百九十三亿四千四百万忽：“以半径一尺乘之”的“之”，指已经算得的内接正四十八边形的边长1寸3分8毫6忽。此为计算内接正九十六边形面积的过程。

九十六觚之幂=四十八觚之面×半径×24

=130 806×1 000 000×24

=3 139 344 000 000（平方忽）

(22)以百亿除之，得幂三百一十三寸、六百二十五分寸之五百八十四：因为1平方寸=1010平方忽，故将平方忽化为平方寸时要以百亿除之。即

(23)以九十六觚之幂减之，余六百二十五分寸之一百五，谓之差幂：“减之”的“之”，指已算得的内接正一百九十二边形之面积。差幂，是指相邻两次割圆所得的两个内接正多边形面积之差。例如差幂=一百九十二觚之幂-九十六觚之幂（平方寸）。

(24)倍之，为分寸之二百一十，即九十六觚之外觚田九十六，所谓以弦乘矢之凡幂也：如图1-15所示，“差幂”是由96个带阴影的三角形面积加在一起而成；每个弦（即内接正多边形的一边）与矢之乘积，即觚面外方田面积，是差幂三角形面积的2倍，故2倍差幂就等于立于内接正九十六边形各边上的长方形面积之总和。分寸之，即“六百二十五分寸之”的省略说法，古算书中常用这样的语法以示文字语句的简洁。外觚田，位于觚面之外的方田。凡幂，面积之总和；凡，总共。

(25)加此幂于九十六觚之幂，得三百一十四寸、六百二十五分寸之一百六十九，则出于圆之表矣：此句的意思是一百九十二觚之幂<圆幂<九十六觚之幂+2×差幂，即

一般地，有：觚幂+差幂<圆幂<觚幂+2×差幂。

(26)故还就一百九十二觚之全幂三百一十四寸，以为圆幂之定率：意思是由于以上对圆面积上、下界的估算，所以还是取内接正一百九十二边形面积之整数部分，314寸2，作为约定之圆面积数。全幂，面积的整数部分；全，整。定率，约定之数值；定，约定。

(27)弧田图：与图1-16所示相类似，是刘徽注中为下文弧田术所绘之附图，其外方与圆相切，内方与圆相接，由图显见内方面积恰为外方面积的一半。

(28)周得一百五十七，径得五十，则其相与之率也：约简后，圆周得157，圆径得50，此即是它们相关的比率。相与，相交往；此作相关解。

(29)律嘉量斛：法定的标准量器“斛”。律，法则，规章；此作合法或法定解。嘉量，古代标准量器名。斛，1斛=10斗。

(30)庣（tiāo）旁：周代的量器为圆柱形，横截面是边长为一尺的正方形的外接圆，故云“内方尺而圆其外”。但王莽铜斛截面之外圆与内方相离，中有间隙称为“庣旁”。庣，凹下或不满之处。如图1-16所示，可知

庣旁=（外圆直径-内方对角线长）

或

外圆直径=内方对角线长+2×庣旁

(31)以此术求之，得幂一百六十一寸有奇，其数相近矣：此术，即上文所得之圆周率。由此计算：

这与铭文所载圆幂162平方寸相近而微少。

(32)此术微少，而觚差幂六百二十五分寸之一百五：此术，指以圆率来计算圆面积；所得之数为不足近似值，故曰“微少”。差幂，即前文所算内接正一百九十二边形与内接九十六边形面积之差平方寸，它是圆面积与内接正一百九十二边形面积之差的上界：

(33)以十二觚之幂为率，以率消息，当取此分寸之三十六，以增于一百九十二觚之幂以为圆幂，三百一十四寸、二十五分寸之四：以率消息，即是按比率增减。消息，作增减或损益解，就是调整加减之意。十二觚之差幂，为圆内接正二十四边形面积与内接正十二边形面积之差：

△₁=十二觚之差幂=3.105-3=0.105（平方尺）

若取觚幂加差幂来作圆幂之值，仍为不足近似，其“所失”为

δ₁=圆幂-（十二觚之幂+十二觚之差幂）

=3.141-（3+0.105）=0.036（平方尺）

而以内接正一百九十二边形面积来作圆面积值，其“所失”为

δ₂=圆幂-（九十六觚之幂+九十六觚之差幂）

=圆幂-一百九十二觚之幂

若假定差幂与“所失”有固定的比率，则所失δ₂可由比率关系估算：

于是显然有，故得

所以刘徽注说：“当取此分寸之三十六，以增于一百九十二觚之幂以为圆幂，三百一十四寸、二十五分寸之四。”

(34)全径二尺，与周数通相约，径得一千二百五十，周得三千九百二十七，即其相与之率：全径，即直径，其长2尺。全，整个。周数，指圆周长6尺2寸分。要求此二者之比数，因为其数有整有分，故必须化分数之比为简单的整数比，这便要相互通分、约简，即刘徽注所谓“通相约”。由此得径、周之比数为1 250∶3 927。

(35)当求一千五百三十六觚之一面，得三千七十二觚之幂，而裁其微分，数亦宜然，重其验耳：按刘徽割圆术推算可得内接正一千五百三十六边形边长a₁₅₃₆=0.004 090 612尺，于是得内接正三千七十二边形面积S₃₀₇₂=768×（a₁₅₃₆×r）=3.14 159 ≈3.141 6（平方尺）。裁其微分，就是删略微细部分不计。裁，削减，消除；此作删略不计解。数亦宜然，即所得之数S₃₀₇₂与上面由一百九十二觚之幂增加平方寸所得之圆面积平方寸，正相符合。宜然，作符合解。重其验耳，再次得以验证。重，再。

(36)更从觚角外畔围绕为规，则六觚之径尽达规矣：再通过正六边形诸顶点画圆，则正六边形的对角连线两端都伸展到圆周上。觚角，即正多边形的顶点。为规，即画圆。达规，即伸展到圆周上。

(37)面径股不至外畔，定无二尺可知：内接正六边形两对边之公垂线不能伸展到圆周的外侧，可知其必定不足二尺。面径，内接正六边形的边长。以它为勾，圆径为弦所围成的勾股形中，充当股边的即称为“面径股”。定无二尺可知，是倒装句，即“可知定无二尺”。由于圆内最长线段是直径，而此公垂线既在圆内而未达边界，故知其长小于圆径2尺，如图1-17所示。

(38)斯二法：这两种方法。二法，指按圆率或两种计算的方法。

(39)究其纤毫：穷尽极细微之数。究，穷尽；终极。

(40)捃摭（jùn zhí）诸家：搜集各家之说。捃摭，亦作攈摭、攟摭，摘取；搜集。

(41)此周与上觚同耳：此处所谓的“周”，实际是上面所说的内接正六边形的周长而已。此周，指术文“周径相乘”中的“周”，当是圆周之长。上觚，即上文圆田术中所用之六觚。圆田术以“半周半径相乘得积步”，从题设可知，其圆周长皆由直径依据周三径一之率推得。故其所谓之“周”实际上等同于六觚之周。

(42)诸据见径以求幂者，皆失之于微少；据周以求幂者，皆失之于微多：见，同“现”；此作已知解。由已知直径用圆率而求圆面积：

它小于圆面积的精确值，故注文云：“诸据见径以求幂者，皆失之于微少”。若由已知圆周长用圆率而求圆的面积：

它大于圆面积之精确值圆周2≈0.079 577圆周2，故注文云：“据周以求幂者，皆失之于微多。”

(43)今此令周自乘，非但若为圆径自乘者九方而已。然则十二而一，所得又非十二觚之类也。若欲以为圆幂，失之于多矣：此又术为已知圆周长求圆面积。故“今此令周自乘”的“周”，当指圆周。上文已说明六觚之周自乘之积相当于9个由直径自乘而成的正方形面积；圆周长大于六觚之周长，故圆周自乘亦大于六觚之周自乘，所以它并不相当于9个由直径自乘而成的正方形面积。因此，圆周长自乘也就不相当于12个十二觚之幂；它除以12，所得之数也就不同于十二觚之幂了。由积，故徽注说，若按周长2来计算圆面积，则失之于多了。

(44)于徽新术，直令圆周自乘，又以二十五乘之，三百一十四而一，得圆幂：新术，指以刘徽新得圆率计算。按圆面积=圆周2，取，则有圆面积=圆周2，这就是刘徽提出的新算法。

(45)其率：其中之比率，指上文公式中的比数25与314。徽注指出此比数的几何意义：它们表示圆面积与以圆周长为边的正方形面积之比。

(46)假率乃通：只有凭借圆周率才能进行。假，凭借。率，指圆周与直径之比率。乃，才。通，作可行解。

【译文】

[1-31]已知圆形田，圆周为30步，直径10步。李淳风等按：题设取圆周率π =3，所以当圆周30步时，折合直径10步。若依圆周密率等折算，直径应为步。问田的面积多少？

答：75平方步。若按刘徽圆率计算，此圆田面积应是平方步。李淳风等按：若依圆周密率等计算，圆田面积则为平方步。

[1-32]又知圆形田，圆周为181步，直径步。李淳风等按：取π =3，当圆周为181步时，折合直径步；若依圆周密率折算，则直径应为步。问田的面积多少？

答：11亩平方步。若按刘徽圆率计算，此圆田面积应是10亩平方步。李淳风等按：若依密率计算，圆田面积则为10亩平方步。

圆形田面积算法：以圆周之半与半径相乘便得圆田面积的平方步数。按圆周之半作为长，半径作为宽，所以长宽相乘得面积步数。设圆的直径为2尺。圆内接正六边形的一边，与半径之长，二者相等，正合于直径与周长之比数为1比3。又依此图，以圆内接正六边形边长乘以半径，将所得之方幂分为4份取其中相应的2份，再乘以6，便得圆内接正十二边形面积。若再等分，继而以圆内接正十二边形边长乘以半径，将所得方幂分为4份取相应的4份，再乘以6，则得圆内接正二十四边形面积。分割得越细密，内接正多边形与圆面积之相差越少。继续等分圆周，达到不可再分之时，则内接正多边形与圆相重合，从而两者面积相等。在内接正多边形边界之外，尚有“余径”（正多边形边心距与半径之差）。以内接正多边形边长与余径相乘，则这些面积都越出于圆外。假若内接正多边形无限细密，以致与圆相重合，则界外没有余径。没有余径，那么也就没有矩形的面积越出圆外了。以内接正多边形一边与半径相乘，这样的长方形面积若要剪裁成边数加倍的内接正多边形，每个长方形恰可裁成加倍的筝形。所以周长的一半乘以半径便是圆的面积。这里的圆周与直径，乃用其精确值，其比数并非3比1。周长比数取3，乃是用内接正六边形之周长。用它来推算圆周长与内接正六边形周长相较有多少，这同弓弧和它所张弦的比较一样。然而世人流传此法，未加仔细研究校正。后世学者继承古法，因袭其误差。如果没有明证，是难以辩正它的。凡是物类的形象，非圆即方。讨论方与圆之比数，固然显得很浅近，却可用它推知深远的事物。由此说来，它的用处是很博大的。严格用图来证明，推算出更精密的圆周率。唯恐凭空设立新的圆率，这样数值从何而来使人无法明了。故而加以校正，并详加说明与记录它。分割内接正六边形为内接正十二边形的算法：设直径为2尺，则半径1尺，即圆内接正六边形之边长。令半径1尺为弦，边长之半5寸为勾，求股边（即边心距）之长。用勾方25平方寸去减弦方，余数为75平方寸。开平方，计算到秒、忽。往后再退一位，求更微小之商数。以此已没有单位名称的“微数”为分子，以10为分母，约简成忽。故得股为8寸6分6厘2秒忽。用它减半径，得余数1寸3分3厘9毫7秒忽，称为小勾。取边长之半称为小股，而由此求弦。得弦方267 949 193 445平方忽，将忽以下之小数舍弃。开平方，便得内接正十二边形之边长。分割内接正十二边形为内接正二十四边形算法：同样令半径为弦，边长之半为勾，而求其股。将上面所得之小弦方，除以4，得66 987 298 361平方忽，弃去平方忽以下小数，此即勾方。用它减弦方，余数开平方，得股9寸6分5厘9毫2秒忽。以股减半径，余数3分4厘7秒忽，称为小勾。内接正十二边形边长之半称为小股，而求其小弦。得弦方68 148 349 466平方忽，舍弃平方忽以下小数。开平方，便得内接正二十四边形之边长。分割内接正二十四边形为内接正四十八边形算法：同样令半径为弦，边长之半为勾，而求其股。将上面所得之小弦方，除以4，得17 037 087 366平方忽，弃去平方忽以下小数，此即勾方。用它减弦方，余数，开平方，得股9寸9分1厘4毫4秒忽。以股减半径，余数8厘5毫5秒忽，称为小勾。内接正二十四边形边长之半称为小股，而求其小弦。得弦方17 110 278 813平方忽，舍弃平方忽以下小数。开平方，得小弦1寸3分8毫6忽，舍弃忽以下小数，此即内接正四十八边形之边长。以半径1尺乘边长，再乘以24，得面积3 139 344 000 000平方忽。以1010除之，得面积平方寸，此即圆内接正九十六边形之面积。分割内接正四十八边形为内接正九十六边形算法：同样令半径为弦，边长之半为勾，而求其股。将上面所得之小弦方，除以4，得4 277 569 703平方忽，舍弃平方忽以下小数，此即勾方。用它减弦方，余数，开平方，得股9寸9分7厘8毫5秒忽。以股减半径，余数2厘1毫4秒忽，称为小勾。内接正四十八边形边长之半称为小股，而求其小弦。得弦方4 282 154 012平方忽，舍弃平方忽以下小数。开平方，得小弦6分5厘4毫3秒8忽，舍弃忽以下小数，此即内接正九十六边形之边长。以半径1尺乘边长，再乘以48，得面积3 141 024 000 000平方忽。以1010除之，得面积平方寸，此即圆内接正一百九十二边形之面积。用内接正九十六边形面积减此面积，余数平方寸，称为“差幂”。其2倍，为平方寸，即是立于内接正九十六边形外的96块长方形之积，所谓用弦乘矢之面积的总和。将此面积加于内接正九十六边形面积，得平方寸，则此积已越出于圆周之外了。所以还是取内接正一百九十二边形面积之整数部分314平方寸，作为圆面积之约定值，而舍弃平方寸以下之小数。用半径1尺除圆面积，乘以2得6尺2寸8分，此即圆周长。令直径自乘得圆外切正方形面积400平方寸，与圆面积相推算，内切圆面积之比数为157，外切正方形面积之比数为200。按面积为200的正方形中，容内切圆面积157计算。圆的面积值尚且稍微少了些。依弧田图正方形中容纳内切圆，内切圆中又容纳内接正方形，则内接正方形面积等于外切正方形面积之半。于是面积为157的圆中，容纳面积为100的内接正方形。又令直径2尺与圆周6尺2寸8分相约，得圆周157，直径50，这就是圆周与直径的比率。其圆周比数尚且稍微小了些。晋朝武库中有汉代王莽所造的铜斛，上有铭文：“律嘉量斛，其底面为边长为1尺的正方形的外离圆，外圆周与内方顶点的间距为9厘5毫，其面积为162平方寸，深为1尺，体积为1 620立方寸，容量是10斗。”用此圆周率计算，得圆面积161平方寸多一些，与铭文记载相近。以此圆率计算圆面积得数要小一些，而由内接正一百九十二边形与九十六边形面积之差的“差幂”平方寸。以内接正十二边形之幂来估算差幂以为比率，按比例增减，应取平方寸，加于内接正一百九十二边形之面积内作为圆的面积，得寸。设以直径为边的正方形面积为400寸，令其与圆面积相通约，得圆面积比数3 927，正方形面积比数为5 000。作为比率，面积为5 000的正方形中容面积为3 927之内切圆；面积为3 927的圆中容面积为2 500的内接正方形。以半径1尺除圆面积寸，再乘以2得6尺2寸分，即是圆周长。将直径2尺，与圆周长相通约，得直径1 250，圆周3 927，此即直径与圆周长的比数。如此所得之圆率，已是极其精密的了。要是取作应用，还是上面所得之圆率更为简便。当求得内接正一千五百三十六边形边长，算出内接正三千零七十二边形面积，而舍弃其微小部分，所得之数与上面增减所得之圆面积数正相符合，再次得以验证。李淳风等按：关于圆计算的古法，皆以周三径一为比率。若以此率计算圆周长，则周少而径多。用此率来计算内接正六边形，则是完全相符的。道理何在？假设正六边形，相邻顶点之间每边之长皆为1尺，自然对角之间的距离，即直径可以推知为2尺。这才是周长6径长2，与周三径一相符合。恐怕读者对此还是难以明了，现再征引器物来作比喻。假设用物刻制成三角形板六枚，每枚各有三条边，长皆为1尺。集聚此六块板使其顶角都指向中心，则构成正六边形之周界，对角连线皆长2尺。再过正六边形各顶点以画圆，则正六边形之对角连线都与圆径相合。圆内接正六边形的各条边皆比其外圆弧要短，不能到达外圆径。若就圆径而论，则其周长为6尺，直径为2尺，每边长皆1尺。既然圆内接正六边形两对边的公垂线端点未达圆外，故知其长不足2尺。所以以周三径一为比率，对圆周来说则是径多而周少。径一周三，并非精确的比数。只是为使算法简便，取其近似值而已。刘徽则以为其粗疏，便对圆率另作改进。但是用圆周与直径相乘二者之数难于吻合。刘徽虽然给出了上面两个圆周率，但仍然没有能够达到丝毫无差的程度。祖冲之认为它不够精密，在其基础上进一步推算圆率。如今编撰本书，搜集各家之说，考察其是非，还是祖冲之的圆率更为精密。故将它明显记载于刘徽算法之后，希望学者们作出自己的评判。

另一算法：周长与直径相乘，除以四。这里的周长实际是上文所说的内接正六边形之周长。本当各取周与径之半数相乘，而今用二者的全数相乘，故以两分母之乘积4，来返除之。按刘徽圆率计算以50乘周长，除以157，即得直径；以157乘直径，除以50，即得周长。在新算法中直径的比数还应稍小一些。由圆周求直径时，便失之于得数过大；由直径而求周长，又失之于得数过小。由已知直径求圆面积，总失之于得数微少；由周长求圆面积，则又失之于微多。李淳风等按：若依圆周密率计算，则以7乘周长，除以22得直径；又以22乘直径，除以7得周长。按上述算法推演便得圆的面积。

另一算法：以直径自乘，乘以三，除以四。按圆的直径自乘为外切正方形面积。乘以3，除以4，此作为圆面积占外切正方形面积的四分之三。若令内接正六边形之边长乘半径，其面积是外切正方形面积的四分之一。乘以3，也就占外切正方形面积的四分之三了。此乃是圆内接正十二边形的面积。用它来当作圆面积，失之于稍微少一些。按照新得徽率计算，应以直径自乘，又以157乘它，除以200。李淳风等按：依圆周密率计算，令直径自乘，以11乘它，除以14，便得圆面积。

另一算法：以圆周自乘，除以12。内接正六边形之周长与圆的直径之比，为3比1。所以内接正六边形之周长自乘，其面积相当于9个由直径自乘而成的正方形面积，9个这样的正方形面积之总和相当于12个圆内接正十二边形面积，所以除以12，即是内接正十二边形面积。现在令圆周长自乘，并不相当于9个由直径自乘而成的正方形的面积。这样一来它除以12，所得之数也与内接正十二边形面积不同。欲以它来当圆面积，便失之于多了。以内接正六边形之周长自乘，除以12当然是可以的。依照刘徽新得的圆率推算，就令圆周自乘，又乘以25，以314除之，得圆面积。其中比率：25，表示圆面积，314，表示周长自乘的面积。设圆周长6尺2寸8分，令其自乘得面积394 384平方分，又设圆面积31 400平方分，皆以1 256约之，便得此比率。李淳风等按：正方形的边长自乘即得其面积。由圆周长求圆面积，借助于圆周率方能推算。但此术所作计算，用周三径一为比率。求圆面积的基本法则，是半周与半径相乘。现今是以全周自乘，所以必除以12为分母。为何如此？由全周而求半周，必须除以2，据全周求半径，又须以6相除。即是用2与6相乘，以除圆周自乘之数。按密率计算，则用7乘之，除以88。

[1-33]今有宛田(1)，下周三十步，径十六步。问为田几何？

答曰：一百二十步。

[1-34]又有宛田，下周九十九步，径五十一步。问为田几何？

答曰：五亩六十二步、四分步之一。

术曰：以径乘周，四而一。此术不验(2)。故推方锥以见其形(3)。假令方锥下方六尺，高四尺。四尺为股，下方之半三尺为勾，正面邪为弦(4)，弦五尺也。令勾弦相乘。四因之，得六十尺，即方锥四面见者之幂(5)。若令其中容圆锥，圆锥见幂与方锥见幂，其率犹方幂之与圆幂也。按方锥下方六尺，则方周二十四尺，以五尺乘而半之，则亦方锥之见幂。故求圆锥之数，折径以乘下周之半(6)，即圆锥之幂也。今宛田上径圆穹，而与圆锥同术，则幂失之于少矣(7)。然其术难用，故略举大较，施之大广田也。求圆锥之幂，犹求圆田之幂也。今用两全相乘，故以四为法，除之，亦如圆田矣。开立圆术，说圆方诸率甚备，可以验此。

【注释】

(1)宛田：可以看作是由圆田将其中央隆高而成，其形如土堆、丘陵、墓冢之类，即后世俗称之“丘田”。宛，屈曲，即与“平直”之义相反。《尔雅·释丘》：“宛中宛丘。”晋郭璞注曰：“宛，谓中央隆高。”李籍《九章算术音义》：“，当作宛之误也。宛田者，中央隆高。”

(2)不验：不合于检验，此作不精确解。验，检验，证实。

(3)推：推究，推想。方锥：底面为正方形的正四棱锥。见：通“现”，显现。

(4)正面邪为弦：正面邪，即前侧面之斜高，它与锥高、边心距（半方）构成一勾股形之弦、股、勾，如图1-18所示。

(5)四面见者：即四周可以见到的部分，也就是现在所谓方锥的侧面。四面，周围四方之意。见者，即地面上可以看得见的。幂：面积。

(6)折径：圆锥的“径”是与圆锥轴线在同一平面内的两条母线连接而成的折线段，故称之为“折径”；这里的“折径”乃指其中之一条母线，“折”字含有折取其半的意思，如图1-19所示。

(7)今宛田上径圆穹，而与圆锥同术，则幂失之于少矣：宛田的“上径”像穹隆上一条光滑的弧线，由于宛田上径为外凸的曲线，因而距顶点等远处作水平截面所得的圆，一般总比圆锥面上的截面圆要大，因而从选线成面的观点来看，宛田的面积总比圆锥为大，如图1-19所示。所以徽注云：“而与圆锥同术，则幂失之于少矣。”穹，穹隆，像天空那样中央隆起而四面下垂的形状。

【译文】

[1-33]已知丘田，下周长30步，径长16步。问田的面积多少？

答：120平方步。

[1-34]又知丘田，下周长99步，径长51步。问田的面积多少？

答：5亩平方步。

丘田面积算法：用径长乘周长，除以四。此算法不精确。所以推究方锥来表现它的形状。假设方锥底边长6尺，高4尺。以（锥高）4尺为股，底边之一半3尺为勾，方锥之斜高为弦，则弦长5尺。令勾长（3尺）与弦长（5尺）相乘。乘以4，得60平方尺，即是方锥四个侧面的总面积。假设方锥之中包容内切圆锥，则圆锥侧面积与方锥侧面积，它们的比数就如同圆面积与外切正方形面积之比。按方锥底边长6尺，则底面周长24尺，以5尺乘它再除以2，则也得方锥之侧面积。所以计算圆锥之数值，用母线之长乘底面周长的一半，便得圆锥之侧面积。如今丘田的上径成为圆穹弧状，而与圆锥用同一法则计算，所得面积值便失之于少了。然而丘田的精确计算难以行用，所以略举大概，应用于界域广阔的土地测算。求圆锥的侧面积，就如同求圆面积一样。现以全周、全径相乘，所以用4作除数，相除，也与圆面积计算相同。开立圆术中，论述圆与方的各种比率关系十分完备，可以证实此说。

[1-35]今有弧田(1)，弦三十步，矢十五步。问为田几何？

答曰：一亩九十七步半。

[1-36]又有弧田，弦七十八步、二分步之一，矢十三步、九分步之七。问为田几何？

答曰：二亩一百五十五步、八十一分步之五十六。

术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一。方中之圆，圆里十二觚之幂，合外方之幂四分之三也。中方合外方之半，则殊实合外方四分之一也(2)。弧田，半圆之幂也(3)，故依半圆之体而为之术。以弦乘矢而半之则为黄幂，矢自乘而半之为二青幂。青、黄相连为觚体(4)。觚体法当应规，今觚面不至外畔，失之于少矣。圆田旧术以周三径一为率，俱得十二觚之幂，亦失之于少也。与此相似，指验半圆之弧耳(5)。若不满半圆者，益复疏阔(6)。宜依《勾股》锯圆材之术，以弧弦为锯道长，以矢为锯深，而求其径(7)。既知圆径，则弧可割分也。割之者，半弧田之弦以为股，其矢为勾，为之求弦，即小弧之弦也。以半小弧之弦为勾，半圆径为弦，为之求股，以减半径，其余即小弧之矢也(8)。割之又割，使至极细。但举弦矢相乘之数，则必近密率矣(9)。然于算数差繁，必欲有所寻究也。若但度田，取其大数，旧术为约耳。

【注释】

(1)弧田：即弓形田。弧，木弓。如《周易·系辞下》：“弦木为弧。”又指张旗的竹弓，见《礼记·明堂位》：“载弧韣。”孙希旦集解：“弧以竹为之，其形象弓，以张旌旗之幅。”

(2)方中之圆，圆里十二觚之幂，合外方之幂四分之三也。中方合外方之半，则殊实合外方四分之一也：刘徽原注附有弧田图，但早已亡佚，今依注文之意补绘，如图1-20所示，此段注文乃按图说数。在圆田又术之二的徽注中已经说明，圆内切正十二边形面积S₁₂等于外切正方形面积A的，即。圆的内接正方形面积A₀等于外切正方形面积的，即。于是，由内切正十二边形减去内切正方形而所余区域，称之为“青实”，其面积应是外切正方形面积的，即青实。

(3)弧田，半圆之幂也：徽注此句之意是说，把弓形当成半圆来计算面积。此“弧田”乃“弧田之幂”的略语。半圆是特殊的弓形；[1-35]题中，题设弦长30步，弓形高15步，此弓形即是半圆。

(4)青、黄相连为觚体：如图1-20所示，青，指二青幂，即两块青色梯形；黄，指一黄幂，即一块黄色三角形；两种颜色的图形相连接，构成圆内十二觚的一半，称之为“觚体”。觚体，即觚的一部分。体，部分。《墨子·经上》：“体，分于兼也。”《墨子·经说上》：“体，若二之一；尺之端也。”

(5)指验：旨在验证。指，通“旨”。

(6)若不满半圆者，益复疏阔：若计算小于半圆的弓形面积，此算法就更加粗疏了。刘徽此说可由实际计算得到验证。益复，更加。疏阔，不周密。

(7)宜依《勾股》锯圆材之术，以弧弦为锯道长，以矢为锯深，而求其径：“锯圆材术”见于本书《勾股》章[9-9]题，它由弦、矢而求其径，有公式：圆径=（）2÷矢+矢。弧弦，即弧田之弦。

(8)割之者，半弧田之弦以为股，其矢为勾，为之求弦，即小弧之弦也。以半小弧之弦为勾，半圆径为弦，为之求股，以减半径，其余即小弧之矢也：与“割圆术”类似，刘徽提出“割弧术”。它将弧田分割为一系列由大到小的弓形之内接等腰三角形而求其面积之和。为此需要计算这些内接三角形的底和高，即小弓形之弦和矢。如图1-21所示，这段话叙述了由大弦、大矢而求再分割所得小弦、小矢的递推公式：

(9)割之又割，使至极细。但举弦矢相乘之数，则必近密率矣：设若在不断等分“割弧”的过程中，由弦l和矢h推算得的小弦依次为l₁，l₂，…，l_n，小矢依次为h₁，h₂，…，h_n，按徽注这段话所说，所有这些弦、矢相乘之和：无限趋近于弓形面积的精确值。但举，只要遍取的意思。但，只要。举，全，皆；在此释为遍取。

【译文】

[1-35]已知弓形田，弦长30步，弓形高15步。问田的面积多少？

答：1亩平方步。

[1-36]又知弓形田，弦长步，弓形高步。问田的面积多少？

答：2亩平方步。

弓形田面积算法：以弦长乘弓形高，弓形高又自乘，两数相加，除以2。正方形中作内切圆，则圆的内接正十二边形的面积，等于圆外切正方形面积的。圆的内接正方形面积等于圆的外切正方形面积的一半，弧田图中涂成青色的区域的面积便等于外切正方形面积的。弓形田面积，取半圆之面积，所以按照半圆的形体来制作算法。面积为弦长乘以弓形高的一半的区域涂为黄色，面积为弓形高自乘之一半对应的是二块青色区域。青、黄两色区域连接而成“觚体”。“觚体”理应内接于圆周，它的边界全包含在半圆内部，故以它代替半圆（弓形）面积便失之于少了。计算圆面积的旧算法取周三径一为比率，各术所得之数俱为内接正十二边形面积，也失之于少。与此相类似，不过这里旨在论证半圆的面积而已。如果所论弓形小于半圆，用此法计算面积就更加粗疏了。更合适的办法是按《勾股》章的“锯圆材术”，以弓形之弦长为锯道长，以弓形高为锯深，而求其直径。既然知道圆之直径，便可对弧田进行分割了。分割的方式，是以弓形之弦的一半为股，弓形高为勾，由此而求弦，即得小弓形之弦。又以小弓形之弦的一半为勾，圆半径为弦，由此求股，以股减半径，其余数即是小弓形之高了。分割再分割，使它无限细密。只要遍取弓形之弦和高相乘之积数相加，则必接近于弓形面积之精确值。然而对数值计算中的差异，一定会想要进行一番寻根究底的探讨。如果只是度量田亩，取其约数，还是旧的算法简便。

[1-37]今有环田，中周九十二步(1)，外周一百二十二步，径五步。此欲令与周三径一之率相应，故言径五步也。据中、外周，以徽术言之，当径四步、一百五十七分步之一百二十二也(2)。臣淳风等谨按：依密率，合径四步、二十二分步之十七(3)。问为田几何？

答曰：二亩五十五步。于徽术，当为田二亩三十一步、一百五十七分步之二十三(4)。臣淳风等依密率，为田二亩三十步、二十二分步之十五(5)。

术曰：并中外周而半之，以径乘之为积步。此田截(6)，而中之周则为长(7)。并而半之者，亦以盈补虚也。此可令中外周各自为圆田，以中圆减外圆，余则环实也。

[1-38]又有环田，中周六十二步、四分步之三，外周一百一十三步、二分步之一，径十二步、三分步之二。此田环而不通匝(8)，故径十二步、三分步之二。若据上周求径者，此径失之于多，过周三径一之率，盖为疏矣(9)。于徽术，当径八步、六百二十八分步之五十一(10)。臣淳风等谨按：依周三径一考之，合径八步、二十四分步之一十一(11)。依密率，合径八步、一百七十六分步之一十三(12)。问为田几何？

答曰：四亩一百五十六步、四分步之一。于徽术，当为田二亩二百三十二步、五千二十四分步之七百八十七也(13)。依周三径一，为田三亩二十五步、六十四分步之二十五(14)。臣淳风等谨按：密率，为田二亩二百三十一步、一千四百八分步之七百一十七也(15)。密率术曰：置中、外周步数，分母、子各居其下。母互乘子；通全步，内分子。以中周减外周，余半之。径亦通分内子。以周为密实，径为法(16)。

术曰：并中、外周步数：分母、子各居其下，母互乘子，通全步，内分子，并而半之。径亦通分内子，以乘周为实，分母相乘为法，除之为积步，余积步之分。以亩法除之，即亩数也。按此术，并中、外周步数于上，分母子于下，母互乘子者，为中、外周俱有分，故以互乘齐其子，母相乘同其母。子齐母同，故通全步，内分子。并而半之者，以盈补虚，得中平之周。周则为从，径则为广，故广从相乘而得其积。既合分母，还须分母出之，故令周径分母相乘而连除之，即得积步。不尽，以等数除之而命分。以亩法除积步，得亩数也。

【注释】

(1)中周：即内圆周或内圆弧。中，内，里。

(2)据中、外周，以徽术言之，当径四步、一百五十七分步之一百二十二也：，取，可计算得，环径=（122-（步）。故徽注云：“当径四步、一百五十七分步之一百二十二也。”

(3)依密率，合径四步、二十二分步之十七：取，可得，环径=（步）。故李注云：“合径四步、二十二分步之十七。”

(4)于徽术，当为田二亩三十一步、一百五十七分步之二十三：按徽率；推得环径=步，依环田公式得

故徽注云：“当为田二亩三十一步、一百五十七分步之二十三。”

(5)依密率，为田二亩三十步、二十二分步之十五：取，推得环径=步，依环田公式得

故李注云：“为田二亩三十步、二十二分步之十五。”

(6)截：切断；引申为斩齐，如斩截。《诗经·商颂·长发》：“海外有截。”郑玄笺：“截，整齐也。”

(7)中：不高不下。此处之“中”指“中平之周”，即内、外周的平均。

(8)环而不通匝：成圆环形但不能环绕一周。匝，周遍，环绕一周。

(9)若据上周求径者，此径失之于多，过周三径一之率，盖为疏矣：文中“求径者”的“径”，当指环径。而“过周三径一之率”的“径”，当指圆的直径。何以徽注前后二“径”不加区分？这是因为“密率术”给出下述比率关系：

此可由比率关系导出，如图1-22所示，有

外周∶外径=中周∶中径

然则由取差率，得

此即

由题设之数推径、周之率，有

由此推得周率3，径率，与周3径1比较，所以说“径失之于多”了。

(10)于徽术，当径八步、六百二十八分步之五十一：是说按，据

(11)依周三径一考之，合径八步、二十四分步之一十一：即若由比率关系

则推得，

(12)依密率，合径八步、一百七十六分步之一十三：即若由比率关系

则推得，

(13)于徽术，当为田二亩二百三十二步、五千二十四分步之七百八十七也：即如上所推算，要将环田看作通匝之整圈环形，而取，则推得环径步，应得

即合2亩平方步。

(14)依周三径一，为田三亩二十五步、六十四分步之二十五：即如上所推算，要将环田看作通匝之整圈环形，而取π =3，则推得环径步，于是应得

即合3亩平方步。

(15)密率，为田二亩二百三十一步、一千四百八分步之七百一十七也：即如上所推算，要将环田看作通匝之整圈环形，而取，则推得环径步，于是应得

即合2亩平方步。

(16)密率术曰：置中、外周步数，分母、子各居其下。母互乘子；通全步，内分子。以中周减外周，余半之。径亦通分内子。以周为密实，径为法：由前所论，对于环形有

按本段注文之意，即将比率（外周-中周）∶环径，称为“密率”。当环形为整圈环时，它即圆周与直径的比率；当环形不通匝，即为环缺时，设环缺所对中心角为α弧度，外周弧长为C₁，半径r₁；中周弧长C₂，半径r₂，于是C₁=αr₁，C₂=αr₂，环径=r₁-r₂，故有

由推知，中算家的“密率”实际被定义为

如图1-23所示，它与现今弧度的意义十分相近。密率，原指圆周与直径之精密比率；此借以泛指圆弧与直径的比数。“实”与“法”相对，一般指被除数与除数，此指比率之前项与后项。

【译文】

[1-37]已知环形田，内圆周长92步，外圆周长122步，径长5步。这是为了使之与周三径一的比率相适应，所以说径长为5步。根据内、外周之长，依徽率推算而言，应当取径长为步。李淳风等按：依圆周密率等推算，应当径长是步。问田的面积多少？

答曰：2亩55平方步。依刘徽圆率，田的面积应当是2亩平方步。李淳风等按：依密率计算，田的面积是2亩平方步。

环形田面积算法：内外圆周长之和的，乘以径长得其面积平方步数。此田截齐，而所得中平之周便可作为田的长度。相加而取其半，也是以盈补虚的意思。这也可以内外圆周计算圆面积，用内圆减外圆，余数就是圆环的面积。

[1-38]又知环形田，内圆弧长步，外圆弧长步，径长步。此田为环状但不足一整圈，所以径长步。如果按照上题那样以周求径的话，则此径长失之于多，超过了周三径一的比率，如此就太粗疏了。以刘徽圆率计算，应是径长步。李淳风等按：依周三径一之率来考核，应为径长步。依密率周22径7考核，应得径长。问田的面积多少？

答：4亩平方步。依刘徽圆率，应当得田面积2亩平方步。按周三径一计算，田面积应为3亩平方步。李淳风等按：依密率周22径7计算，环田面积为2亩平方步。圆弧与径的精确比率算法：放置内、外圆弧长的步数，使分母与分子各自在其整数部分之下。以此分母与彼分子交互相乘（进行通分）；又将整数部分化为分数，用分母乘整步数再加分子（化为假分数）。以内圆弧长减外圆弧长，余数除以2。径长亦以分母乘整步数再加分子（化为假分数）。以由圆弧（余数之半）作为比率的前项，以径长作为比率的后项。

环形田面积算法：合并内、外圆弧长的步数：使分母、分子各在其整数部分之下，以此分母与彼分子交互相乘（进行通分），又将整数部分化为分数，用分母乘整步数再加分子（化为假分数），内、外圆弧长相加再除以2。以径长的分母乘整步数再加分子，所得之数乘圆弧（和数之半的分子）数为被除数，以圆弧长与径长二者之分母相乘为除数，相除得环形田面积步数，相除不尽的余数即是面积步数的分数部分。以亩法（每亩240平方步）除之，便得亩数。按此算法，合并内外圆弧长的步数，使分母、分子各在其整数部分之下，以此分母与彼分子相乘，是因为内、外圆弧长俱包含分数，所以用分母交互相乘来使分子与分母扩大相同倍数，又以分母相乘作为公分母。分母既相同而分子又同步增长，于是便将整数部分化为分数，以分母乘整步数再加分子（化为假分母）。两圆弧长相加而除以2，是因为用“以盈补虚”的方法，求得圆弧长的平均值。这个平均的圆弧长即是田的长，径长即是田的宽，所以长宽相乘便得其面积。既然折算分母，还须用分母去相除，故令弧长与径长两分母相乘而“连除”，便得面积步数。除不尽，以最大公约数约简后命名分数。以每亩240平方步去除面积步数，便得田的亩数了。