绪论

定义

定义1

物质的量可根据物质的密度和体积算出。

想得到4倍物质的量的空气，需要将空气的密度和容纳的空间各提升1倍；想得到6倍物质的量的空气，容纳的空间则需要扩大2倍。任何可通过压缩或液化而凝固的物体，比如雪、微尘或粉末等，都可以用这样的计算方法。

或许有一种神奇的介质，能够畅行于物体各部分间的缝隙中，在这里我不对这种介质进行过多考虑。回归正题，我所说的物体或物质的量就是这个量，这个定义涵盖所有物质的质量。通过钟摆实验，可发现物质的量与其质量是成正比的，这个实验会在后文中详细介绍。

定义2

运动的量可根据物体的速度和物体的量算出。

物体各部分运动的总和为整个物体的运动的量。当速度不变，物体的量提升1倍时，得到的运动的量是原先的2倍。如果运动的量为原先的4倍，那么速度则需要提升2倍。

定义3

物质固有的力（vis insita）为抵抗作用力，可以使物体保持静止状态，或是保持物体作匀速向前运动的状态。

与物体的惯性相同，物质固有的力与物体的自身成一定的比例。每一种物质都存在惯性，所以改变物体静止或运动的状态有一定的困难。因此，物质固有的力，也可被称为“惯性力”。固有的力发挥作用有一个前提，就是物体需要有外力加持，并想要改变其自身的状态。

站在不同的角度看待固有的力，会发现它既是推动力，也是阻力。详细点说，当物体不屈服于外力作用，但外力又想改变物体的状态时，固有的力为推动力；当物体保持自身状态抵抗外力时，固有的力则为阻力。

一般情况下，推动力属于运动物体，而阻力属于静止物体。不过，无论是运动，还是静止，人们很难对此有一个明确的区分。因为很多时候，我们所认为的静止的物体，并不是真正处在静止状态之中。

定义4

物体受外力作用的目的，在于改变物体保持静止或保持匀速向前运动的状态。

外力的来源多种多样，常见的外力有拍打、推拉等。外力只存在于作用中，它会随着作用的结束而消失。这是因为，惯性力会保持物体的新状态。

定义5

向心力是使物体指向中心点的作用力，可以由吸引、排斥或摩擦等任何一力产生。

重力属于向心力，促使物体倾向于地球中心；磁力也属于向心力，使物体倾向于磁场中心；还有牵引行星围绕着恒星运转的力，也属于向心力。

在投石器上系上石块，旋转投石器时，石块也会产生一种张紧的力。旋转得越快，张紧力就越大。旋转的同时会产生一种反抗张紧力的力，把石块不断拉向投石器，使石头不断在环形轨道运行，这种反抗的力也属于向心力。

所有沿着环形轨道运行的物体都会产生向心力，既企图离开轨道，又受到向心力牵引，因为向心力与企图离开的力相对抗，在轨道上保持运动的状态。一个被抛射的物体，因为有引力牵引才能落在地球上，而不是直线飞向天空；又因为阻力的作用，物体不能做匀速运动。同时，正是因为有引力的牵引，物体才倾向地球偏转，而偏转的强弱，取决于物体的运动速度和引力的大小。引力越小，物质的量越小，或运动的速度越快，物体偏离直线轨道的幅度越小，偏离地球越强，物体飞得越远。

假设在山顶发射铅弹，设定某一速度值，发射方向与地面平行，铅弹将沿着曲线运动，落在距离山顶2英里1的地面。如果不计空气阻力，把发射速度加倍，那铅弹运动的量也会加倍，发射速度加到10倍，铅弹运动的量也会加到10倍。可以得出结论，只要增加铅弹运动的速度，就可以增加铅弹运动的量，减轻它运行轨道的弧度。或许只要运动速度够快，铅弹就可以飞行得足够远，落到经度10°、30°或90°的位置，甚至环绕地球一圈再落地，更甚者直接飞离地球，飞向外太空，保持无限运动的状态。根据这个原理，抛射物在向心力的作用下可以环绕地球沿着某个轨道进行运动。

月球环绕地球的运动是同样的道理。月球被引力或某种力牵扯，把这种力拉向地球，偏离原本惯性力所遵循的直线轨道。如果没有这种引力，月球就无法环绕地球做环形运动。而且这个力必须是适当的量，若是太小，月球就不能做曲线运动，若是太大，月球就会被拉向地球。总之，这个力无论是太大还是太小，月球都无法沿着原本的环形轨道运动。至于这个力的量、特定的位置、抛射的物体以及特性力的曲线路径，都需要数学家经过精密地计算才能得知。

可以说，任何一个向心力都有三种量，即绝对度量、加速度度量、运动度量。

定义6

向心力的绝对度量，与物体通过中心向四周传递的力的效果成正比。

因此，一块磁石对另一块磁石所产生的磁力大小，取决于其尺寸和强度。

定义7

向心力的加速度度量，与物体特定时间内所产生的速度成正比。

因此，同一块磁石，距离越近，向心力越大；距离越远，向心力越小。同一物体在山谷里的重力大，在山顶上的重力小。物体距离地球越远，重力就越小，距离地球越近，重力就越大。但是物体距离地面距离相等时，在不同地点产生的重力是相等的。因为如果不计空气阻力，不管物体的大小、轻重是多少，下落的加速度都相等，所以重力也相等。

定义8

向心力的运动度量，与特定时间内所产生的运动成正比。

因此，物体越大，重量越大；相反，物体越小，重量越小。同一物体距离地球越近，重量就越大，距离地球越远，重量就越小。这种量就是向心力，是整个物体对中心的倾向，我称它为重力。重力的量值总是和阻止物质下落的力正好相等，因此人们才对它有所了解。

为了方便，我们可以把力的这三种量称为运动力、加速力和绝对力。运动力作用于物体的中心，加速力作用于物体的不同地方，绝对力作用于力所倾向的中心。也就是说，运动力作用于物体，由物体的各个部分组成的，整体向中心倾向的一种合成力。加速力作用于物体的不同地方，是一种由中心向四周扩散的，促使物体运动的力。绝对力作用于力的中心，是运动力向四周传播的前提和基础。如果没有绝对力，运动力就不可能向四周传播。绝对力可能源于处于磁力中心的磁石，也可能源于位于重力中心的地球，或其他不知名的某个中心物体。这个概念只限于数学表述，因为我现在所讲述的不涉及物体根源和力的物理学原因。

因为运动的量等于速度和物质的量的结合，运动力等于加速力和物质的量的结合。所以，加速力与运动力的关系，就如同速度和运动的关系。运动力的量，就是作用于物体的每个部分的加速力的总和。因此，在地球表面，所有物体的重力加速度或重力所产生的力是相同的，重力的运动力或重力也与物体相同。同样的道理，如果物体逐渐离开地球表面，重力的加速度减小，重力也减少，那么其重力减少的量则是重力加速度和重力的乘积。比如，重力加速度减少一半，物体质量就是原来的二分之一或三分之一，那么其重力就会是原来的四分之一或六分之一。

我这里谈到的吸引和排斥，与加速力和运动力是一样的，并未做任何区分。因为这些概念只是从数学上考虑，而不是从物理上研究的。因此，读者不要望文生义，把这里的概念和物理学上的概念相混淆，也不要以为我谈到的吸引就是物理学上引力，或者认为我说的某种运动以及运动的方式、原因就是真实的、物理上的概念。

附录

在这里我已经对那些鲜为人知的概念进行了定义，解释了它们的意义，以便读者了解和理解。对于时间、空间、处所、运动这些概念，我并未作具体解释，因为人们都了解它们。不过需要说明一点，一般人可能无法真正准确地感知和领悟这些概念，甚至可能会误解它们。为了消除人们的误解，我将这些量分为绝对的与相对的、真实的与表象的、数学的与普通的。

1.绝对的、数学的、真实的时间，它具有独特的特征，均匀地流逝，是延续不变的，与一切外在事物无关。而相对的、普通的、表象的时间，是可以被感知的，是对绝对时间的一种度量。通常，后者可以被用来代替真实的时间，比如一小时、一天、一月、一年等。

2.绝对的空间，自身是均匀的、持续的，永不运动，与一切外物无关。相对的空间，是对绝对空间的一种度量，或是绝对空间的移动尺度，表现为它自身与物体间的相对位置。相对空间一般不可移动，比如地表以下的空间、大气中的空间、天空中的空间等，都是体现自身与地球的相对关系。不管是在形状还是大小上，绝对空间和相对空间都是相同，但是在数值上却存在不同。

比如，假设地球运动时，大气中的空间是相对的，且相对于地球是不变的。但是对于绝对空间来说并非如此，它在这一刻是这一部分空间，在另一刻则变成另一部分空间。可以说，在地球运动时，它在绝对空间中是不断变化的。

3.处所是空间的一部分，即物体占据的那部分空间，空间的性质决定了它是绝对的还是相对的。当然，这一部分空间不是物体所在的位置，也不是物体的外表面。因为相等的物体，处所是相等的，但其表面因为外形不同而不同。严格来说，位置不能度量，它只是处所的属性，并不是处所本身。

物体整体的运动的量等于各部分运动的量的总和。也就是说，物体的整体离开处所的距离等于各部分离开处所的距离的总和。因此，物体整体占据的空间等于各部分占据空间的总和。也就是说，处所是内在的属性，处于整个物体的内部而不是外表面。

4.绝对运动，是物体由一个绝对处所运动到另一个绝对处所。相对运功，是物体由一个相对处所运动到另一个相对处所。举个例子，一艘航行的船只，里面的物体的相对处所是所占据的船只的那部分空间，或是在船舱内填充的那一部分空间。物体和船只是共同运动的。而相对于船只来说，物体持续停留在船只上，又是相对静止的。

但是，绝对静止是物体停留在一个始终不动的空间，这个空间持续存在，存在于这一空间的船、船舱、物体共同运动。所以，假设地球是真正静止的，物体相对于船只也是静止的，那么物体相对于地球作绝对运动，速度和船在地球上的真实速度相同。假设地球是运动的，那么物体也将作真实的绝对的运动，这运动一部分来自地球在不动空间的运动，一部分来自船只相对于地球的运动。假设物体也在船只上运动，那么它真实的绝对的运动一部分来自地球在不动空间的运动，一部分来自船只相对于地球的运动，还有一部分是自身相对于船只的运动。可以说，物体相对于地球的运动，是由这些相对运动决定的。

假设，船只所处的地球空间，以10010等分的速度真实地向东运动，船只则以10等分的速度向西航行，船上的水手以1等分的速度向东运动。那么，可以得出水手在不动空间中向东作真实的绝对的运动，速度为10001等分，在地球上向西做相对运动，速度为9等分。

在天文学中，绝对时间和相对时间通常通过表象的时间差来区分。因为自然日并不相等，科学家为了度量时间，以便用更精确的时间测量天体运动，因此纠正了这种不相等性。所有运动都是加速或减速的，等速运动或匀速运动是不存在的，也无法用精确时间来测定。无论事物的运动是快、慢还是停止，都是延续不变的存在，绝对时间的流逝也不可改变。因此，这种延续性应该和可被感知的、表象的时间区分开，而且可以根据天文学的时差进行推算。这种时差的存在非常有必要，并且可以在某种现象的时间测定中显示出来，如摆钟实验、测定木星卫星的食亏。

时间间隔的顺序是不可改变的，同样，空间部分的次序也不可改变。假设空间的一些部分被移出自身，那么它就不属于该空间了。因为时间和空间是且始终是它自己以及所有物质的处所。事物被置于时间中，才能表现其在时间的顺序；事物被置于空间中，才能凸显其在空间的位置。在本质上来说，时间和空间就是处所，所以事物的处所是不可能移动的。因此，这些处所是绝对的，离开这些绝对处所的运动是绝对的运动。

但是，这一部分绝对空间是我们看不见的，也无法用感官把其与其他部分空间区分开，所以我们用可以感知的空间来代替和测量它。为了简便起见，我们用事物离开某个我们认为的不动物体的位置和距离，来定义事物的处所，然后用物体从某一处所移动到另一处所的相对运动来定义事物的运动。

这样一来，相对处所和相对运动就可以替代绝地处所和绝对运动，以解决日常生活中各种问题。但是从哲学领域来讲，我们应该从感官抽象角度出发，思考事物自身的特性，把其与以感知测量的表象区分开。因为有事物处所、运动的参照和对比，所以真正静止的物体是不存在的。

但是，我们可以根据事物的自身属性、原因、效果把事物和事物的相对运动与绝对运动、相对静止与绝对静止区分开。静止的属性是真实的，即真正静止的物体相对于另一静止物体也是静止的。因此，或许在恒星世界或更遥远的地方，绝对静止的事物是存在的，但是在我们的世界内绝对静止的事物是不存在的。我们不能确定物体间、物体与遥远距离外的物体之间是否保持着恒久的位置不变。

运动的属性，即物体的部分一直维持在物体中的位置，并且参与物体整体的运动。物体在转动时，所有部分都有离开转动轴的倾向，而物体因为推动力向前运动时，整体推动力的量是所有部分的推动力的量的总和。所以，处于外围的物体运动，处于内部的物体也参与运动。

由此说明，物体真正的绝对的运动，不在于它本身是否发生移动，而在于它外部的物体是否运动。反过来说，所有被某一物体包含内在的物体，除了离开周围的物体的移动外，还参与真正的运动。即便它没有运动，也只是看起来静止而已，不是真正的静止。因为周围物体与包含在内的物体的关系，如同一个整体外表的部分和内在的部分的关系，就像果壳和果仁。假设果壳运动，则果仁作为整体的一部分也运动，而它相对于果壳来说是静止的，并且进行运动。

这里还有一个与上述运动有关的特性，即如果处所移动了，其中的物体也随之移动。当物体移出处所时，它也参与了所在处所的运动。所以，一切移出处所的运动，都只是整体运动和绝对运动的一部分。同时，物体的移动和所在所处的移动构成了这一整体的运动，直到物体移动到一个不可移动的处所，整体运动才结束。比如船只航行的例子就是如此。所以，除了静止场所外，整体运动和绝对运动不能被确定。这也是为什么我之前把静止处所与绝对运动、相对处所和相对运动联系起来。除了那些从无限到无限的事物外，没有完全静止的处所，那些无限运动的物质始终保持相对的、始终不变的、特定空间的静止，从而构成静止的空间。

真实运动和相对运动不同，是因为施加于物体上的力不同。没有施加在物体上的力，不会产生真实的运动，也不会使运动发生改变。而即使没有施加在物体上的力，相对运动也会产生和发生改变，只要对与其进行比较的物体施加一个力就可以了。因为与之相关的其他物体发生运动，促使它们之前存在的相对静止或运动的关系发生改变，那么在这个关系中这个物体便发生了相对的静止或运动。或者，某种力施加于运动的物体上，真实运动也会发生改变，但相对运动未必发生改变。因为在其他物体上施加相同的力，它们的相对位置可能保持不变，进而相对运动也保持不变。所以，当真实运动不变时，相对运动可能会改变；真实运动发生改变时，相对运动可能保持不变。因此，在这种情况下，真实运动绝对不会产生。

绝对运动和相对运动，可以依据脱离旋转轴的力来进行区分。纯粹的相对运动中是不存在这种力的，但是它却存在于真正的绝对运动之中，其大小取决于运动的量。假设把一个水桶挂在长绳的一端，不断旋转水桶，促使长绳不断被拧紧，之后再把水桶灌满水，让水桶和水保持静止。然后，对水桶和水施加一个反向旋转的力，这时长绳会逐渐松开，水桶会持续运动一段时间。

水桶未运动时，水面是静止的，但水桶运动起来时，这个旋转力会传递给水，促使水也随之旋转，逐渐脱离中心点，向水桶壁上升，形成一个漩涡。同时，水桶旋转越快，水上升得越高，最后和水桶一起旋转到最大值，水和水桶形成相对的静止状态。水的上升说明它有脱离旋转轴的倾向，这促使水的绝对运动和相对运动产生矛盾，不过这种矛盾是可以衡量的。

一开始，水没有真正随之旋转，相对运动达到最大值，没有脱离旋转轴的倾向，水面保持静止，也没有旋转和上升的现象。之后，相对运动逐渐减弱，水开始逐渐脱离旋转轴，出现旋转和上升的倾向。水的真正旋转持续加强，达到最大值时，水和水桶达到相对静止的状态。因此，水的这种倾向不是由水和其周围的物体决定的，这种移动也无法被定义为真正的旋转。

任何一个旋转物体只存在一个真正的旋转运动，也只和促使它脱离旋转轴的力有关，这是一个恰当而独特的结果。同一个物体内和外界物体存在着各种各样的关系，所以其相对运动也数不胜数。但是，除非它们参与了真正的唯一的真实运动，否则都是没有真实效果的。

因此，我们可以这样理解天体世界：我们的天空和行星围绕着恒星旋转，天空的一部分空间是静止的，行星和天空也是相对静止的。不过，它们存在着真实的运动。因为它们不断变换着位置，而真正静止的物体则绝不会变换位置。同时，它们所在的处所也在运动，是旋转运动的一部分，并且有努力脱离旋转轴的倾向。

所以，相对的量并非人们所认为的量的本身，而是一种可感知的量，可能是精确的，也可能是不精确的。这些相对的量，被人们用来替代那些本身的量。如果我们根据这些词的用途来为它定义，那么对于时间、空间、处所和运动的度量的解释就是正确的。可是如果度量的量代表本身，那么这些词的表述就不同寻常了，而是具有纯粹的数学意义。

原本这些词言简意赅，只是被一些人误解了。甚至，有些人混淆了真实的量和可感知的度量，玷污了数学和哲学真理的纯洁性。

我们要真正认识特定物体的真实运动，并区分真实的运动和表象的运动是一件并不少容易的事情。因为单凭我们的感官无法真正感知运动中静止空间的那一部分。不过，这也不是绝不可能，因为有一些理论可以给我们适当的指导：一是表象运动，它和真实运动存在着不同；二是力，力是产生真实运动的原因，也是真实运动导致的结果。

比如，把两个球拴在一根细绳上，使两球始终保持一定的距离，然后让它们围绕着共同的重心旋转。根据细绳的张力，可以得出两球有脱离旋转轴的倾向，还可以得出其旋转的量。如果在两球施加一个相同的力，增加或减少其旋转量，那么根据细绳张力的加强或减弱，便可以计算出运动增加或减少的量。同时，我们还可以发现把这个力施加在球的哪个位置，可以促使其运动量达到最大值。也就是说，知道旋转运动中后面的一面，以及相对应的一面，就可以知道球运动的方向。

所以，知道这种旋转运动的量和方向，即便处于一个巨大的真空中，没有任何可以感知的外界物体进行对比，也能知道物体的运动量。如果在这个巨大的真空中，有一些遥远的物体，像恒星一样相互间保持相对的位置不变，那么我们就无法判定是球在运动还是物体在运动。但是，若是我们观察绳子，发现绳子的张力和球运动的量相同，便可以得出结论：球在运动，而物体是静止的。最后，我们根据球在物体间的运动，可以判断出它们运动的方向。

至于如何根据原因、成效和表象差异来判定真实的运动，以及如何进行反向推理，根据真实的或表象的运动来判定它们的原因和成效，在之后的章节我会进行具体阐述和说明。而这也是我写本书的目的。

运动的公理或定律

定律1

除非受到外力作用，每一个物体都将保持静止或匀速直线运动的状态，永远不会改变其原有状态。

物体被抛射出去后将一直维持其自身运动，只有在空气阻力或重力的牵引才会改变其运动状态。如果不计空气阻力，一个旋转的物体将不停地旋转，并且在向心力作用下不断偏离直线运动。一些体积足够大的物体，比如行星、彗星，在阻力较小的自由空间中，可以长时间保持其向前的圆周运动。

定律2

物体受外力作用后，将沿着外力的直线方向发生变化，且变化和所受外力成正比。

如果施加于某物体的某种力产生运动，那么施加的力加倍，运动也加倍；施加的力是原来的3倍，运动也是原来的3倍，不论这力是一次性施加的还是逐次施加的。而且运动总是和力的方向相同，如果物体原本处于运动状态，那么应该加上或减去原本的运动，这取决于施加力的方向是否与原本运动的方向一致。如果施加力的方向是倾斜的，与原本的运动方向有一个夹角，那么会形成一个新的复合运动使得运动方向也发生倾斜。

定律3

作用和反作用总是同时存在且相等，或者两个物体间的作用和反作用总是相等，并且方向相反。

任何一个物体压或拉另一个物体，同时也会受到另一个物体同等的压或拉。比如用手指压一块石头，手指也同样受到石头的压。再比如马拉一块系在绳索上的石头，则马也同样被拉向石头。因为被拉紧的绳索为了舒展自身会把石头拉向马，也把马拉向石头；绳索阻碍马前进的力和推动石头前进的作用是相等的。

如果一个物体撞击另一个物体并且促使其运动发生改变，那么该物体的运动也发生同等的改变，但两者的变化方向相反。如果不受到其他任何阻碍，这些作用产生的变化相等，但只是运动本身的变化，不是速度的变化。因为运动的变化是相等的，所以速度的变化与物体成反比，其变化发生在相反方向上。这个定律也适用于吸引力，下面我在附录中将详细分析说明。

推论Ⅰ

一个物体同时受两个力作用，其运动将沿着平行四边形对角线的方向进行，所用时间和两个力分别沿着两个边运动的时间相等。（图0-1）

如果一个物体在给定时间内在力M的作用下，以匀速运动从点A向点B地运动；如果在力N的作用下，以匀速运动从点A向点C运动。若是这个物体同时受到力M和力N的作用，那么它将以匀速运动沿着所作平行四边形ABDC的对角线AD运动。

因为力N沿着AC方向作用，且AC与BD平行，根据定律2得出这个力将不会改变物体所受的力M的速度，所以不管是否施加力N，物体都将在相等的时间内到达BD的某一点。同理，物体将在相等时间内到达CD的某一点。因此物体必然运动到两条线的相交点，即D点。同时根据第1定律，物体将以匀速运动由点A运动到点D。

推论Ⅱ

任何两个倾斜的力AB、BD可以合成一个直线力AD；任何两个倾斜力AC、CD可以合成一个直线力AD。相反，任何一个直线力也可以分解成两个倾斜力AB、BD，或者AC、CD。这种力的合成和分解已经在力学上得到充分的证实。（图0-2）

假设经过任意轮子的中心O，作两个不同的半径OM、ON，再用绳索MA、NP悬挂重物A、P，那么重物A、P的重力与使轮子运动的作用力相等。经点O向MA作垂直线OK，与MA相交于点K，经点O向NP作垂直线OL，与NP相交于点L；再取OK、OL中较长的线段（OL较长），以它为半径以点O为圆心做一个圆，与绳索MA相交于点D；连接OD，再作OD的平行线AC，AC的垂直线DC。

因为绳索上的点K、L、D是否位于轮子上已经无关紧要，重物悬挂在点K、L或D、L的效果都一样。假设线段AD为重物A的重力，把它分解成力AC和CD，且力AC的方向与OD的方向相同，所以它不会对轮子起到任何作用。但是因为另一个力DC的方向与OD的方向垂直，所以它对于轮子的作用等同于半径OL，因为OD与OL相等。也就是说，力DC的作用与重物P是相同的。如果P∶A＝DC∶DA，且三角形ADC和三角形DOK相似，那么，DC∶DA＝OK∶OD＝OK∶OL。得出，P∶A＝OK∶OL。所以半径OK、OL处于同一直线上，且作用效果相同，即两者处于一个平衡状态，这就是天平、杠杆、轮子的属性。如果该关系中任意一个力增大，那么作用于轮子的力也会增大。

但是如果重物p与P相等，却处于一个倾斜平面pG上，同时用绳索pN悬挂着。作直线pH、NH分别垂直于地平线和倾斜面pG，如果用直线pH表示重物p所受的向下力，那么这个力可以分解为pN和NH。

如果有一个垂直于绳索pN的倾斜面pQ，与另一倾斜面pG相交，那么重物p同时受力在pQ和pG上，垂直压在平面pQ上的力为pN，垂直压在平面pG上的力为NH。假设把平面pQ撤掉，那么重物p将被绳索拉住，因为绳索取代了平面pQ，所以绳索受到的张力与平面所受的压力pN相等。即张力之比pN∶PN＝线段之比pN∶pH。

因此，如果重物p与A的比值，是由轮子中心到线段pN和AM的最小距离的反比与pH和pN的比值的乘积，那么重物p与A对于轮子转动具有相等的作用，且两者相互维持和遏制。这已经得到了很多人的证实。

因为重物p压在两个倾斜面上，所以可以把它看成被劈开的两个物体间的一个楔子，由此可以确定楔子和槌子的力。因为重物p压在平面pQ的力与线段pH的方向相同，所以不管是它的自身重力还是槌子的作用力，它推向平面pQ的压力比为pN∶pH，它推向另一个平面pG的压力比为pN∶NH。

同理，我们可以把螺旋的力进行分解，它就是由杠杆力推动的楔子。所以，这个推论适用范围非常广泛，其正确性和真实性已经得到了进一步论证。因为整个所有力学准则已经被学者们用不同的方式方法进行了验证，所以我们很容易推出各种机械力，比如轮子、滑轮、杠杆、绳子等构成的机械力，直接倾斜上升的重物的力，还有动物运动的骨骼的肌肉力。

推论Ⅲ

物体运动的量由同方向运动的和，或不同方向运动的差组成，不因物体之间的作用而改变。

根据定律3，作用和反作用的量相等，方向却相反。而根据定律2，它们在运动上的变化也相等，且方向相反。所以如果物体运动的方向是相同的，那么前面物体的运动量增加了多少，后面物体的运动量就减少多少，保持运动总量的前后相等。如果两个物体运动的方向是相反的，那么两者的运动减少量是相同的，和向相反方向运动的差值保持相等。

假设有两个球A、B做直线运动，A是B的3倍，A的运动速度为2，B的运动速度为10，且两者做同向运动，可以得出，A的运动量比B的运动量等于6∶10。假设A和B的运动量分为6和10，那么总量为16。因此当两物体相遇时，如果A得到的运动量分为3、4、5，那么相应的是B就会减去3、4、5。即碰撞后，A的运动量为9、10、11，而B的运动量为7、6、5，两者的运动总量仍为16。

如果A得到的运动量为9、10、11、12，那么碰撞后得到的运动量则变为15、16、17、18，相应的是B失去的量与A得到的一样多，所以运动量则减少到1或0。B的运动量变为0后，会处于静止状态，但是它不会持续静止。随着运动量的持续失去，B会继续运动下去，并且会向回运动1或2个量。

两个物体的运动总量仍为16，同向运动的和为15+1、16+0，而相反运动的差则为17-1、18-2，保持与碰撞前相同的总量。因为两物体相撞后和相撞前的速度的比值与相对应的运动的比值相等，所以若是相撞前后物体的运动量是已知的，某一物体相撞前的速度也已知，那么就可得出相撞后的速度。反之亦然。

以上面的例子为例，相撞前球A的运动为6，相撞后球A的运动为18，相撞前球A的运动速度为2，那么便可得出相撞后的速度，即6∶18＝2∶6，得出其数值为6。

但是，若物体不是球体，且不做直线运动，比如在倾斜面上发生碰撞，那么我们就必须先确定撞击点与物体相切的平面的位置，然后把物体的运动进行分解，才能计算出相撞后各自的运动量。我们需要把运动分解为垂直平面的与平行平面的两部分，因为物体相互作用在该平面的垂直方向上，所以相撞后平行于平面的运动量是不变的。

如果垂直运动的变化是反向的，且数量不变，那么相同方向的运动和相反方向的运动的差值会和之前相等。这类相撞有时会导致物体进行曲线运动，并且围绕其中心旋转。这里我不对这个问题进行论述，因为它发生的可能性非常多，其论述过程实在太过复杂和烦琐。

推论Ⅳ

两个或多个物体的公共重心始终保持其静止或运动的状态，不会因物体间的相互作用而改变原状态。就是说，除非受外力和阻力作用，所有相互作用的物体的公共重心或处于静止状态，或处于匀速直线运动状态。

如果两个点做匀速直线运动，按照某一给定比值对两者间距进行分割，那么分割点或处于静止状态，或处于匀速直线运动状态。这个问题我将在引理23和推论中进行证明，同理，点在相同平面运动或不同平面运动的情形都可以得到证明。

也就是说，如果任意多个物体做匀速直线运动，那么其中任意两个物体的公共重心或静止，或做匀速直线运动，因为两物体的公共重心的连线是按照给定比值进行分割的。同时，这两个物体的公共重心和第三个物体的重心也是或静止，或做匀速直线运动，其重心连线也是按照给定比值进行分割的。以此类推，这三个物体的公共重心和第四个物体的重心也是或静止，或做匀速直线运动，重心连线也是按照给定比值分割。这一原理可以推广到无数个物体。

因此，在多个物体组成的体系中，如果物体间不存在相互作用，也没有受到任何外力的作用，且每个物体都做匀速直线运动，那么它们的公共重心始终保持原状态不变，或静止，或做匀速直线运动。

另外，在两个物体相互作用的体系中，因为物体重心和公共重心的间距与物体本身成反比，所以不管物体距离重心是远还是近，其相对运动都是相等的。运动的变化是相等的且相反的，所以受物体间相互作用的影响，其公共重心仍保持静止或匀速直线运动的状态不变，不会加速，也不会减速。

然而，在多个物体组成的体系中，任意两个物体的相互作用不会改变其公共重心的状态，对于其他物体公共重心的影响更是微乎其微。不过，这两个物体的重心间距被所有物体的公共重心分割，并且与属于某个中心物体的总和成反比。因此，当两个物体的重心保持静止或运动状态时，所有物体的公共重心也保持原有状态。由此可以得出，整个物体体系的公共重心绝不会因为任意两个物体的相互作用而改变其原有状态。

在该体系中，所有物体间的相互作用或发生在两个物体间，或由若干两个物体间的相互作用组成，这些作用不会对物体的公共重心产生任何影响，也不会促使其改变原有的静止或运动状态。因为当物体间不存在相互作用时，其重心或静止或处于匀速直线运动状态。即便物体间存在相互作用，除非有外力施加于整个系统，促使这个系统改变其原有状态，否则其重心也将一直保持静止或匀速直线运动状态。这个定律同时适用于单一物体和多物体体系，因为不管是单一个体还是多物体体系，其运动问题都是通过重心的运动而计算的。

推论Ⅴ

在某给定空间内，不管该空间是静止还是做匀速直线运动（不含任何旋转的运动），物体本身的运动和物体间的相对运动都是相同的。

根据假设，在给定空间静止或不含任何旋转运动的匀速直线运动的情况下，物体同向运动的差与反向运动的和是相等的。根据定律2，由这些差或和产生碰撞和排斥，以及物体间的相互作用，产生的效果相同。因此在一种情形下物体间的相互运动在另一种情形下也会得以保持。比如根据船只运动的实验可以得出：不管船只静止还是做匀速直线运动，船上所有物体的运动都保持不变。

推论Ⅵ

不管物体间是哪种类型的相互运动，若是在平行方向上被施以相同的加速力，那么它们相互间的运动状态都不会改变，仍保持原有的相互运动。

根据物体运动的量得出，这些力的作用是相等的，且在互相平行的方向上移动，那么根据定律2，所有物体将以相同速度进行相同运动，因此物体间的位置和运动不会发生改变。

附录

我阐述的这些原理已经被广大数学家们接受，同时也得到了大量的实验证实。根据定律1、定律2和推论Ⅰ、推论Ⅱ，伽利略通过观察发现了物体下落的变化与所用时间的平方有关，物体被抛射后会做曲线运动。这些发现都已经被实验证明，但是前提是这些运动不受阻力影响，或阻力影响非常小。

当一个物体下落时，其重力作用是均衡的，并且在相等的时间内对物体施加相等的力，所以物体速度也相等。在整个时间内，所有作用力产生的速度与时间成正比。而在相应的时间内，物体运动的距离与时间的平方成正比，也就是说距离等于速度与时间的乘积。当一个物体被向上抛射时，受平均重力影响其速度不断减小，且与时间成正比。当物体到达最高点时，速度降为0，所以物体到达的高度等于速度与时间的乘积，或等于速度的平方。如果物体是被向上或向下斜抛，那么抛物运动就是原来运动和重力运动组成的复合运动。（图0-3）

假设物体A被抛射出去，在给定时间内沿着AB作直线运动，在下落时沿着AC做向下运动，在复合运动作用下最后落在点D，由此可以做出平行四边形ABDC。物体A经过的路径为抛物线AED，且与直线AB相切于点A，纵线BD等于AB的平方。根据相同的定理和推论，很多物体的运动和相关事件都得到了证明，比如之前单摆振动所需时间的例子就已经从日常单摆时钟的实例中得以证实。

同时，根据相同的定律和推论以及定律3，克里斯托弗·雷恩爵士、瓦里斯博士和惠更斯等人分别确立了硬物相撞时所遵循的一系列法则，并且几乎同时向皇家学会递交了研究报告。对于这些法则，这些科学家几乎得出了完全一致的见解。瓦里斯博士发表研究报告的时间最早，之后是雷恩爵士，最后是惠更斯。但是，雷恩爵士的研究报告是关于单摆实验的，并且他证明了这个实验的真理性。随后，马略特先生也开始研究这个问题，并对其进行了全面系统的阐述。不过，若想实验与理论保持完全一致，我们不得不考虑空气阻力、物体碰撞产生弹力等因素。（图0-4）

假设把球A、球B分别悬挂在细线AC、BD上，让AC和BD相等且平行，中心点分别为C、D，且保持一定距离。以点C为中心作半径为AC的半圆EAF，以D为中心作半径为BD的半圆GBH。先移除球B，让物体A在半圆EAF的任意一点R做运动，假设它摆动一次后回到点V，那么在空气阻力作用下，RV就是其产生的距离差。在弧线RV上取另一弧线ST，使得ST处于RV中间位置，且ST∶RV＝1∶4，RS＝TV，RS∶ST＝3∶2，那么可以得出，ST就等于物体从点S下落到A点的阻力。

把球B复位，假设球A从S点下落，那么它在点A的速度（排除误差的可能性）与不计阻力的情况下从T点下落到此位置的速度相等。由此可知，其速度就等于弧线TA的弦。如果物体做钟摆运动，那么它在最低点的速度与下落时经过的弧线的弦成正比，这一定理几乎已经被所有几何学家熟知。所以两者撞击后，球A到达点s，球B到达点k，此时再把球B移除，取任意一个点v。如果球A从点v出发，摆动一次后回到点r，同时st∶rv＝1∶4，那么可以得出，st处于rv的中间位置，rs＝tv，同时，tA就是球A在撞击后到达A点的速度。如果不计空气阻力，则球A正好上升到点t。同理，我们可以估算出球B在不计空气阻力下可以上升到点l，以此来修正球B实际中所到达的位置点k。

如此一来，实验的所需条件已经全部准备就绪，如同在真空中做实验一样。然后，球A和弧线TA的弦已知，我们可以得出它们的乘积，并且得出球A撞击前在点A的运动，同时根据它与弧线tA的乘积，得出撞击后的运动。同理，我们也可以计算出球B与弧线BL的弦的乘积，估算出球B在撞击后的运动。以此类推，如果两个物体同时从不同的点下落，我们可以计算出它们碰撞前后的各自运动，同时，通过比较两者的运动还可以得出碰撞后的效果。

我们可以做这样一个实验：取一些相等或不相等的物体，摆长10英尺，让它们在一个8、12或16英尺2的大空间内相互碰撞，经过不断试验，我发现物体正面撞击时会给对方带来同样的变化。即便有误差，误差也不超过3英寸。假设物体A撞击静止的物体B，撞击前运动量为9，撞击后物体A的运动量失去7，之后继续以2个运动量向前运动，那么物体B会得到它的7个运动量而运动。

假设两个物体因为反向运动而碰撞，撞击前物体A的运动量为12，物体B的运动量为6，撞击后物体A、B分别向后运动2个、8个的运动量，那么它们分别都失去14个运动量，即12+2和6+8。因为物体A减少12个运动量，它就会静止不动，所以会继续减去2个运动量，然后以2个运动量做反向运动。同理，物体B减去6个运动量，它就会静止，继续减去8个运动量，那么它就会以8个运动量做反向运动。

如果物体A、B的运动方向相同，物体A、B的运动量分别为14、5，前者比后者更快一些，即物体A去追B。发生碰撞后，物体A剩下5个运动量，然后继续向前运动，而物体B则从物体A得到9个运动量，之后以14个运动量继续向前运动。这也适用于其他情形。物体发生碰撞后，它们的运动量是同向运动的和或反向运动的差，这是永远都不会改变的。实际上，实验时想要做到万分精确是非常难的，所以可能会产生1到2英寸的误差，这也是可以理解的。想要让两只钟摆精确地运动，使它们在最低点AB发生碰撞，或在碰撞后精确地到达点s、k也是非常难的。另外，因为钟摆自身的密度不同，或种种原因造成的钟摆结构上的不规则等，这些因素都可能导致误差的产生。

或许有人持有反对意见，认为这个实验成功必须依赖特定的条件，即物体必须足够坚硬，或有弹性，但是这种物体并不存在于自然界中。关于这一点，我必须解释一下，我们所讲述的实验并没有条件限制，并非只能取绝对坚硬的物体。也就是说，这个实验的成功与否不取决于物体的硬度。

如果把这个规律运用在质地较软的物体上，只要把反弹力考虑进来，按照反弹力的运动来减少相应的量就可以了。按照雷恩和惠更斯的理论，绝对硬的物体在碰撞前后的速度是相同的，这一点已经在高弹性物体的实验中得到了肯定的证实。而对于低弹性的物体，因为反弹力的减少，碰撞后的速度比碰撞前的速度低。在我看来，这个反弹力是可以确定的，因为它可以让物体以一个相对速度反弹，并且这个速度与物体相撞时的速度有一个固定的比值。

我用压得紧实坚固的毛线球做过一个试验：首先，让毛线球下落，测出它的反弹度，然后计算出反弹力的量，根据它就可以估算出毛线球在碰撞时反弹的距离。在之后的其他实验中，我证实了这一计算结果的准确性。碰撞时，毛线球反弹的速度与碰撞前的速度的比值大约是5∶9，钢球的反弹速度与碰撞前的速度几乎相同，软木球的反弹速度慢一些，而玻璃球的反弹速度与碰撞前的速度比大约为15∶16。由此可见，定律3涉及的碰撞和反弹的问题，已经得到了广泛证实。

对于引力这个问题，我也使用类似方法进行了证明。假设任意两个物体A、B相遇，有另一物体起到阻碍作用，当两物体相互吸引时，物体A受到物体B的吸引力比物体B受到物体A的吸引力大，那么障碍物受到物体A的压力就大于受到物体B的压力，如此一来就无法保持平衡。压力大的物体A会把两物体和障碍物的整体推向物体B；在没有空气阻力空间内，这一物体系统将持续做无限的加速运动。然而这一情形并不合理，与定律1相矛盾。根据定律1，这个物质系统将保持原有的静止或匀速直线运动状态，所以两物体对障碍物的压力应该是相等的，且相互间的吸引力也相等。我曾用磁石和铁做过类似的实验：把磁石和铁分别放进合适的容器中，然后让它们漂浮在平静水面，且保证彼此不相互排斥。之后，通过相等的吸引力来抵消对方的压力，使其保持一个平衡的状态。（图0-5）

地球的各个部分间存在着引力的，假设任意平面EG将地球分割为EGF、EGI两部分，那么两部分相互间的重力是相等的。如果让另一个平面HK（平行于EG）再将EGI分割为EGKH和HKI两部分，且使得HKI与EGF相等。我们可以看出，中间部分EGKH始终保持静止状态，不会向EGF的方向运动，也不会向HKI的方向运动，因为其自身的重力正好合适。但是，HKI这一部分会以全部重力把EGKH部分压向EGF，所以EGI的力等于HKI和EGKH两部分之和。同时，这个力等于HKI的重力，且偏向EGF，就是说EGI的力和EGF的重力是相等的，由此可以得出EGI和EGF两部分相互间的重力是相等的，这也是我之前要证明的。如果两者的重力不相等，那么地球漂浮在没有任何阻力的太空中，必定会远离它原来的位置，给比它重的所有物体让位，最终消失在无限的太空中。

物体碰撞和反弹时的作用是相等的，其速度与惯性力成反比，因此使用机械仪器时，施加的力是平衡的，并且相互间保持反向的压力。其速度取决于力的大小，且与力成反比。

同时，摆动天平悬挂的重物产生的力也是相等的，使用天平时，重力总是与天平上下速度成反比。也就是说，如果重物的上升或下降是直线运动，那么产生的力相等，这个力与悬挂重物的点与中心轴的距离成反比。如果有障碍物或倾斜面，重物的上升或下降是斜线运动，那么产生的力也相等，且与上升或下降的垂直高度成反比，这取决于物体垂直向下的重力方向。

这个原理同样适用于滑轮或滑轮组，不论重物是直线上升还是斜线上升，用手拉直绳子的力都与其重力成正比，就好像重物垂直上升的速度与用手拉绳子的速度成正比一样。

在轮子组成钟表和其他类似的机械中，如果使轮子转动加速和减速的反方向的力，与它们推动轮子的速度成反比，那么它们也能保持平衡。

螺丝钉挤压物体的力与用手拧动手柄的力成正比，其比值等于转动的把手的旋转速度与受到压力前进的螺丝钉的速度的比值。

用楔子把木头劈成两部分，其挤压或劈开木头的力与槌子施加在楔子上的力成正比，其比值与楔子在槌子敲击下前进的速度与木头在楔子挤压下向两边直线方向裂开的速度的比值相等。这个理论在所有机械的运作中都可以得到一致的解释。

机械的作用和效能主要有以下两个方面：通过减小物体的运动速度使得力增大，或通过增大力来使得物体的运动速度减小。因此我们可以运用各种机械解决以下问题：用给定的力移动给定的重物，或用给定的力克服给定的阻力。

如果机器作用于物体的速度与其作用力成反比，那么作用力就可以把阻力抵消。如果其速度足够大，足以克服一切阻力（来自物体相互滑动时的摩擦，或被分开的物体的凝聚，或被举起的物体的重力），那么剩余的力就会产生加速度。我并不是在这里讨论力学，而是通过这些实例来证明定律3适用的广泛性、可靠性和准确性。如果可以用物体所受的力和速度的乘积来估计其作用，或运用类似方法来估计障碍物对于物体的反作用，即通过它某些部分的速度、加速度或由摩擦、凝聚、重力产生的阻力的乘积来估计，那么我们会发现在所有机械的运动中，作用力始终等于反作用力。虽然作用力要通过中间媒介来传递，但是它最终作用在障碍物上，并且总是与反作用力方向相反。

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1　英里，约1.61千米。

2　英尺，约0.30米。