聚焦概念本质，发展空间观念
——“周长”教学案例分析
上海市杨浦区打虎山路第一小学 谢骁俊
课前慎思
一、教材分析
“周长”是九年义务教育课本《数学·三年级第二学期（试用本）》第六单元“几何小实践”的教学内容。教材首先通过呈现贴近学生实际生活的情境，从“蚕宝宝绕叶子爬一周”这一活动帮助学生直观理解周长的初步含义；接着教材又通过呈现一些形状规则和不规则的实物图片及图形，让学生在经历动手操作的过程中，感悟周长的实际含义。本课也是学生后续学习长方形、正方形的周长、周长与面积、谁围出的面积最大等内容的重要基础。
二、学情分析
学生在三年级第一学期已经学习了面积的概念，教材通过“哪个图形大”引入，这对学生来说是相对比较容易理解的。三年级的学生基本都知道“周长”，且大部分学生已经具有一定的直观认识，但对周长这一概念本质的认识还不全面，比如可能认为所有图形都有周长，图形的内部连线也是周长的一部分……不仅如此，学生学习了周长的概念之后，还容易将周长和面积混淆，这似乎成了一个“老大难”的问题。
三、我的思考
（1）学生从三年级开始学习面积和周长，到五年级学习平行四边形、三角形、梯形等平面图形的面积，一直会将周长和面积这两个概念混淆。在本课的教学中，如何尝试突破这个教学难点？
（2）直观想象是数学六大核心素养之一，如何在本课教学中进一步发展学生的空间观念，为后续学习打下基础？
教学目标与教学重点、难点
教学目标：
（1）通过观察、操作、测量、计算等活动理解周长的含义，能说出“围绕平面图形一周的长度就是周长”。
（2）借助方格纸测量图形各边的长度，求出多边形的周长。
（3）体验数学与日常生活的密切联系，进一步发展空间观念，提高数学推理能力。
教学重点：
通过观察、操作、测量、计算等活动理解周长的含义。
教学难点：
理解“周长”与“面积”的区别和联系。
教学片段及分析
教学片段一：描一描、辨一辨，理解“一周”
（1）生活实物表面的周长。
①出示图片（见图1-10）。
图1-10
②提问：你能指出每个图形的周长吗？请用水彩笔描一描。
③学生独立完成。
④交流反馈：绕（ ）一周的长度就是（ ）的周长。
⑤追问：描图形周长的时候需要注意什么？
预设：从任意一点出发，沿着图形的一周再回到这一点，画出的线要与图形的边线重合。
（2）平面图形中的周长。
①出示图片（见图1-11）。
图1-11
②请用水彩笔描一描周长。
③学生独立完成。
④质疑：图1-11中，图形③没有周长，它不是封闭图形；图形④内部的连线不是周长。
⑤小结：通过描一描、辨一辨，发现绕长方形、正方形一周的长度就是长方形、正方形的周长。
分析一：
周长是学生在初步认识了一些简单的平面图形的基础上才进行学习的，为后续学习长方形、正方形的周长做了准备。周长的本质是“长”，即长度；生长点是“周”，即一周，也就是封闭图形的边线。
从生活实物表面的周长到平面图形的周长，其本质都是沿着物体表面的边线从一点出发再回到这一点，事实上已经凸显了周长的本质，也就是绕平面图形一周的长度。在“描一描，辨一辨”这一环节中，尤其是图1-11中的图形③和图形④，使学生对封闭图形一周的长度有了进一步的理解，在充分理解周长含义的基础上，进一步“数学化”。本环节既发展了学生的空间观念，也试图解决“学情分析”中提到的难点，同时为下一环节的测量、计算图形的周长打下了基础。
教学片段二：数一数、算一算，理解“周长”
（1）提问：你有什么办法可以知道图1-12中图形①和图形②的周长？
图1-12
借助方格纸，选一个你喜欢的图形试一试吧。
（2）学生动手操作，交流展示。
预设：
①我选的是图形①，先数出每条边的长度，再相加，即8+8+5+5=26（厘米）。
②我选的也是图形①，我发现它的对边相等，是这样算的：（8+5）×2=26（厘米）。
③我选的也是图形①，我发现它的对边相等，是这样算的：8×2+5×2=26（厘米）。
④我选的是图形②，先数出每条边的长度，再相加，即5+5+5+5=20（厘米）。
⑤我选的是图形②，因为图形②四条边都相等，是这样算的：4×5=20（厘米）。
（3）思考：我们借助方格纸，计算了两个图形的周长，需要哪些步骤？
（4）小结：先找一周，再数出每条边的长度，每条边的长度之和就是这个图形的周长。
分析二：
学生通过数一数、算一算等活动，用不同的方法得出了图形的周长，在体会算法多样化的同时，更注重算法优化，将数和形有机结合。同时，学生再次体会到周长就是绕平面图形一周的长度，这也为后续学习长方形、正方形的周长计算打下基础。
教学片段三：练习巩固，运用周长
1．看一看，比一比
（1）提问：根据你的第一感觉，下面（见图1-13）三个图形的周长相等吗？
图1-13
A．第一幅最长
B．第二幅最长
C．第三幅最长
D．一样长
（2）学生交流反馈。
（3）验证：我们来验证上面的想法。
（4）学生交流反馈。
预设：①我原来选A，现在选D。原来我觉得第一幅图大，所以周长肯定长。后来，我计算了这三个图形的周长，都是16厘米，所以它们一样长。
追问：一样长，具体指的是什么？
②我用了移一移的方法，把后两幅图都变成了第一幅图。
追问：移动后的图形什么变化了？什么没有发生变化？
（5）评价与小结：同学们真棒！大家想到了把不规则图形转化成规则的正方形来求周长，还发现了它们的周长都一样，但面积不一样。
图1-14
2．想一想，猜一猜
（1）思考：图1-14是一个长方形，它的周长可能是（ ）。
A．12厘米 B．18厘米 C．24厘米
（2）交流反馈。
（3）评价与小结：同学们思考得很全面，你们运用今天所学的知识推理出了这个长方形周长的可能长度。
分析三：
数学思想是对数学知识的高度概括，超越了具体的知识。史宁中教授指出：“数学教学的最终目标是要让学习者会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学语言表达现实世界。”史宁中教授提出的“三会”之一便是数学思维，教师对学生数学思想的培养，其重要性不言而喻。
在本课的练习环节中，教师有意识地渗透了数学思想。如练习环节的第1题（见图1-13），教师首先引导学生先在脑海中进行想象，凭着自己的“第一感觉”来判断三个图形周长的大小，进而借助数一数、计算等方法来验证自己的猜想。对于大多数改变自己想法的学生而言，他们把面积与周长混淆了，有效突破了本课的教学难点，也明白了“周长相等，面积不一定相等”。
又如第2题（见图1-14），本题呈现的是一个长方形（已知一条边的长度），学生在二年级第一学期已经认识了长方形，通过长方形对边相等的特征，推理出周长只可能是18厘米，这是数学推理的渗透。
教学片段四：联系生活，渗透文化
1．运用周长解决实际问题
（1）出示图片（见图1-15）。
图1-15
图1-16
（2）感知：解决生活中的这些实际问题，就是在求它们的周长。
2．在传统文化中厚植爱国情怀
（1）介绍“周”的含义：甲骨文中，“周”字由“田”字和“田”字中的四个点组成，像已经种植的条理井然的农田形，表示四周（见图1-16）。“周”字表示边界的意思。
（2）畅谈：对“周”的理解。
分析四：
《义务教育数学课程标准（2011年版）》在课程目标中指出：要使学生“初步学会从数学的角度发现问题和分析问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，增强数学应用意识，提高实践能力。”
本课中，教师呈现了三个实际生活中的问题，旨在让学生感受周长的实际应用价值，深化对周长概念的理解，为学生后续运用周长解决实际问题积累经验，有助于培养学生将数学知识与生活中的实际问题建立联系的能力，形成应用意识。
同时，教师对于甲骨文中“周”的介绍，将抽象的周长概念与形象的象形文字相结合，感受汉字的文化内涵，渗透中华传统文化的精髓，厚植爱国情怀。
课后思考
一、课前学习，深入思考
笔者曾在特级教师俞正强老师的讲座“如何上好空间图形的种子课”中听到这样一句话：“当一个困难成为一个普遍现象的时候，问题一定不在孩子，在我们老师的教学。”俞老师的这句话一直触动着我，也始终提醒我在自己的课堂教学中要不断反思，从改进自己的教学开始做起。
在备课的过程中，笔者一直思考，为什么学生到了高年级依然会将周长和面积的概念混淆呢？究其原因，还是要先回到自己的课堂教学，从周长的“种子课”开始，厘清周长和面积的概念。
二、课堂实践，智慧生成
正如前文中所说，将周长的概念本质理解为“一周”和“长度”，在引导学生理解“绕平面图形一周的长度就是图形的周长”之后，聚焦周长的计算，即把重点放在“长度”上，体现在借助方格纸计算图形周长的两个环节。
在“数一数、算一算，理解‘周长’”这一环节中，学生借助方格纸数出了每条边的长度，根据长方形对边相等以及正方形四条边都相等的特征，采用2个“长加宽”的和、边长×4等方法计算出周长。从课堂反馈情况来看，有53.3%的学生在解决这一问题时计算了图形的面积，有3.3%的学生虽然计算了周长，但在写单位名称时用的是平方厘米。由此可见，虽然学生在前一环节学习了周长概念，但并未完全内化，依然混淆了周长和面积这两个概念。于是，我再次邀请学生进行交流，通过指一指、描一描这两个图形的周长，引导学生进一步理解“绕平面图形一周的长度就是图形的周长”这一概念。
紧接着，在“看一看，比一比”这一环节中，有73.3%的学生第一次选择了D，选择A、B、C的学生共占26.7%，可见学生对这一问题的理解还存在一定的差异。此时，笔者便引导学生通过分别计算每个图形的周长来验证自己的猜想。有70%的学生列出的算式是4×4=16（cm），学生已经发现三幅图的周长是相等的，并用了平移的方法，将图1-13中图形②和图形③这两个不规则的图形转化为规则的图形，这是转化思想的体现。
三、收获成功，结伴成长
当学生经历了“猜测—验证”这样的过程，对“绕平面图形一周的长度就是图形的周长”这一概念已逐渐清晰，在第二次进行选择时，96.6%的学生都选择了D项。当最后一位学生在同伴的启发下修改了自己的错误答案之时，我们的脸上都露出了欣喜的笑容。这堂课充分体现了师生在堂课上一起学习，收获成功，结伴成长