3.3 简单正弦交流电路的分析
前面我们讨论了单一参数正弦交流电路中的电流、电压及功率的关系。但在实际电路中，几种参数往往可能同时存在。在一般情况下，由R、L、C构成的正弦交流电路各元件的连接关系可能是串联，可能是并联，也可能是串并联构成的混联。对于这样一般形式的正弦交流电路的分析，通常将电路从时间域模型转换成相应的相量模型，电路的元件特性和基本定律都能在相量域中得到相应形式的表达。因此，在直流电路中提出的各种电路的分析方法完全能够应用到正弦交流电路的相量模型中。
3.3.1 基尔霍夫定律的相量形式
同分析直流电路一样，分析交流电路的基本依据依然是基尔霍夫定律。如前所述，正弦交流电路中只有瞬时值和相量形式满足
和
。对正弦交流电路的任一节点，满足
，即
（3.30）
对正弦交流电路的任一回路，满足
，即
（3.31）
有效值和最大值只能反映正弦量的大小关系，故不满足基尔霍夫定律。
1．串联电路
在图3.12（a）所示R、L、C串联电路中，设
根据图示的参考方向，瞬时值形式的KVL方程为
（3.32）
R、L、C串联电路的相量模型如图3.12（b）所示，其相量KVL方程为
（3.33）
串联电路中各元件流过的是同一电流，因此画电路的相量图时通常以电流作为参考相量（设初相位为零），电路的相量图如图3.12（c）所示。在坐标平面上，利用平行四边形法则将
、
和
相加，得到串联电路的总电压
。
由相量图可知，
及
构成了一个直角三角形，如图3.12（d）所示。
的有效值为
即
（3.34a）
的初相位为
（3.34b）
所以，电路总电压为
图3.12 R，L，C串联电路
〖例3.4〗图3.13（a）所示移相电路，已知：
，输入信号频率为500Hz。求：（1）如果要求输出电压与输入电压之间的相位差为
，试求电容值；（2）在电容不变的前提下，若想加大该相位差，如何调整电阻
？
图3.13 例3.4的图
解：（1）取电流
为参考相量，画出输入电压与输出电压的相量图如图3.13（b）所示。根据相量图，得
即 
若想增大输入电压与输出电压之间的相位差，在C不变的条件下，应使
减小，所以应减小
。
2．并联电路
在图3.14（a）所示R、L、C并联电路中，设
根据图示的参考方向，瞬时值形式的
方程为
（3.35）
R、L、C并联电路的相量模型如图3.14（b）所示，其相量形式的
方程为
（3.36）
因为并联电路中各支路承受的是同一电压，所以画相量图时通常以电压为参考相量（设其初相位为零），电路的相量图如图3.14（c）所示。在坐标平面上，利用平行四边形法则将
、
和
相加，得到并联电路的总电流
。
图3.14 R、L、C并联电路
的有效值为
（3.37）
的初相位为
（3.38）
所以，电路总电流为
〖例3.5〗电路如图3.15（a）所示。已知：
，
，
，
同相位。求：
，IRL，
，
，
。
解：并联电路，以电压为参考相量，画出相量图如图3.15（b）所示。
图3.15 例3.5的图
由相量图可知
因为 
所以 
〖例3.6〗电路如图3.16（a）所示。已知：
，
，
与
同相。求：
，
，
，
。
解：电路中既有串联也有并联，通常取并联支路的电压
为参考相量，画出相量图如图3.16（b）所示。由相量图得
图3.16 例3.6的图
3.3.2 正弦交流电路的阻抗
1．阻抗
在正弦交流电路中，电压相量与电流相量的比值，称为复阻抗。用Z表示
（3.39）
式中，
称为阻抗模或阻抗值，它反映了电压和电流的大小关系，其大小是电压与电流有效值之比，即
（3.40）
称为阻抗角，它反映了电压与电流的相位关系，是电压超前于电流的电角度，即
（3.41）
阻抗值与阻抗角的大小取决于电路的结构和参数。在图3.12所示的R、L、C串联电路中，有
阻抗值为
阻抗角为
根据电路结构和参数的不同，阻抗角可正可负，在R、L、C电路中，|
|≤90°。当
为正值时，说明电压超前于电流
角，电路呈感性；当
为负值时，说明电压滞后于电流
角，电路呈容性；当
时，说明电压电流同相位，电路呈电阻性。由此可见，根据阻抗角的正、负，就可以判断电路的性质。
复阻抗的电阻、电抗和阻抗值的大小满足一个直角三角形的三边关系，如图3.17所示。称为阻抗三角形，显然，R、L、C串联电路中的阻抗三角形与电压三角形相似。
图3.17 阻抗三角形
2．阻抗的串联和并联
在正弦交流电路中，阻抗的连接形式是多种多样的。交流电路中一个由R、L、C构成的无源网络可以用一个复阻抗等效。
（1）阻抗的串联
图3.18（a）所示为两个阻抗串联的电路。根据欧姆定律和基尔霍夫定律的相量形式，得
图3.18 串联电路的阻抗
因此
（3.42）
由此可见，两个串联的阻抗可用一个等效复阻抗来代替，如图3.18（b）所示。此等效复阻抗应等于串联的各复阻抗之和。一般，几个阻抗串联时，其等效复阻抗可用下式表示
（3.43）
即
（3.44）
（3.45）
在上面各式的
中，感抗
取正号，容抗
取负号。一定要注意，等效阻抗是复数，要用复数运算法则。
根据上面的方法计算出等效复阻抗后，其电压、电流的关系可以表示为：
一般来讲
所以 
〖例3.7〗已知：
，
串联在一起接入
的电源上，求电路中的电流
和各阻抗上的电压
和
。
解：先求等效复阻抗 
再求 
然后根据
求
（2）阻抗的并联
图3.19（a）所示是两个阻抗并联组成的电路。根据基尔霍夫电流定律有
图3.19 并联电路的阻抗
两个并联的阻抗可用一个等效复阻抗代替，如图3.19（b）所示。其等效复阻抗为
（3.46）
由以上分析可知，复阻抗的串并联法则与电阻的串并联法则在形式上完全相同，只不过这里是复数运算。
根据无源一端口的等效复阻抗，可以画出一端口的串联等效电路。复阻抗的实部等效为电阻元件，虚部等效为电感或电容元件。若复阻抗的虚部为正，则该等效电路可视为电阻元件和电感元件的串联；若复阻抗的虚部为负，则该等效电路可视为电阻元件和电容元件的串联。若复阻抗的虚部为零，则等效电路可视为纯电阻元件。
在正弦交流电路中，如果将电路中已知的正弦量用相量表示，电路中的参数用复阻抗表示，则可以应用在第1章中学过的各种方法列方程求解。但所有的方程都应为相量方程，所有的运算都应为复数运算。
〖例3-8〗在图3.20（a）所示电路中，
，
，
，
，求电流
，并画出电压电流相量图。
图3.20 例3.8的图
解：设电压
为参考相量，则
，两个并联阻抗的等效阻抗为
和
串联的阻抗为
故 
电压、电流相量图如图3.20（b）所示。
〖例3.9〗在图3.21（a）所示电路中，已知
，
，
，
，求电流
。
解：本题电路中，只需求一条支路的电流，故可以用戴维南定理求解。由图3.21（b）可得等效电动势
由图3.21（c）可得等效内阻抗
画出图3.21（a）的戴维南等效电路，如图3.21（d）所示。由图3.21（d）可得
图3.21 例3.9的电路
3.3.3 正弦交流电路的功率
1．瞬时功率
在正弦交流电路中，由于有电感和电容的存在，因此在一般情况下电压和电流有一定的相位差。设如图3.22（a）所示的无源二端网络的电流和电压分别为
图3.22 正弦交流电路的电流、电压及瞬时功率波形图
则该电路的瞬时功率为
（3.47）
瞬时功率的波形如图3.22（b）所示。可以看出，瞬时功率有正有负，当p>0时，二端网络从电源吸收功率；当p<0时，二端网络向电源回馈功率。因为电阻从电源吸收功率，而电感和电容元件与电源交换功率，所以，在一般情况下，功率波形的正、负面积不相等，负载吸收功率的时间总是大于释放功率的时间，说明电路在消耗功率，这是由于电路中存在电阻的缘故。
2．有功功率、无功功率和视在功率
正弦电路的有功功率即为平均功率，为
（3.48）
式（3.48）说明，交流电路中有功功率的大小不仅取决于电压电流有效值的乘积，而且与它们的相位差（阻抗角）有关。对于R、L、C电路，因为有电阻元件存在，所以电路中总存在功率损耗。电路中的有功功率即为电阻上消耗的功率。式中的
称为功率因数。
的大小与元件参数有关。
电路中的电感元件和电容元件上有能量的储放，与电源之间要交换能量，所以电路中也存在无功功率。将式（3.47）中的
分解为（
），则式（3.47）可写成
式中
（3.49）
无功功率反映了电路中储能元件与电源进行能量交换规模的大小。当
（感性电路）时，
；当
（容性电路）时，
。无功功率的正负与电路的性质有关。因为电感元件的电压超前于电流
，电容元件的电压滞后于电流
，所以感性无功功率与容性无功功率可以相互补偿，即
正弦交流电压的有效值U和电流的有效值I的乘积称为视在功率
（3.50）
交流电气设备是按照规定的额定电压
和额定电流
来设计和使用的。对电源设备来讲，
又称额定容量，简称容量。它表明电源设备允许提供的最大有功功率。
视在功率的单位是V·A（伏安）或kV·A（千伏安）。
有功功率、无功功率和视在功率的大小满足一个直角三角形的三边关系，且与前述的电压三角形、阻抗三角形相似，如图3.23所示，得P、Q、S三者的关系为
（3.51）
（3.52）
（3.53）
图3.23 功率三角形
对于正弦交流电路来说，有功功率和无功功率满足功率的可加性，电路中总的有功功率等于电路中各部分的有功功率之和，总的无功功率等于电路各部分的无功功率之和，但在一般情况下，视在功率不满足可加性。
〖例3.10〗在电阻、电感、电容元件串联的电路中，已知：
，
，
，电源电压
。求：（1）感抗、容抗和阻抗值及阻抗角；（2）电流的有效值与瞬时值表达式；（3）各部分电压的有效值与瞬时值的表达式；（4）有功功率、无功功率、视在功率；（5）判断该电路的性质。
因为电路中只有电阻产生有功功率，而电感和电容产生无功功率，所以，也可以用下列方法计算
（5）不论从阻抗角的正、负，还是从电压电流的相位关系，或从无功功率的正、负，都很容易得出：电路是容性的。
〖例3.11〗图3.24所示的两个阻抗
，
，它们并联后接在
的电源上。求电路中的电流
，画出各电流的相量图，并求电路的总功率P、Q、S。
解：先计算等效复阻抗
在并联电路中，由于各支路的电压是相同的，故以电压为参考相量画相量图，如图3.25所示。电路的总功率为
图3.24 例3.11的电路
图3.25 例3.11的相量图
3．功率因数的提高
在正弦交流电路中，有功功率与视在功率的比值称为功率因数。
功率因数是正弦交流电路中一个很重要的物理量。
电路的功率因数过低会带来两方面的不良影响。
（1）线路损耗大。
因为
，设线路电阻r，所以线路损耗为
。当输电线路的电压和传输的有功功率一定时，输电线上的电流与功率因数成反比。功率因数越小，输电线上的电流越大，线路损耗亦越大。
（2）电源的利用率低。
因为电源的容量
是一定的，由
可知，电源能够输出的有功功率与功率因数成正比。当负载的
时，电源的利用率只有50%。
由此可见，功率因数的提高有着非常重要的经济意义。
在实际电路中，功率因数不高的主要原因是工业上大都使用感性负载。例如，三相异步电动机满载时功率因数为0.7～0.8，轻载时只有0.4～0.5，空载时甚至只有0.2。
按照供、用电规则，高压供电的工业、企业单位平均功率因数不得低于0.95，其他单位不得低于0.9。因此，提高功率因数是一个必须要解决的问题。这里说的提高功率因数，是指提高线路的功率因数，而不是提高某个负载的功率因数。应注意的是，功率因数的提高必须在保证负载正常工作的前提下实现。
提高功率因数常用的方法是在感性负载两端并联电容器。电路和相量图如图3.26所示。
图3.26 感性负载并联电容提高功率因数
由相量图可知，并联电容器以前，线路的阻抗角为负载的阻抗角
，线路的功率因数为负载的功率因数
（较低）。线路的电流为负载的电流
（较大）；并联电容器以后，由于电容上的电流超前于电压
，故抵消掉了部分感性负载电流的无功分量，使得线路的总电流
减小，线路的阻抗角
减小，线路的功率因数
得以提高。
由于电容器是并联在负载两端的，负载两端的电压不变，因此负载的工作状况不会发生变化。
设负载的电压为
，阻抗角为
，有功功率为
，它们也是并电容器前线路的电压、阻抗角和有功功率。并联电容器后，线路的电压为
，阻抗角为
，有功功率为
（电容不产生有功功率，所以并联电容器前、后
不变）。根据相量图，得
（3.54）
这就是把功率因数由
提高到
所需并联电容器容量的计算公式。
由上述分析可见，并联电容器后，改变的只是线路的功率因数、电流、无功功率，而负载的工作状况及电路的有功功率没有发生变化。
〖例3.12〗有一电感性负载，功率为10kW，功率因数为0.6，接在电压为220V，50Hz的交流电源上。（1）若将功率因数提高到0.95，需并联多大的电容？（2）计算并联电容前、后的线路电流。（3）若要将功率因数从0.95再提高到1，还需并联多大电容？（4）若电容值继续增大，功率因数会怎样变化？
解：（1）
代入式（3.54）得
（2）并联电容前的线路电流即负载电流为
并联电容后的电流为
（3）需要再并联的电容值为
（4）在感性负载两端并联电容器提高功率因数时，该电容器称为补偿电容。若并联电容后的电路仍为感性，则称为欠补偿，欠补偿时，电容越大，功率因数越高。功率因数提高到1时，电路呈电阻性，此时称为全补偿。再增大电容，电路呈现容性，之后随着电容值的增大，功率因数在下降，此时称为过补偿。
【思考与练习】
3-3-1 RL串联电路如图3.27所示。判断下列哪些式子是对的，哪些式子是错的？
（1）
（2）
（3）
（4）
3-3-2 画出图3.28所示电路的相量图，并判断
与
的相位关系。若使两者之间的相位相差60°，则两个参数值应满足什么条件？
图3.27 思考与练习3-3-1的电路
图3.28 思考与练习3-3-2的电路
3-3-3 有一R、L、C串联的交流电路，已知：
，
。求各元件上的电压值及电路的总电压值。判断一下，电路的电流和电压的相位关系如何？
3-3-4 在R、L、C串联的电路中，满足什么条件时，电感或电容上的电压大于电源电压？电阻上的电压能大于电源电压吗？为什么？
3-3-5 对于感性负载，能否采用串联电容的方法提高功率因数？为什么？
3-3-6 试用相量图说明并联电容过大功率因数反而下降的原因。
3-3-7 感性负载并联合适的电容提高功率因数时，电路中哪些量发生了变化？如何变化？哪些量不变，为什么？