3.1　正弦交流电的基本概念

电路中随时间按正弦规律变化的电压和电流等物理量，称为正弦量，波形如图3.1所示。正弦量可以用时间t的正弦函数来表示，以电流为例，其数学表达式为

式中：为正弦电流的瞬时值。

称为幅值或者最大值。

是正弦量的角频率。

是正弦量在t=0时的相位，称为初相位。

，和分别用来表示一个正弦量的大小、变化速度和初始值，称为正弦量的三要素。已知一个正弦量的三要素，可以唯一确定一个正弦量。

正弦量的正方向通常指在正半周期的方向。

3.1.1　正弦量的三要素

1．周期与频率

正弦量变化一次所需的时间称为周期，用表示，单位是s（秒）；每秒变化的次数称为频率，用表示，单位是（赫兹）。周期和频率互为倒数，即

通常，我国电力系统供电频率为，称为工频。在其他不同的技术领域使用着各种不同的频率，（千赫）和（兆赫）是在高频下常用的频率单位。

正弦量表达式中的是角频率，即正弦量每秒变化的弧度数，单位是（弧度每秒）。因为正弦量一周期经历了弧度，所以角频率为

式中，，，都是反映正弦量变化快慢的量。

2．幅值（最大值）与有效值

正弦量任一瞬间的值称为瞬时值，用小写字母表示。例如，，分别表示电流、电压和电动势的瞬时值。瞬时值中最大的值是幅值，或称为最大值，用带下标m的大写字母表示。例如，，分别表示电流、电压及电动势的幅值。

正弦量的大小往往不是用它们的幅值，而是常用有效值来衡量。有效值是从热效应相当的观点来定义的，即一个交流电流通过一个电阻时，在一个周期内产生的热量与一个直流电流通过这个电阻时，在同样的时间内产生的热量相等，称直流电流的大小是交流电流的有效值，即

由此，可以得出周期电流的有效值

当周期电流为正弦量时，有

由上式可看出，周期量的有效值等于其瞬时值的平方在一个周期内的平均值再取平方根。因此，有效值又称方均根值。该定义同样适用于非正弦周期量。

对于正弦电压和电动势，也有类似的结论，即

可见，对于正弦量而言，最大值是有效值的倍。有效值用大写字母表示，即，，分别表示电流、电压、电动势的有效值。通常我们所讲的正弦量的大小，例如交流电压为，都是指它的有效值。一般交流表的读数也都是有效值。

3．初相位

正弦量是随时间变化的，所取的计时起点不同，正弦量的初始值就不同。若规定正弦量由负到正的零点为变化起点，的时刻为时间起点，则任意瞬间的电角度称为正弦量的相位角，简称相位。的相位称为初相位或初相角，记为。初相位就是变化起点距时间起点之间的电角度。若变化起点在时间起点的左边，则为正，如图3.2中的曲线，其；若变化起点在时间起点的右边，则为负，如图3.2中的曲线，其；若变化起点和时间起点重合，则为零。通常，初相位的取值范围为。初相位决定了时正弦量的大小和方向。我们称初相位为零的正弦量为参考正弦量。

两个同频率正弦量的相位之差称为相位差，用表示。显然有

如图3.2中的，曲线，其。

相位差用来描述两个同频率正弦量的超前、滞后关系。上例中，，则在的区间，比先达到最大值，我们称在相位上超前于，或滞后于。

对于两个同频率正弦量，：

，称超前于，或滞后于，如图3.3（a）所示；

，称与同相位，如图3.3（b）所示；

，称与反相位，如图3.3（c）所示。

3.1.2　正弦量的相量表示法

当正弦量的三要素确定后，该正弦量就唯一确定了。它可以通过瞬时值表达式（三角函数式）和波形图来描述，这两种表示正弦量的方法比较直观。但当对正弦交流电路进行分析时，会遇到一系列频率相同的正弦量的计算问题，而用上述的三角函数表达式和波形图进行计算是很烦琐的。为了简化交流电路的计算，有效的方法是用相量表示正弦量。这种相量表示法的基础是复数。

1．复数及其运算

在数学中我们已经知道，复数A可以用复平面上的一条有向线段来表示。如图3.4所示，其长度r称为模，与横轴的夹角称为辐角。A在实轴上的投影为a，在虚轴上的投影为b。A可表示为

以上为复数的几种表达形式。利用以下关系式

可以在上述几种表达形式之间进行互相转换。式中，是虚数的单位（数学中用表示，而电工技术中已用来表示电流）。

进行复数的四则运算时，一般加、减运算常用复数的代数式，将其实部与实部相加（减），虚部与虚部相加（减）；乘、除运算通常则用复数的极坐标形式比较方便，两个复数相乘，模相乘，辐角相加；两个复数相除，模相除，辐角相减。

由于

所以当一个复数乘上j时，模不变，辐角增大90°；当一个复数除以j时，模不变，辐角减小90°。

2．正弦量的相量表示法

在线性电路中，如果电源是正弦量，则电路中各支路的电压和电流的稳态响应将是同频率的正弦量。如果电路中有多个电源并且都是同频率的正弦量，则根据线性电路的叠加性质，电路的全部稳态响应都将是同频率的正弦量，处于这种稳定状态的电路称为正弦稳态电路，又称为正弦交流电路。

由于在正弦交流电路中，所有正弦量都是同频率的，因此可以把频率这个要素作为已知量，只需要根据有效值和初相位两个要素确定一个正弦量。若用复数的模表示正弦量的大小（有效值），用复数的辐角表示正弦量的初相位，则这个复数可用来表示一个正弦量。表示正弦量的复数称为相量。

相量用在大写字母上面加“·”的方式表示，例如分别表示电压、电流和电动势的相量式。在复平面上画出正弦量的大小和相位关系的图形称为相量图。画相量图时，实轴、虚轴可以省略不画，如

其相量式为

其相量图如图3.5所示。

需要注意的是，复数只能用来表示一个正弦量，而不等于正弦量，所以复数与正弦量之间不能画等号。

把正弦量表示成相量的目的是简化正弦交流电路的计算。因为同频率正弦量经加、减后仍为同频率正弦量，所以，同频率正弦量的和（差）的相量等于它们的相量和（差）。因此，在正弦交流电路中，相量是满足基尔霍夫定律的。

〖例3.1〗已知：，。

（1）用相量图表示两个正弦量。

（2）用相量图计算：。

解：相量图如图3.6所示，从图中可以得到

所以

这里需要指出的是：

①只有同频率正弦量才能用相量表示，一起参与运算。

②在正弦交流电路中，只有瞬时值、相量满足、，而最大值、有效值不满足、。所以，在正弦交流电路中标注正弦量时，只能使用瞬时值（，，）或相量（，，）。

【思考与练习】

3-1-1　在波形图中如何确定初相位的正或负？在相量图中如何确定初相位的正或负？

3-1-2　已知相量，试画出它们的相量图，并写出它们的瞬时值表达式。

3-1-3　指出下列各式的错误：