2.5　一阶电路的脉冲响应

周期性的矩形脉冲信号激励下的一阶RC电路是在信号处理电路中常见的一种应用电路。这种应用电路的响应因电路参数而异，具有很多特点。

2.5.1　一阶RC电路的脉冲响应

矩形脉冲信号是电子电路中常见的波形。如图2.15所示的周期性矩形脉冲，信号周期为T，脉冲宽度为tp，脉冲的幅值为U。若RC串联电路的激励为矩形脉冲信号，则电容和电阻上的电压、电流就是一阶RC电路的脉冲响应。

1．一阶RC电路的单脉冲响应

一阶RC电路如图2.16所示，设电源电压ui为如图2.17所示的单脉冲信号。在该信号的作用下，电路经历两次换路，即电容C分别在t=0时刻经历一次充电，在t=tp时刻经历一次放电的过程。

在t=0时刻，电源电压由0跃变为U，若用开关的动作模拟电源电压的跃变，即在0≤t<tp时刻，电路中的响应可以用图2.18所示的等效电路求解。

假设电容没有初始储能，在t=0时刻，电路出现第一次换路，电路中的响应为零状态响应。电容电压uC的表达式为：

因为　

所以　

当t=tp时，电容充电结束，此刻电容电压的大小为

因此在0≤t<tp时刻，电容电压按指数规律从0上升到U1。输出波形如图2.19所示。

在t=tp时刻，电路出现第二次换路，电源电压由U跃变为0，其等效电路如图2.20所示。

在t=tp时刻，开关S打开，电路中的响应为零输入响应，电容电压uC的表达式为

根据换路定则知，电容电压不能突变，因此电容电压在时刻的初始值等于上一次充电结束时刻的值，即

因此在第二次换路之后，即在时刻，电容电压的表达式为

电容电压的输出波形如图2.21所示。

2．一阶RC电路的连续脉冲响应

在如图2.16所示电路中，若激励为如图2.15所示的周期性矩形脉冲，则uC响应也为周期信号。在期间，电容上电压同单脉冲响应。当t=T时，连续脉冲进入第二个工作周期，电容在前一个周期的放电过程结束，也将进入第二个周期，此时电容电压的大小为

即：电容电压在第一个工作周期的tp时刻按指数规律从U1下降为U2，在第二个工作周期，又从U2开始充电，按指数规律上升，其输出波形如图2.22所示。

根据以上的分析可知，在每个电源工作周期内，电路都对应两次换路过程，电容都经历一次充电和一次放电过程。需要注意的是，每发生一次新的换路，物理量初始值的大小都与上一次过渡过程有关。

3．方波响应

在一阶RC电路中，若激励脉冲为方波信号，即，则在一个周期内电容的充、放电时间相等。在电容没有初始储能，且时间常数合适（tp=5τ）的情况下，一阶RC电路的方波响应如图2.23所示。

可以看出，方波响应就是零状态响应和零输入响应的交替过程，对应电源电压的上升沿，方波响应为零状态响应，对应电源电压的下降沿，方波响应为零输入响应。

根据上述分析，请思考：若τ>>tp，电容上电压如何？若τ<<tp呢？

2.5.2　积分电路

在图2.16所示的电路中，从电容两端输出。当电路的时间常数τ远远大于脉冲宽度tp时，RC电路的零状态响应变化很慢，即电容电压升高得很缓慢，因此有，而电阻电压，电路中的电流。

因为

所以

由此可以看出，电容电压和输入电压的积分近似成正比，所以称该电路为RC积分电路。根据以上分析可以看出，构成RC积分电路的条件如下：

①一阶RC电路从电容两端输出。

②一阶RC电路的时间常数τ远大于输入脉冲的宽度，即，工程上一般要求。

事实上，积分电路利用了一阶电路暂态响应的指数曲线在较小的变化区间内（与时间常数相比）可以近似为线性的特性。因此，与脉冲信号的脉冲宽度相比，时间常数越大，输出波形的线性越好。

从输出波形上看，积分电路可以将输入的矩形脉冲转换为锯齿波信号，当输入信号为对称的方波时，输出波形为三角波，如图2.24所示。

2.5.3　微分电路

在图2.16所示电路中，从电阻两端输出。当电路的时间常数τ远远小于脉冲宽度tp时，电容的充、放电过程都很快，在一个脉冲周期内，整个电路的响应以稳态响应为主，因此，而

由上式可见，电阻电压与输入电压的微分近似成正比，所以称该电路为微分电路。

构成RC微分电路的条件如下：

①一阶RC电路从电阻两端输出。

②一阶RC电路的时间常数τ远小于输入脉冲的宽度，即，工程上一般要求。

微分电路可以将输入的矩形脉冲转换为尖脉冲信号，对应输入电压的上升沿输出正的尖脉冲信号，输入电压的下降沿输出负的尖脉冲信号。越小，输出的尖脉冲越窄。输出波形如图2.25所示。

积分电路和微分电路都是RC一阶电路中较典型的应用电路，它们在电子技术和计算机技术领域都有很广泛的应用。

〖例2.5〗在图2.26（a）所示电路中，当输入如图2.26（b）所示的脉冲宽度为，幅值为的矩形电压时，试绘出输出电压的波形图。，。设电容元件未储能。

解：

是输入电压的脉冲宽度的，。

时，输入电压由0跃变到6V，相当于RC电路接入一个6V的直流电压，开始对电容元件充电。由于电容元件两端电压不能突变，在这瞬间，它相当于短路（），因此。因为，相对于而言，充电很快，很快增大到U值；与此同时，很快衰减到0值，即。这样，在电阻两端就输出一个正尖脉冲，如图2.26（b）所示。由三要素法得到表达式如下

当时，输入电压由6V跃变到0，相当于输入端短路，也由于电容元件两端电压不能突变，在此瞬间有，极性与前相反。而后，电容元件经电阻很快放电，很快衰减到0值。这样，就输出一个负尖脉冲，如图2.26（b）所示。由三要素法得到表达式如下

比较例2.5中的和的波形可见，在上升跃变时刻，，此时为正值且最大；在下降跃变时刻，，此时为负值且绝对值最大。

由此得到，对于矩形电压激励的RC串联电路，若满足的条件，将从电阻两端输出正、负尖脉冲。当输入矩形电压正跳变时，输出正尖脉冲，当输入矩形电压负跳变时，输出负尖脉冲；其脉冲的幅度取决于输入电压跳变的幅度，其脉冲的宽度取决于电路的时间常数。

本章要点

一、换路定则

设t=0时电路发生换路，则：

电感中的电流不能跃变，；

电容两端的电压不能跃变，。

二、一阶电路暂态过程的经典分析法

1．根据KCL、KVL和支路的电压电流关系建立电路的方程，可以得到以时间为自变量的一阶线性常系数微分方程。

2．求解微分方程，得到电路中电压、电流随时间变化的规律。

三、一阶电路暂态过程的三要素法

1．一阶电路暂态过程的三要素：初始值、稳态值和时间常数。

2．一阶电路暂态过程三要素法的一般表达式

3．一阶电路暂态过程三要素法的分析步骤如下。

（1）计算初始值。

①根据换路前的电路（电路处于稳态，C视为开路，L视为短路），求出时刻的电容上的电压和电感上的电流，即和。

②根据换路定则，确定电容上的初始电压和电感上的初始电流。

③画出t=0+时刻的等效电路，即，将电容元件作为恒压源处理，数值和方向由确定；将电感元件作为恒流源处理，其数值和方向由确定。利用该等效电路求出其他各量的初始值。

（2）计算稳态值。

画出换路后电路达到稳态时的等效电路（电容元件视为开路，电感元件视为短路），计算各电压值、电流值。

（3）计算时间常数τ。时间常数取决于电路的结构和参数，与激励无关。

在RC电路中，；在RL电路中，。是换路后的电路中从动态元件两端看进去的无源二端网络（将理想电压源短路，理想电流源开路）的等效电阻。

（4）将三要素代入一般表达式中。

四、一阶电路的脉冲响应

1．当电源电压为周期性的脉冲信号时，在每个电源周期，电路都对应两次换路，储能元件都经历一次充电和一次放电的过程。

2．构成RC积分电路的条件为：

（1）一阶RC电路从电容两端输出。

（2）一阶RC电路的时间常数τ远大于输入脉冲的宽度，即τ>>tp。

3．构成RC微分电路的条件为：

（1）一阶RC电路从电阻两端输出。

（2）一阶RC电路的时间常数τ远小于输入脉冲的宽度，即。

关键术语

一阶电路：first-order circuit　暂态：transient state

时间常数：time constant　零输入响应：zero-input response

零状态响应：zero-state response　全响应：complete response

暂态分量　：transient component　稳态分量：steady state component

习题2

2-1　图2.27电路中，已知：。开关闭合前电路已到达稳态。求：（1）开关闭合瞬间各支路电流电压的初始值；（2）开关闭合后，到达稳定状态时各支路电流、电压的数值。

2-2　图2.28电路换路前已处于稳态。试求：（1）换路后瞬间的；（2）换路后电路到达新的稳定状态时的。

2-3　图2.29电路中，已知：。试求；在S接通和断开两种情况下的时间常数。

2-4　图2.30电路中，，电容原先未储能。求时的，并画出波形图。

2-5　求图2.31电路中的，，并画出波形图。

2-6　图2.32电路中，。换路前电路已处于稳态。求电路中的，。

2-7　图2.33电路中，。开关S合在E1时电路处于稳态。求时的，。

2-8　图2.34电路中，。换路前电路已处于稳态。求闭合后的，并画出波形图。

2-9　图2.35（a）电路中，R=1kΩ，C=10µF。输入图2.35（b）所示电压，试画出的波形图。

2-10　图2.36电路中，开关闭合前电路已处于稳态。求开关闭合后的。其中，。

2-11　图2.37电路中，。

（1）S1闭合后，分析电路中电流的变化规律。

（2）S1闭合后，当电路达到稳定状态时再闭合S2，分析的变化规律。

2-12　图2.38电路中，虚线框起来的部分为电动机的励磁绕组电路，为了使电路断开时绕组上的电压不超过200V并使电流在0.03s内衰减到初始值的5%以下，电阻R'的数值应是多大？

2-13　一阶RC电路如图2.39（a）所示，已知RC=0.5s，，输入电压的波形如图2.39（b）所示。试求电容电压的表达式。