1.3　一些辅助命题介绍

几何上，对于一条向量，例如三维空间的向量a在各个方向上的投影都为0，即

a·x=0

对任意的向量x都成立，则它一定是0向量，也就是a=0．上式的·表示两个向量的内积，或称数量积．也就是说，如果向量a和任何向量都垂直（正交），则该向量一定是0向量．实际上，还有如下一些更为简单的结论：

命题1.4　对于三维空间的向量a，若存在三个线性无关的向量e1、e2和e3都满足：

a·ek=0, ∀k=1, 2, 3

则向量a=0．

所谓向量组e1、e2和e3线性无关，是指方程组

只有0解（λ1，λ2，λ3）=（0, 0, 0）．

命题1.4中的三个线性无关的向量{ek, k=1, 2, 3}可以张成整个三维欧氏空间，也就是三维空间中任意一个向量x都可以唯一表示成这三个向量的线性组合

式中，系数α1、α2、α3是唯一的．因此，若一个给定向量a与这三个向量内积为0，即正交或垂直，就意味着该给定向量正交于三维空间的所有向量，所以它只能是0向量．

函数也存在内积的概念，函数内积即两个函数乘积的积分．例如

（1）在区间[a, b]上的一元函数f（x）和g（x）的内积为〈f, g〉=．

（2）在区域Ω上的二元函数f（x, y）和g（x, y）的内积为

这里的积分可以是黎曼（Riemann）积分，也可以是勒贝格（Lebesgue）积分或者其他形式的积分．本书中若无特别说明，则积分指的都是黎曼积分．

同样，函数也存在正交的概念，函数正交是指它们的内积为0．

定理1.4　对于[a, b]区间上连续的函数f(x)，如果

成立，则f(x)≡0．

这里的记号）表示区间[a, b]上连续可微的函数集合，其元素η在两个端点处为0，即η（a）=η（b）=0．注意，定理1.5中f（x）是连续函数，积分是把它向空间上投影．这里尽管将称作空间，但并没有给出它的范数结构，实际上可以通过函数和其导数两者平方的积分来定义，本书没有就此展开，读者可以参考一般的泛函分析书籍，如吉田耕作的著作[5]．函数f（x）投影的空间并不是连续函数空间本身，而是相对较小的空间．

定理1.4中的检验函数空间[如上述的可以再“小”一些，如），这里的k是任意正整数．也就是说，定理1.5告诉我们，如果一个连续函数向某些较“小”的空间上投影为0，则这个函数本身也恒等于0．但是，这个“小”空间是有讲究的，不是一般意义上的“小”．例如，三维空间向量{0, 0, 1}在由向量{1, 0, 0}和{0, 1, 0}张成的二维平面上的投影都是0，但是它本身不是0向量．

这是一个有趣的现象，读者可以自行探究．定理1.5也告诉了我们类似的结果．

定理1.5　对于有界闭区域Ω上的连续函数f(x, y)，如果

成立，则f(x, y)≡0．

这里的有界闭区域Ω指其是一个有界开集与其边界∂Ω的并集．记号表示Ω上连续可微的函数集合，其元素η在边界上为0，即η|∂Ω=0．